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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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rie der quaternären Formen. Fasst man die gerade Linie
als Raumelement und ertheilt ihr, wie in der Linien-
geometrie geschieht, sechs homogene Coordinaten, zwischen
denen eine Bedingungsgleichung vom zweiten Grade Statt
findet, so erscheinen die linearen und dualistischen Trans-
formationen des Raumes als diejenigen linearen Transfor-
mationen der unabhängig gedachten sechs Veränderlichen,
welche die Bedingungsgleichung in sich überführen. Durch
eine Verknüpfung ähnlicher Ueberlegungen, wie sie soeben
entwickelt wurden, erhält man hieraus den Satz:

Die Theorie der quaternären Formen deckt
sich mit der projectivischen Massbestimmung
in einer durch 6 homogene Veränderliche er-
zeugten Mannigfaltigkeit.

Wegen der näheren Ausführung dieser Auffassung ver-
weise ich auf einen demnächst in den Math. Annalen (Bd.
VI) erscheinenden Aufsatz: "Ueber die sogenannte Nicht-
Euklidische Geometrie", sowie auf eine Note am Schlusse
dieser Mittheilung 1).

Ich knüpfe an die vorstehenden Auseinandersetzungen
noch zwei Bemerkungen, von denen die erste zwar schon
implicite in dem Bisherigen enthalten ist, aber ausgeführt
werden soll, weil der Gegenstand, auf den sie sich bezieht,
zu leicht Missverständnissen ausgesetzt ist.

Wenn wir beliebige Gebilde als Raumelemente ein-
führen, so erhält der Raum beliebig viele Dimensionen.
Wenn wir dann aber an der uns geläufigen (elementaren oder
projectivischen) Anschauungsweise festhalten, so ist die
Gruppe, welche wir für die mehrfach ausgedehnte Mannig-
faltigkeit zu Grunde zu legen haben, von Vorne herein ge-
geben; es ist eben die Hauptgruppe bez. die Gruppe der
projectivischen Umformungen. Wollten wir eine andere
Gruppe zu Grunde legen, so müssten wir von der gewöhn-
lichen bez. der projectivischen Anschauung abgehen. So
richtig es also ist, dass bei geschickter Wahl der Raum-
elemente der Raum Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen

1) Vergl. Note VI.

rie der quaternären Formen. Fasst man die gerade Linie
als Raumelement und ertheilt ihr, wie in der Linien-
geometrie geschieht, sechs homogene Coordinaten, zwischen
denen eine Bedingungsgleichung vom zweiten Grade Statt
findet, so erscheinen die linearen und dualistischen Trans-
formationen des Raumes als diejenigen linearen Transfor-
mationen der unabhängig gedachten sechs Veränderlichen,
welche die Bedingungsgleichung in sich überführen. Durch
eine Verknüpfung ähnlicher Ueberlegungen, wie sie soeben
entwickelt wurden, erhält man hieraus den Satz:

Die Theorie der quaternären Formen deckt
sich mit der projectivischen Massbestimmung
in einer durch 6 homogene Veränderliche er-
zeugten Mannigfaltigkeit.

Wegen der näheren Ausführung dieser Auffassung ver-
weise ich auf einen demnächst in den Math. Annalen (Bd.
VI) erscheinenden Aufsatz: „Ueber die sogenannte Nicht-
Euklidische Geometrie“, sowie auf eine Note am Schlusse
dieser Mittheilung 1).

Ich knüpfe an die vorstehenden Auseinandersetzungen
noch zwei Bemerkungen, von denen die erste zwar schon
implicite in dem Bisherigen enthalten ist, aber ausgeführt
werden soll, weil der Gegenstand, auf den sie sich bezieht,
zu leicht Missverständnissen ausgesetzt ist.

Wenn wir beliebige Gebilde als Raumelemente ein-
führen, so erhält der Raum beliebig viele Dimensionen.
Wenn wir dann aber an der uns geläufigen (elementaren oder
projectivischen) Anschauungsweise festhalten, so ist die
Gruppe, welche wir für die mehrfach ausgedehnte Mannig-
faltigkeit zu Grunde zu legen haben, von Vorne herein ge-
geben; es ist eben die Hauptgruppe bez. die Gruppe der
projectivischen Umformungen. Wollten wir eine andere
Gruppe zu Grunde legen, so müssten wir von der gewöhn-
lichen bez. der projectivischen Anschauung abgehen. So
richtig es also ist, dass bei geschickter Wahl der Raum-
elemente der Raum Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen

1) Vergl. Note VI.
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[18/0026] rie der quaternären Formen. Fasst man die gerade Linie als Raumelement und ertheilt ihr, wie in der Linien- geometrie geschieht, sechs homogene Coordinaten, zwischen denen eine Bedingungsgleichung vom zweiten Grade Statt findet, so erscheinen die linearen und dualistischen Trans- formationen des Raumes als diejenigen linearen Transfor- mationen der unabhängig gedachten sechs Veränderlichen, welche die Bedingungsgleichung in sich überführen. Durch eine Verknüpfung ähnlicher Ueberlegungen, wie sie soeben entwickelt wurden, erhält man hieraus den Satz: Die Theorie der quaternären Formen deckt sich mit der projectivischen Massbestimmung in einer durch 6 homogene Veränderliche er- zeugten Mannigfaltigkeit. Wegen der näheren Ausführung dieser Auffassung ver- weise ich auf einen demnächst in den Math. Annalen (Bd. VI) erscheinenden Aufsatz: „Ueber die sogenannte Nicht- Euklidische Geometrie“, sowie auf eine Note am Schlusse dieser Mittheilung 1). Ich knüpfe an die vorstehenden Auseinandersetzungen noch zwei Bemerkungen, von denen die erste zwar schon implicite in dem Bisherigen enthalten ist, aber ausgeführt werden soll, weil der Gegenstand, auf den sie sich bezieht, zu leicht Missverständnissen ausgesetzt ist. Wenn wir beliebige Gebilde als Raumelemente ein- führen, so erhält der Raum beliebig viele Dimensionen. Wenn wir dann aber an der uns geläufigen (elementaren oder projectivischen) Anschauungsweise festhalten, so ist die Gruppe, welche wir für die mehrfach ausgedehnte Mannig- faltigkeit zu Grunde zu legen haben, von Vorne herein ge- geben; es ist eben die Hauptgruppe bez. die Gruppe der projectivischen Umformungen. Wollten wir eine andere Gruppe zu Grunde legen, so müssten wir von der gewöhn- lichen bez. der projectivischen Anschauung abgehen. So richtig es also ist, dass bei geschickter Wahl der Raum- elemente der Raum Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen 1) Vergl. Note VI.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 18. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/26>, abgerufen am 03.12.2024.