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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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Puncte versehenen Fläche zweiten Grades besteht (§. 4).
Sieht man von dem ausgezeichneten Puncte ab und betrach-
tet also die projectivische Geometrie auf der Fläche an sich,
so hat man ein Bild der Geometrie der reciproken Radien
in der Ebene. Denn man überzeugt sich leicht 1), dass der
Transformationsgruppe der reciproken Radien in der Ebene
vermöge der Abbildung der Fläche zweiten Grades die Ge-
sammtheit der linearen Transformationen der letzteren in
sich selbst entspricht. Man hat also:

Geometrie der reciproken Radien in der
Ebene und projectivische Geometrie auf einer
Fläche zweiten Grades ist dasselbe,
und ganz entsprechend:

Geometrie der reciproken Radien im Raume
ist mit der projectivischen Behandlung einer
Mannigfaltigkeit gleichbedeutend, die durch
eine quadratische Gleichung zwischen fünf ho-
mogenen Veränderlichen dargestellt wird.

Die Raumgeometrie ist also durch die Geometrie der
reciproken Radien in ganz dieselbe Verbindung mit einer
Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen gesetzt, wie vermöge
der Liniengeometrie mit einer Mannigfaltigkeit von fünf
Ausdehnungen.

Die Geometrie der reciproken Radien in der Ebene
gestattet, sofern man nur auf reelle Transformationen
achten will, noch nach einer anderen Seite eine interessante
Darstellung, resp. Verwendung. Breitet man nämlich eine
complexe Variable x+iy in gewöhnlicher Weise in der Ebene
aus, so entspricht ihren linearen Transformationen die
Gruppe der reciproken Radien, mit der erwähnten Beschränk-
ung auf das Reelle. Die Untersuchung der Functionen
einer complexen Veränderlichen, die beliebigen linearen
Transformationen unterworfen gedacht ist, ist aber nichts
Anderes, als was bei einer etwas abgeänderten Darstellungs-
weise Theorie der binären Formen genannt wird. Also:

1) Vergleiche die bereits genannte Arbeit: Ueber Liniengeometrie
und metrische Geometrie. Math. Annalen Bd. V.

Puncte versehenen Fläche zweiten Grades besteht (§. 4).
Sieht man von dem ausgezeichneten Puncte ab und betrach-
tet also die projectivische Geometrie auf der Fläche an sich,
so hat man ein Bild der Geometrie der reciproken Radien
in der Ebene. Denn man überzeugt sich leicht 1), dass der
Transformationsgruppe der reciproken Radien in der Ebene
vermöge der Abbildung der Fläché zweiten Grades die Ge-
sammtheit der linearen Transformationen der letzteren in
sich selbst entspricht. Man hat also:

Geometrie der reciproken Radien in der
Ebene und projectivische Geometrie auf einer
Fläche zweiten Grades ist dasselbe,
und ganz entsprechend:

Geometrie der reciproken Radien im Raume
ist mit der projectivischen Behandlung einer
Mannigfaltigkeit gleichbedeutend, die durch
eine quadratische Gleichung zwischen fünf ho-
mogenen Veränderlichen dargestellt wird.

Die Raumgeometrie ist also durch die Geometrie der
reciproken Radien in ganz dieselbe Verbindung mit einer
Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen gesetzt, wie vermöge
der Liniengeometrie mit einer Mannigfaltigkeit von fünf
Ausdehnungen.

Die Geometrie der reciproken Radien in der Ebene
gestattet, sofern man nur auf reelle Transformationen
achten will, noch nach einer anderen Seite eine interessante
Darstellung, resp. Verwendung. Breitet man nämlich eine
complexe Variable x+iy in gewöhnlicher Weise in der Ebene
aus, so entspricht ihren linearen Transformationen die
Gruppe der reciproken Radien, mit der erwähnten Beschränk-
ung auf das Reelle. Die Untersuchung der Functionen
einer complexen Veränderlichen, die beliebigen linearen
Transformationen unterworfen gedacht ist, ist aber nichts
Anderes, als was bei einer etwas abgeänderten Darstellungs-
weise Theorie der binären Formen genannt wird. Also:

1) Vergleiche die bereits genannte Arbeit: Ueber Liniengeometrie
und metrische Geometrie. Math. Annalen Bd. V.
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[22/0030] Puncte versehenen Fläche zweiten Grades besteht (§. 4). Sieht man von dem ausgezeichneten Puncte ab und betrach- tet also die projectivische Geometrie auf der Fläche an sich, so hat man ein Bild der Geometrie der reciproken Radien in der Ebene. Denn man überzeugt sich leicht 1), dass der Transformationsgruppe der reciproken Radien in der Ebene vermöge der Abbildung der Fläché zweiten Grades die Ge- sammtheit der linearen Transformationen der letzteren in sich selbst entspricht. Man hat also: Geometrie der reciproken Radien in der Ebene und projectivische Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades ist dasselbe, und ganz entsprechend: Geometrie der reciproken Radien im Raume ist mit der projectivischen Behandlung einer Mannigfaltigkeit gleichbedeutend, die durch eine quadratische Gleichung zwischen fünf ho- mogenen Veränderlichen dargestellt wird. Die Raumgeometrie ist also durch die Geometrie der reciproken Radien in ganz dieselbe Verbindung mit einer Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen gesetzt, wie vermöge der Liniengeometrie mit einer Mannigfaltigkeit von fünf Ausdehnungen. Die Geometrie der reciproken Radien in der Ebene gestattet, sofern man nur auf reelle Transformationen achten will, noch nach einer anderen Seite eine interessante Darstellung, resp. Verwendung. Breitet man nämlich eine complexe Variable x+iy in gewöhnlicher Weise in der Ebene aus, so entspricht ihren linearen Transformationen die Gruppe der reciproken Radien, mit der erwähnten Beschränk- ung auf das Reelle. Die Untersuchung der Functionen einer complexen Veränderlichen, die beliebigen linearen Transformationen unterworfen gedacht ist, ist aber nichts Anderes, als was bei einer etwas abgeänderten Darstellungs- weise Theorie der binären Formen genannt wird. Also: 1) Vergleiche die bereits genannte Arbeit: Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie. Math. Annalen Bd. V.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 22. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/30>, abgerufen am 23.11.2024.