1) Wenn wir eine Kugel durch Spiegelung an einer Diametralebene
mit sich zur Deckung bringen, so bildet der
grösste Kreis, in welchem sie von der Diametralebene geschnitten
wird, eine Uebergangscurve. Wir erhalten eine
Zuordnung der anderen Art indem wir je zwei solche Puncte
der Kugel entsprechend setzen, welche die Endpuncte eines
Durchmessers bilden. Beide Beispiele sind leicht zu generalisiren.
Die analytische Darstellung ist diese. Wenn eine
Uebergangscurve existirt, so gibt es eindeutige Functionen
des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, die auf der
Uebergangscurve reelle Werthe annehmen. Heisst eine derselben
, so ist die Umformung, wie oben schon
als Beispiel angegeben, durch , gegeben. -- Im
zweiten Falle kann man eine Function so wählen,
dass ihre Werthe und 0, sowie und zusammengeordnete
Puncte vorstellen. Dann ist die analytische Formel der betreffenden Umänderung.
2) Im Falle müssen wir die Invariante J, wie wir
wissen, jedenfalls reell nehmen. Sei dieselbe zunächst .
Dann können wir das zugehörige überall endliche Integral
W (durch Zufügung eines geigneten constanten Factors) so
normiren, dass die eine Periode reell, gleich a, die andere
rein imaginär, gleich , wird. Setzen wir dann (für
): so haben wir eine symmetrische Umformung der Fläche
mit den zwei Uebergangscurven: schreiben wir dagegen: was wieder eine symmetrische Umformung unserer Fläche ist,
so haben wir den Fall, in welchem keine Uebergangscurve
entsteht. -- Der Fall mit nur einer Uebergangscurve tritt
ein, wenn wir nehmen. Wir können dann W so
wählen, dass seine beiden Perioden conjugirt complex werden.
1) Wenn wir eine Kugel durch Spiegelung an einer Diametralebene
mit sich zur Deckung bringen, so bildet der
grösste Kreis, in welchem sie von der Diametralebene geschnitten
wird, eine Uebergangscurve. Wir erhalten eine
Zuordnung der anderen Art indem wir je zwei solche Puncte
der Kugel entsprechend setzen, welche die Endpuncte eines
Durchmessers bilden. Beide Beispiele sind leicht zu generalisiren.
Die analytische Darstellung ist diese. Wenn eine
Uebergangscurve existirt, so gibt es eindeutige Functionen
des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, die auf der
Uebergangscurve reelle Werthe annehmen. Heisst eine derselben
, so ist die Umformung, wie oben schon
als Beispiel angegeben, durch , gegeben. — Im
zweiten Falle kann man eine Function so wählen,
dass ihre Werthe und 0, sowie und zusammengeordnete
Puncte vorstellen. Dann ist die analytische Formel der betreffenden Umänderung.
2) Im Falle müssen wir die Invariante J, wie wir
wissen, jedenfalls reell nehmen. Sei dieselbe zunächst .
Dann können wir das zugehörige überall endliche Integral
W (durch Zufügung eines geigneten constanten Factors) so
normiren, dass die eine Periode reell, gleich a, die andere
rein imaginär, gleich , wird. Setzen wir dann (für
): so haben wir eine symmetrische Umformung der Fläche
mit den zwei Uebergangscurven: schreiben wir dagegen: was wieder eine symmetrische Umformung unserer Fläche ist,
so haben wir den Fall, in welchem keine Uebergangscurve
entsteht. — Der Fall mit nur einer Uebergangscurve tritt
ein, wenn wir nehmen. Wir können dann W so
wählen, dass seine beiden Perioden conjugirt complex werden.
<TEI><text><body><divn="1"><div><pbfacs="#f0081"n="73"/><p>1) Wenn wir eine Kugel durch Spiegelung an einer Diametralebene
mit sich zur Deckung bringen, so bildet der
grösste Kreis, in welchem sie von der Diametralebene geschnitten
wird, eine Uebergangscurve. Wir erhalten eine
Zuordnung der anderen Art indem wir je zwei solche Puncte
der Kugel entsprechend setzen, welche die Endpuncte eines
Durchmessers bilden. Beide Beispiele sind leicht zu generalisiren.
Die analytische Darstellung ist diese. Wenn eine
Uebergangscurve existirt, so gibt es eindeutige Functionen
des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, die auf der
Uebergangscurve reelle Werthe annehmen. Heisst eine derselben
<formulanotation="TeX">x + iy</formula>, so ist die Umformung, wie oben schon
als Beispiel angegeben, durch <formulanotation="TeX">x_{1} = x</formula>, <formulanotation="TeX">y_{1} = -y</formula> gegeben. — Im
zweiten Falle kann man eine Function <formulanotation="TeX">x + iy</formula> so wählen,
dass ihre Werthe <formulanotation="TeX">\infty</formula> und <hirendition="#i">0</hi>, sowie <formulanotation="TeX">+1</formula> und <formulanotation="TeX">-1</formula> zusammengeordnete
Puncte vorstellen. Dann ist<lb/><formularendition="#c"notation="TeX">
\[
x_1 - iy_1 = \frac{-1}{x+iy}
\]
</formula><lb/>
die analytische Formel der betreffenden Umänderung.</p><p>2) Im Falle <formulanotation="TeX">p = 1</formula> müssen wir die Invariante <hirendition="#i">J</hi>, wie wir
wissen, jedenfalls reell nehmen. Sei dieselbe zunächst <formulanotation="TeX">> 1</formula>.
Dann können wir das zugehörige überall endliche Integral <hirendition="#i">W</hi> (durch Zufügung eines geigneten constanten Factors) so
normiren, dass die eine Periode <hirendition="#i">reell</hi>, gleich <hirendition="#i">a</hi>, die andere <hirendition="#i">rein imaginär</hi>, gleich <formulanotation="TeX">ib</formula>, wird. Setzen wir dann (für
<formulanotation="TeX">W = U + iV</formula>):<lb/><formularendition="#c"notation="TeX">
\[
U_1 = U,\quad V_1 = -V
\]
</formula><lb/>
so haben wir eine symmetrische Umformung der Fläche <formulanotation="TeX">p = 1</formula>
mit den <hirendition="#i">zwei</hi> Uebergangscurven:<lb/><formularendition="#c"notation="TeX">
\[
V = o,\quad V = \frac{b}{2}
\]
</formula><lb/>
schreiben wir dagegen:<lb/><formularendition="#c"notation="TeX">
\[
U_1 = U + \frac{a}{2},\quad V_1 = -V,
\]
</formula><lb/>
was wieder eine symmetrische Umformung unserer Fläche ist,
so haben wir den Fall, in welchem <hirendition="#i">keine</hi> Uebergangscurve
entsteht. — Der Fall mit nur <hirendition="#i">einer</hi> Uebergangscurve tritt
ein, wenn wir <formulanotation="TeX">J < 1</formula> nehmen. Wir können dann <hirendition="#i">W</hi> so
wählen, dass seine beiden Perioden conjugirt complex werden.
</p></div></div></body></text></TEI>
[73/0081]
1) Wenn wir eine Kugel durch Spiegelung an einer Diametralebene mit sich zur Deckung bringen, so bildet der grösste Kreis, in welchem sie von der Diametralebene geschnitten wird, eine Uebergangscurve. Wir erhalten eine Zuordnung der anderen Art indem wir je zwei solche Puncte der Kugel entsprechend setzen, welche die Endpuncte eines Durchmessers bilden. Beide Beispiele sind leicht zu generalisiren. Die analytische Darstellung ist diese. Wenn eine Uebergangscurve existirt, so gibt es eindeutige Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, die auf der Uebergangscurve reelle Werthe annehmen. Heisst eine derselben [FORMEL], so ist die Umformung, wie oben schon als Beispiel angegeben, durch [FORMEL], [FORMEL] gegeben. — Im zweiten Falle kann man eine Function [FORMEL] so wählen, dass ihre Werthe [FORMEL] und 0, sowie [FORMEL] und [FORMEL] zusammengeordnete Puncte vorstellen. Dann ist
[FORMEL]
die analytische Formel der betreffenden Umänderung.
2) Im Falle [FORMEL] müssen wir die Invariante J, wie wir wissen, jedenfalls reell nehmen. Sei dieselbe zunächst [FORMEL]. Dann können wir das zugehörige überall endliche Integral W (durch Zufügung eines geigneten constanten Factors) so normiren, dass die eine Periode reell, gleich a, die andere rein imaginär, gleich [FORMEL], wird. Setzen wir dann (für [FORMEL]):
[FORMEL]
so haben wir eine symmetrische Umformung der Fläche [FORMEL] mit den zwei Uebergangscurven:
[FORMEL]
schreiben wir dagegen:
[FORMEL]
was wieder eine symmetrische Umformung unserer Fläche ist, so haben wir den Fall, in welchem keine Uebergangscurve entsteht. — Der Fall mit nur einer Uebergangscurve tritt ein, wenn wir [FORMEL] nehmen. Wir können dann W so wählen, dass seine beiden Perioden conjugirt complex werden.
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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 73. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/81>, abgerufen am 28.02.2025.
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