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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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wird, wie sich aus den Mannigfaltigkeiten von Elementen,
die gegebenen Gleichungen genügen, einfach, zweifach un-
endliche Reihen von Elementen ausscheiden lassen, deren
jedes mit einem benachbarten vereinigt liegt. Auf eine solche
Frage läuft z. B. die Aufgabe der Lösung einer partiellen
Differentialgleichung erster Ordnung hinaus. Man soll --
so kann man sie formuliren -- aus den vierfach unendlich
vielen Elementen, die der Gleichung genügen, alle zweifach
unendlichen Mannigfaltigkeiten der bewussten Art ausschei-
den. Insbesondere die Aufgabe der vollständigen Lösung
nimmt jetzt die präcise Form an: man soll die vierfach
unendlich vielen Elemente, die der Gleichung genügen, auf
eine Weise in zweifach unendlich viele derartige Mannig-
faltigkeiten zerlegen.

Ein Verfolg dieser Betrachtung über partielle Differen-
tialgleichungen kann hier nicht in der Absicht liegen; ich
verweise in Bezug hierauf auf die citirten Lie'schen Ar-
beiten. Es sei nur noch hervorgehoben, dass für den
Standpunct der Berührungstransformationen eine partielle
Differentialgleichung erster Ordnung keine Invariante hat,
dass jede in jede andere übergeführt werden kann, dass
also namentlich die linearen Gleichungen nicht weiter aus-
gezeichnet sind. Unterscheidungen treten erst ein, wenn
man zu dem Standpuncte der Puncttransformationen zu-
rückgeht.

Die Gruppen der Berührungstransformationen, der
Puncttransformationen, endlich der projectivischen Umform-
ungen lassen sich in einer einheitlichen Weise character-
isiren, die ich hier nicht unterdrücken mag 1). Berührungs-
transformationen wurden bereits definirt als diejenigen Um-
formungen, bei denen die vereinigte Lage consecutiver
Flächenelemente erhalten bleibt. Die Puncttransforma-
tionen haben dagegen die characteristische Eigenschaft,
vereinigt gelegene consecutive Linienelemente in eben
solche zu verwandeln: die linearen und dualistischen Trans-
formationen endlich bewahren die vereinigte Lage consecu-

1) Ich verdanke diese Definitionen einer Bemerkung von Lie.
3 *

wird, wie sich aus den Mannigfaltigkeiten von Elementen,
die gegebenen Gleichungen genügen, einfach, zweifach un-
endliche Reihen von Elementen ausscheiden lassen, deren
jedes mit einem benachbarten vereinigt liegt. Auf eine solche
Frage läuft z. B. die Aufgabe der Lösung einer partiellen
Differentialgleichung erster Ordnung hinaus. Man soll —
so kann man sie formuliren — aus den vierfach unendlich
vielen Elementen, die der Gleichung genügen, alle zweifach
unendlichen Mannigfaltigkeiten der bewussten Art ausschei-
den. Insbesondere die Aufgabe der vollständigen Lösung
nimmt jetzt die präcise Form an: man soll die vierfach
unendlich vielen Elemente, die der Gleichung genügen, auf
eine Weise in zweifach unendlich viele derartige Mannig-
faltigkeiten zerlegen.

Ein Verfolg dieser Betrachtung über partielle Differen-
tialgleichungen kann hier nicht in der Absicht liegen; ich
verweise in Bezug hierauf auf die citirten Lie’schen Ar-
beiten. Es sei nur noch hervorgehoben, dass für den
Standpunct der Berührungstransformationen eine partielle
Differentialgleichung erster Ordnung keine Invariante hat,
dass jede in jede andere übergeführt werden kann, dass
also namentlich die linearen Gleichungen nicht weiter aus-
gezeichnet sind. Unterscheidungen treten erst ein, wenn
man zu dem Standpuncte der Puncttransformationen zu-
rückgeht.

Die Gruppen der Berührungstransformationen, der
Puncttransformationen, endlich der projectivischen Umform-
ungen lassen sich in einer einheitlichen Weise character-
isiren, die ich hier nicht unterdrücken mag 1). Berührungs-
transformationen wurden bereits definirt als diejenigen Um-
formungen, bei denen die vereinigte Lage consecutiver
Flächenelemente erhalten bleibt. Die Puncttransforma-
tionen haben dagegen die characteristische Eigenschaft,
vereinigt gelegene consecutive Linienelemente in eben
solche zu verwandeln: die linearen und dualistischen Trans-
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1) Ich verdanke diese Definitionen einer Bemerkung von Lie.
3 *
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[35/0043] wird, wie sich aus den Mannigfaltigkeiten von Elementen, die gegebenen Gleichungen genügen, einfach, zweifach un- endliche Reihen von Elementen ausscheiden lassen, deren jedes mit einem benachbarten vereinigt liegt. Auf eine solche Frage läuft z. B. die Aufgabe der Lösung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung hinaus. Man soll — so kann man sie formuliren — aus den vierfach unendlich vielen Elementen, die der Gleichung genügen, alle zweifach unendlichen Mannigfaltigkeiten der bewussten Art ausschei- den. Insbesondere die Aufgabe der vollständigen Lösung nimmt jetzt die präcise Form an: man soll die vierfach unendlich vielen Elemente, die der Gleichung genügen, auf eine Weise in zweifach unendlich viele derartige Mannig- faltigkeiten zerlegen. Ein Verfolg dieser Betrachtung über partielle Differen- tialgleichungen kann hier nicht in der Absicht liegen; ich verweise in Bezug hierauf auf die citirten Lie’schen Ar- beiten. Es sei nur noch hervorgehoben, dass für den Standpunct der Berührungstransformationen eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung keine Invariante hat, dass jede in jede andere übergeführt werden kann, dass also namentlich die linearen Gleichungen nicht weiter aus- gezeichnet sind. Unterscheidungen treten erst ein, wenn man zu dem Standpuncte der Puncttransformationen zu- rückgeht. Die Gruppen der Berührungstransformationen, der Puncttransformationen, endlich der projectivischen Umform- ungen lassen sich in einer einheitlichen Weise character- isiren, die ich hier nicht unterdrücken mag 1). Berührungs- transformationen wurden bereits definirt als diejenigen Um- formungen, bei denen die vereinigte Lage consecutiver Flächenelemente erhalten bleibt. Die Puncttransforma- tionen haben dagegen die characteristische Eigenschaft, vereinigt gelegene consecutive Linienelemente in eben solche zu verwandeln: die linearen und dualistischen Trans- formationen endlich bewahren die vereinigte Lage consecu- 1) Ich verdanke diese Definitionen einer Bemerkung von Lie. 3 *

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 35. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/43>, abgerufen am 03.12.2024.