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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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tere Geometrie zu construiren habe. Aber die Fragestellung
ist offenbar eine philosophische, welche die allgemeinsten Grund-
lagen unserer Erkenntniss betrifft. Den Mathematiker als
solchen interessirt die Fragestellung nicht, und er wünscht,
dass seine Untersuchungen nicht als abhängig betrachtet wer-
den von der Antwort, die man von der einen oder der anderen
Seite auf die Frage geben mag.

VI. Liniengeometrie als Untersuchung einer
Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungs-
masse.

Wenn wir Liniengeometrie mit der projectivischen Mass-
bestimmung in einer fünffach ausgedehnten Mannigfaltigkeit in
Verbindung setzen, müssen wir beachten, dass wir in den ge-
raden Linien nur die (im Sinne der Massbestimmung) unend-
lich fernen Elemente der Mannigfaltigkeit vor uns haben. Es
wird daher nöthig, zu überlegen, welchen Werth eine projec-
tivische Massbestimmung für ihre unendlich fernen Elemente
hat, und das mag hier etwas auseinandergesetzt werden, um
Schwierigkeiten, die sich sonst der Auffassung der Linien-
geometrie als einer Massgeometrie entgegen stellen, zu entfernen.
Wir knüpfen diese Auseinandersetzungen an das anschauliche
Beispiel, welches die auf eine Fläche zweiten Grades gegrün-
dete projectivische Massbestimmung ergibt.

Zwei beliebig angenommene Puncte des Raumes haben in
Bezug auf die Fläche eine absolute Invariante: ihr Doppelver-
hältniss zu den beiden Durchschnittspuncten ihrer Verbindungs-
geraden mit der Fläche. Rücken aber die beiden Puncte auf
die Fläche, so wird dies Doppelverhältniss unabhängig von der
Lage der Puncte gleich Null, ausser in dem Falle, dass die
beiden Puncte auf eine Erzeugende zu liegen kommen, wo es
unbestimmt wird. Dies ist die einzige Particularisation, die in
ihrer Beziehung eintreten kann, wenn sie nicht zusammenfallen,
und wir haben also den Satz:

Die projectivische Massbestimmung, welche
man im Raume auf eine Fläche zweiten Grades
gründen kann, ergibt für die Geometrie auf der
Fläche noch keine Massbestimmung.

Hiermit hängt zusammen, dass man durch lineare Trans-

tere Geometrie zu construiren habe. Aber die Fragestellung
ist offenbar eine philosophische, welche die allgemeinsten Grund-
lagen unserer Erkenntniss betrifft. Den Mathematiker als
solchen interessirt die Fragestellung nicht, und er wünscht,
dass seine Untersuchungen nicht als abhängig betrachtet wer-
den von der Antwort, die man von der einen oder der anderen
Seite auf die Frage geben mag.

VI. Liniengeometrie als Untersuchung einer
Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungs-
masse.

Wenn wir Liniengeometrie mit der projectivischen Mass-
bestimmung in einer fünffach ausgedehnten Mannigfaltigkeit in
Verbindung setzen, müssen wir beachten, dass wir in den ge-
raden Linien nur die (im Sinne der Massbestimmung) unend-
lich fernen Elemente der Mannigfaltigkeit vor uns haben. Es
wird daher nöthig, zu überlegen, welchen Werth eine projec-
tivische Massbestimmung für ihre unendlich fernen Elemente
hat, und das mag hier etwas auseinandergesetzt werden, um
Schwierigkeiten, die sich sonst der Auffassung der Linien-
geometrie als einer Massgeometrie entgegen stellen, zu entfernen.
Wir knüpfen diese Auseinandersetzungen an das anschauliche
Beispiel, welches die auf eine Fläche zweiten Grades gegrün-
dete projectivische Massbestimmung ergibt.

Zwei beliebig angenommene Puncte des Raumes haben in
Bezug auf die Fläche eine absolute Invariante: ihr Doppelver-
hältniss zu den beiden Durchschnittspuncten ihrer Verbindungs-
geraden mit der Fläche. Rücken aber die beiden Puncte auf
die Fläche, so wird dies Doppelverhältniss unabhängig von der
Lage der Puncte gleich Null, ausser in dem Falle, dass die
beiden Puncte auf eine Erzeugende zu liegen kommen, wo es
unbestimmt wird. Dies ist die einzige Particularisation, die in
ihrer Beziehung eintreten kann, wenn sie nicht zusammenfallen,
und wir haben also den Satz:

Die projectivische Massbestimmung, welche
man im Raume auf eine Fläche zweiten Grades
gründen kann, ergibt für die Geometrie auf der
Fläche noch keine Massbestimmung.

Hiermit hängt zusammen, dass man durch lineare Trans-

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[45/0053] tere Geometrie zu construiren habe. Aber die Fragestellung ist offenbar eine philosophische, welche die allgemeinsten Grund- lagen unserer Erkenntniss betrifft. Den Mathematiker als solchen interessirt die Fragestellung nicht, und er wünscht, dass seine Untersuchungen nicht als abhängig betrachtet wer- den von der Antwort, die man von der einen oder der anderen Seite auf die Frage geben mag. VI. Liniengeometrie als Untersuchung einer Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungs- masse. Wenn wir Liniengeometrie mit der projectivischen Mass- bestimmung in einer fünffach ausgedehnten Mannigfaltigkeit in Verbindung setzen, müssen wir beachten, dass wir in den ge- raden Linien nur die (im Sinne der Massbestimmung) unend- lich fernen Elemente der Mannigfaltigkeit vor uns haben. Es wird daher nöthig, zu überlegen, welchen Werth eine projec- tivische Massbestimmung für ihre unendlich fernen Elemente hat, und das mag hier etwas auseinandergesetzt werden, um Schwierigkeiten, die sich sonst der Auffassung der Linien- geometrie als einer Massgeometrie entgegen stellen, zu entfernen. Wir knüpfen diese Auseinandersetzungen an das anschauliche Beispiel, welches die auf eine Fläche zweiten Grades gegrün- dete projectivische Massbestimmung ergibt. Zwei beliebig angenommene Puncte des Raumes haben in Bezug auf die Fläche eine absolute Invariante: ihr Doppelver- hältniss zu den beiden Durchschnittspuncten ihrer Verbindungs- geraden mit der Fläche. Rücken aber die beiden Puncte auf die Fläche, so wird dies Doppelverhältniss unabhängig von der Lage der Puncte gleich Null, ausser in dem Falle, dass die beiden Puncte auf eine Erzeugende zu liegen kommen, wo es unbestimmt wird. Dies ist die einzige Particularisation, die in ihrer Beziehung eintreten kann, wenn sie nicht zusammenfallen, und wir haben also den Satz: Die projectivische Massbestimmung, welche man im Raume auf eine Fläche zweiten Grades gründen kann, ergibt für die Geometrie auf der Fläche noch keine Massbestimmung. Hiermit hängt zusammen, dass man durch lineare Trans-

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 45. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/53>, abgerufen am 09.11.2024.