Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

Aus dieser Beziehung ergiebt sich, was freilich schon
aus der Form der Gleichung 4) hervorgeht, daß, wenn man
zwei Seilpolygone für dieselben Verticalkräfte aber mit zwei
verschiedenen Horizontalzügen H1 und H2 construirt, die
correspondirenden Verticalordinaten dieser zwei Polygone, be-
zogen auf irgend eine Polygonseite, umgekehrt zu einander
sich verhalten wie die beiden Horizontalzüge. Diese Eigen-
schaft ermöglicht die Anwendung der graphischen Methode auf
die Theorie der elastischen Linie. Der Horizontalzug E der
von der elastischen Linie gebildeten Seilcurve ist in fast allen
Fällen der Praxis so außerordentlich groß im Verhältniß zu
den Belastungen [Formel 3] , daß die Ordinaten der Curve verschwin-
dend klein ausfallen würden, wenn man (vergl. Fig. 4) die
Belastungen und den Horizontalzug in demselben Maaß-
stabe auftragen wollte. Vermöge jener Eigenschaft der Seil-
polygone und Seilcurven kann man aber den Horizontalzug
und die Belastungen nach zwei verschiedenen Maaßstäben
auftragen und braucht alsdann nur die auf eine Tangente oder
Sehne bezogenen verticalen Ordinaten der Curve in dem Ver-
hältniß jener zwei Maaßstäbe zu verjüngen, um die wirklichen
Ordinatenwerthe zu erhalten. Wenn es sich darum handelt,
die Größen von Durchbiegungen aus der Zeichnung zu ent-
nehmen, so ist es in der Regel am zweckmäßigsten, das Ver-
hältniß des Maaßstabes des Horizontalzugs E zu dem Maaß-
stab der Belastungen [Formel 4] genau so groß zu wählen, wie das
Verhältniß der Abscissen in der Zeichnung zu den wirklichen
Abscissenlängen, wenn also z. B. die Abscissen in dem Maaß-
stabe 1:300 gezeichnet werden, die Belastungen [Formel 5] in einem
dreihundert Mal größeren Maaßstab aufzutragen, als den Hori-
zontalzug E. Da in Folge dessen die Ordinaten des Seil-
polygons im Verhältniß zu den Abscissen dreihundertfach ver-
größert erscheinen, so erhält man in der Zeichnung die Durch-
biegungen in natürlicher Größe.

15) Construirt man mit demselben Horizontalzug H
ein Seilpolygon (Fig. 8) für die Belastungen P1, P2, P3
nebst den zugehörigen Auflagerdrücken Q1 und Q2, ein zweites
Seilpolygon (Fig. 9) unter sonst gleichen Umständen mit
Hinzunahme einer vierten Belastung P4 und ein drittes Poly-
gon (Fig. 10) nur für die Belastung P4 und bezeichnet man
[Spaltenumbruch]
die Verticalordinaten dieser drei Polygone in Bezug auf die
Verbindungslinien der Auflager mit y1, y2 und y3, so ist
für jede Abscisse
[Formel 6] Denn das von der Ordinate y2 gemessene Biegungsmoment
der vier Belastungen P1, P2, P3, P4 ist gleich der Summe
der beiden Biegungsmomente, welche von P1, P2, P3 und von
P4 erzeugt, und durch y1 und y3 dargestellt werden. Hieraus
folgt, daß die Zunabme der Durchbiegung eines belasteten
Trägers in Folge einer neu hinzukommenden Belastung in
irgend einem Punkte gleich ist derjenigen Durchbiegung, welche
der gewichtslose Träger allein unter Einwirkung jener Be-
lastung in dem betrachteten Punkte annehmen würde.

16) Fig. 11) Blatt 397 sei die Darstellung der Belastung
eines Seils in der Art, daß die Belastung pro Längeneinheit
der horizontalen Abscissenachse in jedem Punkte durch die
Ordinate der Curve A1 A2 A3 A4 gemessen wird. Die
Fläche A1 A2 A3 A4, welche die Belastungsfläche genannt
wird, ist durch Ordinaten A2 A2, A3 A3 in beliebige Theile
zerlegt, und in den Schwerpunkten dieser Flächentheile sind
Verticalkräfte P1, P2, P3 angebracht, deren Größen dem Inhalt
der betreffenden Flächen entsprechen. Construirt man nun aus
dem Horizontalzug H und jenen Einzelkräften ein Seil-
polygon a1 a2 a3 a4 (Fig. 12), so berührt dieses Polygon
die Seilcurve, welche der in Fig. 11) dargestellten Belastung
entspricht, in den Verticalen der Theilpunkte A1, A2, A3 und
A4. Denn in diesen Punkten stimmen sowohl die Momenten-
gleichungen, wie auch die verticalen Seitenkräfte der Seil-
spannungen für das Seilpolygon und für die Seilcurve mit
einander überein. Durch entsprechende Theilung der Be-
lastungsfläche kann man sonach eine beliebig große Anzahl
von Punkten der Seilcurve festlegen. Bezeichnet man mit
Q1 und Q2 die Drücke der Belastungsfläche auf die beiden
Auflager A1 und A4 und theilt man die Belastungsfläche durch
die Ordinate C D so, daß
[Formel 7] und
[Formel 8] wird, so liegt die größte Ordinate c d der Seilcurve in der
Verticalen der Ordinate C D, weil die Seilcurve in dem
Punkte d zur Verbindungslinie a1 a4 der beiden Auflager
parallel gerichtet ist.

17) Um die elastische Linie für einen Balken von ver-
änderlichem Querschnitt zu construiren, kann man die graphi-
sche Darstellung der Größe [Formel 9] ausführen, diese Belastungs-
fläche durch Ordinaten zerlegen, die Flächentheile durch Einzel-
kräfte ersetzen und aus diesen ein Seilpolygon mit dem con-
stanten Horizontalzug E darstellen. In den meisten Fällen
gelangt man jedoch einfacher zu Ziele, wenn man in der

Aus dieſer Beziehung ergiebt ſich, was freilich ſchon
aus der Form der Gleichung 4) hervorgeht, daß, wenn man
zwei Seilpolygone für dieſelben Verticalkräfte aber mit zwei
verſchiedenen Horizontalzügen H1 und H2 conſtruirt, die
correſpondirenden Verticalordinaten dieſer zwei Polygone, be-
zogen auf irgend eine Polygonſeite, umgekehrt zu einander
ſich verhalten wie die beiden Horizontalzüge. Dieſe Eigen-
ſchaft ermöglicht die Anwendung der graphiſchen Methode auf
die Theorie der elaſtiſchen Linie. Der Horizontalzug E der
von der elaſtiſchen Linie gebildeten Seilcurve iſt in faſt allen
Fällen der Praxis ſo außerordentlich groß im Verhältniß zu
den Belaſtungen [Formel 3] , daß die Ordinaten der Curve verſchwin-
dend klein ausfallen würden, wenn man (vergl. Fig. 4) die
Belaſtungen und den Horizontalzug in demſelben Maaß-
ſtabe auftragen wollte. Vermöge jener Eigenſchaft der Seil-
polygone und Seilcurven kann man aber den Horizontalzug
und die Belaſtungen nach zwei verſchiedenen Maaßſtäben
auftragen und braucht alsdann nur die auf eine Tangente oder
Sehne bezogenen verticalen Ordinaten der Curve in dem Ver-
hältniß jener zwei Maaßſtäbe zu verjüngen, um die wirklichen
Ordinatenwerthe zu erhalten. Wenn es ſich darum handelt,
die Größen von Durchbiegungen aus der Zeichnung zu ent-
nehmen, ſo iſt es in der Regel am zweckmäßigſten, das Ver-
hältniß des Maaßſtabes des Horizontalzugs E zu dem Maaß-
ſtab der Belaſtungen [Formel 4] genau ſo groß zu wählen, wie das
Verhältniß der Abſciſſen in der Zeichnung zu den wirklichen
Abſciſſenlängen, wenn alſo z. B. die Abſciſſen in dem Maaß-
ſtabe 1:300 gezeichnet werden, die Belaſtungen [Formel 5] in einem
dreihundert Mal größeren Maaßſtab aufzutragen, als den Hori-
zontalzug E. Da in Folge deſſen die Ordinaten des Seil-
polygons im Verhältniß zu den Abſciſſen dreihundertfach ver-
größert erſcheinen, ſo erhält man in der Zeichnung die Durch-
biegungen in natürlicher Größe.

15) Conſtruirt man mit demſelben Horizontalzug H
ein Seilpolygon (Fig. 8) für die Belaſtungen P1, P2, P3
nebſt den zugehörigen Auflagerdrücken Q1 und Q2, ein zweites
Seilpolygon (Fig. 9) unter ſonſt gleichen Umſtänden mit
Hinzunahme einer vierten Belaſtung P4 und ein drittes Poly-
gon (Fig. 10) nur für die Belaſtung P4 und bezeichnet man
[Spaltenumbruch]
die Verticalordinaten dieſer drei Polygone in Bezug auf die
Verbindungslinien der Auflager mit y1, y2 und y3, ſo iſt
für jede Abſciſſe
[Formel 6] Denn das von der Ordinate y2 gemeſſene Biegungsmoment
der vier Belaſtungen P1, P2, P3, P4 iſt gleich der Summe
der beiden Biegungsmomente, welche von P1, P2, P3 und von
P4 erzeugt, und durch y1 und y3 dargeſtellt werden. Hieraus
folgt, daß die Zunabme der Durchbiegung eines belaſteten
Trägers in Folge einer neu hinzukommenden Belaſtung in
irgend einem Punkte gleich iſt derjenigen Durchbiegung, welche
der gewichtsloſe Träger allein unter Einwirkung jener Be-
laſtung in dem betrachteten Punkte annehmen würde.

16) Fig. 11) Blatt 397 ſei die Darſtellung der Belaſtung
eines Seils in der Art, daß die Belaſtung pro Längeneinheit
der horizontalen Abſciſſenachſe in jedem Punkte durch die
Ordinate der Curve A1 A2 A3 A4 gemeſſen wird. Die
Fläche A1 A2 A3 A4, welche die Belaſtungsfläche genannt
wird, iſt durch Ordinaten A2 A2, A3 A3 in beliebige Theile
zerlegt, und in den Schwerpunkten dieſer Flächentheile ſind
Verticalkräfte P1, P2, P3 angebracht, deren Größen dem Inhalt
der betreffenden Flächen entſprechen. Conſtruirt man nun aus
dem Horizontalzug H und jenen Einzelkräften ein Seil-
polygon a1 a2 a3 a4 (Fig. 12), ſo berührt dieſes Polygon
die Seilcurve, welche der in Fig. 11) dargeſtellten Belaſtung
entſpricht, in den Verticalen der Theilpunkte A1, A2, A3 und
A4. Denn in dieſen Punkten ſtimmen ſowohl die Momenten-
gleichungen, wie auch die verticalen Seitenkräfte der Seil-
ſpannungen für das Seilpolygon und für die Seilcurve mit
einander überein. Durch entſprechende Theilung der Be-
laſtungsfläche kann man ſonach eine beliebig große Anzahl
von Punkten der Seilcurve feſtlegen. Bezeichnet man mit
Q1 und Q2 die Drücke der Belaſtungsfläche auf die beiden
Auflager A1 und A4 und theilt man die Belaſtungsfläche durch
die Ordinate C D ſo, daß
[Formel 7] und
[Formel 8] wird, ſo liegt die größte Ordinate c d der Seilcurve in der
Verticalen der Ordinate C D, weil die Seilcurve in dem
Punkte d zur Verbindungslinie a1 a4 der beiden Auflager
parallel gerichtet iſt.

17) Um die elaſtiſche Linie für einen Balken von ver-
änderlichem Querſchnitt zu conſtruiren, kann man die graphi-
ſche Darſtellung der Größe [Formel 9] ausführen, dieſe Belaſtungs-
fläche durch Ordinaten zerlegen, die Flächentheile durch Einzel-
kräfte erſetzen und aus dieſen ein Seilpolygon mit dem con-
ſtanten Horizontalzug E darſtellen. In den meiſten Fällen
gelangt man jedoch einfacher zu Ziele, wenn man in der