Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

so bildet es eine bei beliebiger conformen Umänderung der Fläche invariante Eigenschaft, nach deren Vorhandensein und Modalität besonders interessante Flächenclassen aus der Gesammtheit der übrigen herausgehoben werden können. Doch verfolgen wir hier diesen Gesichtspunct nicht weiter.

Betreffs der Transformationen zweiter Art mögen wir voranstellen, dass jede Transformation der zweiten Art in Verbindung mit einer solchen der ersten Art eine neue Transformation der zweiten Art ergibt. Nun kennen wir bei den Flächen und die Transformationen erster Art auf Grund der angegebenen Sätze vollständig. Es wird bei ihnen also genügen, zu untersuchen, ob überhaupt eine Transformation der zweiten Art existirt. Bei den Flächen ist diess sofort zu bejahen. Denn es genügt, eine beliebige der eindeutigen Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, , herauszugreifen, und dann , zu setzen. Bei den Flächen ist die Sache anders. Man findet, dass im Allgemeinen keine Transformation der zweiten Art existirt. Zum Beweise ist es am einfachsten, die Werthe in Betracht zu ziehen, welche das überall endliche Integral W auf der Fläche annimmt. Man denke sich in der Ebene W die Puncte markirt, unter wie oben beliebige positive oder negative ganze Zahlen verstanden. Man zeigt dann leicht, dass eine Transformation der zweiten Art der Fläche in sich nur dann möglich ist, wenn dieses Punctsystem eine Symmetrieaxe besitzt. Es ist diess gerade der Fall, in welchem die oben definirte absolute Invariante J einen reellen Werth aufweist. Je nachdem dabei oder , können jene Puncte in der W-Ebene als die Ecken eines rhombischen oder eines rechteckigen Systems betrachtet werden.

Sei nun . Wenn für eine solche Fläche eine Transformation der zweiten Art existirt, so wird dieselbe im Allgemeinen von keiner weiteren Transformation derselben Art

Solchen Flächen entsprechen algebraische Gleichungen mit einer Gruppe eindeutiger Transformationen in sich. Die Bemerkungen des Textes zielen also auf solche Untersuchungen ab, wie sie in neuerer Zeit von Hrn. Dyck verfolgt worden sind (cf. die bereits citirte Arbeit im 17. Bande der Mathematischen Annalen: Aufstellung und Untersuchung von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann'scher Flächen).

so bildet es eine bei beliebiger conformen Umänderung der Fläche invariante Eigenschaft, nach deren Vorhandensein und Modalität besonders interessante Flächenclassen aus der Gesammtheit der übrigen herausgehoben werden können. Doch verfolgen wir hier diesen Gesichtspunct nicht weiter.

Betreffs der Transformationen zweiter Art mögen wir voranstellen, dass jede Transformation der zweiten Art in Verbindung mit einer solchen der ersten Art eine neue Transformation der zweiten Art ergibt. Nun kennen wir bei den Flächen und die Transformationen erster Art auf Grund der angegebenen Sätze vollständig. Es wird bei ihnen also genügen, zu untersuchen, ob überhaupt eine Transformation der zweiten Art existirt. Bei den Flächen ist diess sofort zu bejahen. Denn es genügt, eine beliebige der eindeutigen Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, , herauszugreifen, und dann , zu setzen. Bei den Flächen ist die Sache anders. Man findet, dass im Allgemeinen keine Transformation der zweiten Art existirt. Zum Beweise ist es am einfachsten, die Werthe in Betracht zu ziehen, welche das überall endliche Integral W auf der Fläche annimmt. Man denke sich in der Ebene W die Puncte markirt, unter wie oben beliebige positive oder negative ganze Zahlen verstanden. Man zeigt dann leicht, dass eine Transformation der zweiten Art der Fläche in sich nur dann möglich ist, wenn dieses Punctsystem eine Symmetrieaxe besitzt. Es ist diess gerade der Fall, in welchem die oben definirte absolute Invariante J einen reellen Werth aufweist. Je nachdem dabei oder , können jene Puncte in der W-Ebene als die Ecken eines rhombischen oder eines rechteckigen Systems betrachtet werden.

Sei nun . Wenn für eine solche Fläche eine Transformation der zweiten Art existirt, so wird dieselbe im Allgemeinen von keiner weiteren Transformation derselben Art

Solchen Flächen entsprechen algebraische Gleichungen mit einer Gruppe eindeutiger Transformationen in sich. Die Bemerkungen des Textes zielen also auf solche Untersuchungen ab, wie sie in neuerer Zeit von Hrn. Dyck verfolgt worden sind (cf. die bereits citirte Arbeit im 17. Bande der Mathematischen Annalen: Aufstellung und Untersuchung von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann'scher Flächen).
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div>
          <p><pb facs="#f0079" n="71"/>
so bildet es eine bei beliebiger conformen Umänderung der
 Fläche invariante Eigenschaft, nach deren Vorhandensein und
 Modalität besonders interessante Flächenclassen aus der Gesammtheit
 der übrigen herausgehoben werden können.<note place="foot"><p>Solchen Flächen entsprechen algebraische Gleichungen mit einer
 Gruppe eindeutiger Transformationen in sich. Die Bemerkungen des
 Textes zielen also auf solche Untersuchungen ab, wie sie in neuerer
 Zeit von Hrn. Dyck verfolgt worden sind (cf. die bereits citirte Arbeit
 im 17. Bande der Mathematischen Annalen: Aufstellung und Untersuchung
 von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann'scher Flächen).</p></note>
 Doch verfolgen wir hier diesen Gesichtspunct nicht weiter.</p>
          <p>Betreffs der Transformationen zweiter Art mögen wir
 voranstellen, <hi rendition="#i">dass jede Transformation der zweiten Art in
 Verbindung mit einer solchen der ersten Art eine neue Transformation
 der zweiten Art ergibt</hi>. Nun kennen wir bei den
 Flächen <formula notation="TeX">p = 0</formula> und <formula notation="TeX">p = 1</formula> die Transformationen erster Art
 auf Grund der angegebenen Sätze vollständig. Es wird bei
 ihnen also genügen, zu untersuchen, ob überhaupt <hi rendition="#i">eine</hi> Transformation
 der zweiten Art existirt. <hi rendition="#i">Bei den Flächen <formula notation="TeX">p = 0</formula>
 ist diess sofort zu bejahen</hi>. Denn es genügt, eine beliebige
 der eindeutigen Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte,
 <formula notation="TeX">x + iy</formula>, herauszugreifen, und dann <formula notation="TeX">x_1 = x</formula>,
 <formula notation="TeX">y_1 = - y</formula> zu setzen. Bei den Flächen <formula notation="TeX">p = 1</formula> ist die Sache
 anders. <hi rendition="#i">Man findet, dass im Allgemeinen keine Transformation
 der zweiten Art existirt</hi>. Zum Beweise ist es am einfachsten,
 die Werthe in Betracht zu ziehen, welche das überall
 endliche Integral <hi rendition="#i">W</hi> auf der Fläche <formula notation="TeX">p = 1</formula> annimmt. Man denke
 sich in der Ebene <hi rendition="#i">W</hi> die Puncte <formula notation="TeX">W = m_1\omega_1 + m_2\omega_2</formula> markirt,
 unter <formula notation="TeX">m_1, m_2</formula> wie oben beliebige positive oder negative ganze
 Zahlen verstanden. Man zeigt dann leicht, dass eine Transformation
 der zweiten Art der Fläche <formula notation="TeX">p = 1</formula> in sich nur dann
 möglich ist, wenn dieses Punctsystem eine Symmetrieaxe besitzt.
 Es ist diess gerade <hi rendition="#i">der</hi> Fall, in welchem die oben definirte absolute
 Invariante <hi rendition="#i">J</hi> einen <hi rendition="#i">reellen</hi> Werth aufweist. Je nachdem
 dabei <formula notation="TeX">J &lt;</formula> oder <formula notation="TeX">&gt; 1</formula>, können jene Puncte in der <hi rendition="#i">W</hi>-Ebene
 als die Ecken eines <hi rendition="#i">rhombischen</hi> oder eines <hi rendition="#i">rechteckigen</hi> Systems
 betrachtet werden.</p>
          <p>Sei nun <formula notation="TeX">p &gt; 1</formula>. Wenn für eine solche Fläche eine Transformation
 der zweiten Art existirt, so wird dieselbe im Allgemeinen
 von keiner weiteren Transformation derselben Art
</p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[71/0079] so bildet es eine bei beliebiger conformen Umänderung der Fläche invariante Eigenschaft, nach deren Vorhandensein und Modalität besonders interessante Flächenclassen aus der Gesammtheit der übrigen herausgehoben werden können. Doch verfolgen wir hier diesen Gesichtspunct nicht weiter. Betreffs der Transformationen zweiter Art mögen wir voranstellen, dass jede Transformation der zweiten Art in Verbindung mit einer solchen der ersten Art eine neue Transformation der zweiten Art ergibt. Nun kennen wir bei den Flächen [FORMEL] und [FORMEL] die Transformationen erster Art auf Grund der angegebenen Sätze vollständig. Es wird bei ihnen also genügen, zu untersuchen, ob überhaupt eine Transformation der zweiten Art existirt. Bei den Flächen [FORMEL] ist diess sofort zu bejahen. Denn es genügt, eine beliebige der eindeutigen Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, [FORMEL], herauszugreifen, und dann [FORMEL], [FORMEL] zu setzen. Bei den Flächen [FORMEL] ist die Sache anders. Man findet, dass im Allgemeinen keine Transformation der zweiten Art existirt. Zum Beweise ist es am einfachsten, die Werthe in Betracht zu ziehen, welche das überall endliche Integral W auf der Fläche [FORMEL] annimmt. Man denke sich in der Ebene W die Puncte [FORMEL] markirt, unter [FORMEL] wie oben beliebige positive oder negative ganze Zahlen verstanden. Man zeigt dann leicht, dass eine Transformation der zweiten Art der Fläche [FORMEL] in sich nur dann möglich ist, wenn dieses Punctsystem eine Symmetrieaxe besitzt. Es ist diess gerade der Fall, in welchem die oben definirte absolute Invariante J einen reellen Werth aufweist. Je nachdem dabei [FORMEL] oder [FORMEL], können jene Puncte in der W-Ebene als die Ecken eines rhombischen oder eines rechteckigen Systems betrachtet werden. Sei nun [FORMEL]. Wenn für eine solche Fläche eine Transformation der zweiten Art existirt, so wird dieselbe im Allgemeinen von keiner weiteren Transformation derselben Art Solchen Flächen entsprechen algebraische Gleichungen mit einer Gruppe eindeutiger Transformationen in sich. Die Bemerkungen des Textes zielen also auf solche Untersuchungen ab, wie sie in neuerer Zeit von Hrn. Dyck verfolgt worden sind (cf. die bereits citirte Arbeit im 17. Bande der Mathematischen Annalen: Aufstellung und Untersuchung von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann'scher Flächen).

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde im Rahmen des Moduls DTA-Erweiterungen (DTAE) digitalisiert. Weitere Informationen …

gutenberg.org: Bereitstellung der Texttranskription und Auszeichnung in HTML. (2012-11-06T13:54:31Z) Bitte beachten Sie, dass die aktuelle Transkription (und Textauszeichnung) mittlerweile nicht mehr dem Stand zum Zeitpunkt der Übernahme aus gutenberg.org entsprechen muss.
gutenberg.org: Bereitstellung der Bilddigitalisate (2012-11-06T13:54:31Z)
Frank Wiegand: Konvertierung von HTML nach XML/TEI gemäß DTA-Basisformat. (2012-11-06T13:54:31Z)

Weitere Informationen:

Anmerkungen zur Transkription:

  • Schreibweise und Interpunktion des Originaltextes wurden übernommen.
  • Der Zeilenfall wurde nicht beibehalten, die Silbentrennung wurde aufgehoben.



Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/79
Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 71. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/79>, abgerufen am 27.11.2024.