Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900.

Hermite's arithmetische Sätze über die Exponentialfunction
und ihre Weiterführung durch Lindemann sind der Bewunde-
rung aller mathematischer Generationen sicher. Aber zugleich
erwächst uns die Aufgabe, auf dem betretenen Wege fortzu-
schreiten. Ich möchte daher eine Klasse von Problemen kennzeich-
nen, die meiner Meinung nach als die nächstliegenden hier in An-
griff zu nehmen sind. Wenn wir von speciellen, in der Analysis
wichtigen transcendenten Functionen erkennen, daß sie für gewisse
algebraische Argumente algebraische Werte annehmen, so er-
scheint uns diese Thatsache stets als besonders merkwürdig und
der eingehenden Untersuchung würdig. Wir erwarten eben von
transcendenten Funktionen, daß sie für algebraische Argumente
im Allgemeinen auch transcendente Werte annehmen, und obgleich
uns wohl bekannt ist, daß es thatsächlich ganze transcendente
Functionen giebt, die für alle algebraischen Argumente sogar ra-
tionale Werte besitzen, so werden wir es doch für höchst wahr-
scheinlich halten, daß z. B. die Exponentialfunction eipz die offen-
bar für alle rationalen Argumente z stets algebraische Werte
hat, andrerseits für alle irrationalen algebraischen Argumente z
stets transcendente Zahlenwerte annimmt. Wir können dieser
Aussage auch eine geometrische Einkleidung geben, wie folgt.
Wenn in einem gleichschenkligen Dreieck das Verhältnis vom Basis-
winkel zum Winkel an der Spitze algebraisch, aber nicht rational
ist, so ist das Verhältnis zwischen Basis und Schenkel stets tran-
scendent. Trotz der Einfachheit dieser Aussage und der Aehnlich-
keit mit den von Hermite und Lindemann gelösten Pro-
blemen halte ich doch den Beweis dieses Satzes für äußerst schwie-
rig, ebenso wie etwa den Nachweis dafür, daß die Potenz ab für
eine algebraische Basis a und einen algebraisch irrationalen Exponenten
b, z. B. die Zahl 2sqrt2 oder ep = i-2i, stets eine transcendente oder
auch nur eine irrationale Zahl darstellt. Es ist gewiß, daß die Lö-
sung dieser und ähnlicher Probleme uns zu ganz neuen Methoden
und zu neuen Einblicken in das Wesen specieller irrationaler und
transcendenter Zahlen führen muß.

In der Theorie der Verteilung der Primzahlen sind in neuerer
Zeit durch Hadamard, de la Vallee Poussin, v. Mangoldt
und Andere wesentliche Fortschritte gemacht worden. Zur voll-
ständigen Lösung der Probleme, die uns die Riemannsche Ab-

Hermite’s arithmetische Sätze über die Exponentialfunction
und ihre Weiterführung durch Lindemann sind der Bewunde-
rung aller mathematischer Generationen sicher. Aber zugleich
erwächst uns die Aufgabe, auf dem betretenen Wege fortzu-
schreiten. Ich möchte daher eine Klasse von Problemen kennzeich-
nen, die meiner Meinung nach als die nächstliegenden hier in An-
griff zu nehmen sind. Wenn wir von speciellen, in der Analysis
wichtigen transcendenten Functionen erkennen, daß sie für gewisse
algebraische Argumente algebraische Werte annehmen, so er-
scheint uns diese Thatsache stets als besonders merkwürdig und
der eingehenden Untersuchung würdig. Wir erwarten eben von
transcendenten Funktionen, daß sie für algebraische Argumente
im Allgemeinen auch transcendente Werte annehmen, und obgleich
uns wohl bekannt ist, daß es thatsächlich ganze transcendente
Functionen giebt, die für alle algebraischen Argumente sogar ra-
tionale Werte besitzen, so werden wir es doch für höchst wahr-
scheinlich halten, daß z. B. die Exponentialfunction eiπz die offen-
bar für alle rationalen Argumente z stets algebraische Werte
hat, andrerseits für alle irrationalen algebraischen Argumente z
stets transcendente Zahlenwerte annimmt. Wir können dieser
Aussage auch eine geometrische Einkleidung geben, wie folgt.
Wenn in einem gleichschenkligen Dreieck das Verhältnis vom Basis-
winkel zum Winkel an der Spitze algebraisch, aber nicht rational
ist, so ist das Verhältnis zwischen Basis und Schenkel stets tran-
scendent. Trotz der Einfachheit dieser Aussage und der Aehnlich-
keit mit den von Hermite und Lindemann gelösten Pro-
blemen halte ich doch den Beweis dieses Satzes für äußerst schwie-
rig, ebenso wie etwa den Nachweis dafür, daß die Potenz αβ für
eine algebraische Basis α und einen algebraisch irrationalen Exponenten
β, z. B. die Zahl 2√2 oder eπ = i-2i, stets eine transcendente oder
auch nur eine irrationale Zahl darstellt. Es ist gewiß, daß die Lö-
sung dieser und ähnlicher Probleme uns zu ganz neuen Methoden
und zu neuen Einblicken in das Wesen specieller irrationaler und
transcendenter Zahlen führen muß.

In der Theorie der Verteilung der Primzahlen sind in neuerer
Zeit durch Hadamard, de la Vallée Poussin, v. Mangoldt
und Andere wesentliche Fortschritte gemacht worden. Zur voll-
ständigen Lösung der Probleme, die uns die Riemannsche Ab-