Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

Die Belastungsfläche zwischen dem Auflager A und einer
Ordinate F G in der Entfernung
[Formel 1] ist
[Formel 2]

Diese Fläche ist gleich dem obigen Werthe von V, wenn
[Formel 3] ist. Die Momentengleichung des Theils M J (Fig. 18 Bl. 397)
der elastischen Linie in Bezug auf den Punkt M lautet demnach
[Formel 4] oder, wenn man vorstehenden Werth von b einsetzt,
[Formel 5]

Ist der Balken in der Mitte seiner Länge belastet, so
wird
[Formel 6] und
[Formel 7]

Beispiel 3. Construction der Biegungscurve für eine Oeffnung
eines continuirlichen Brückenträgers von variablem Querschnitt.

Fig. 19 Blatt 397 giebt die Darstellung der als bekannt
vorausgesetzten Biegungsmomente in dem Maaßstabe:
für die Abscissen 1mm = 0,4m,
für die Ordinaten 1mm = 25 Meter-Tonnen.

Die Linie J J ist die Darstellung der Trägheitsmomente.
Die von der Ordinate M beschriebene Belastungsfläche ist
durch Ordinaten in neun Theile so eingetheilt, daß das Träg-
heitsmoment und das Vorzeichen von M auf der Erstreckung
eines jeden Theils sich nicht ändert. Die Flächentheile 4, 5, 6
haben das positive, die übrigen Theile 1, 2, 3, 7, 8, 9 das
negative Vorzeichen. Die eingezeichneten Schwerpunkte dieser
Flächentheile wurden ermittelt, indem man nach Augenmaaß
die Flächen in Dreiecke und Paralleltrapeze von annähernd
gleicher Schwerpunktslage verwandelte. Die berechneten Flä-
cheninhalte ergaben die Größe der in den Schwerpunkten an-
zubringenden Einzelkräfte (vgl. 16 und 17). Dieselben sind
in der Hülfsfigur 20 Bl. 397 auf der Verticalen E F in der
Reihenfolge ihrer Ziffern an einander getragen und zwar die
positiven Werthe in der Richtung von Oben nach Unten und
die negativen in der entgegengesetzten Richtung. Die Richtung
der Seilspannung S1 wurde willkürlich angenommen. Die
Seilspannung S2 schneidet S1 in dem Punkte N1, dessen
Abscisse in Bezug auf F als Nullpunkt gleich E·T1 ist;
ebenso ist die Abscisse des Schnittpunktes N2 der Seilspan-
nungen S2 und S3 gleich E·T2 u. s. f. Hiedurch ergaben
[Spaltenumbruch]
sich die Richtungen der Seilspannungen, mit denen parallel
die gleichbezifferten Seiten des Seilpolygons (Fig. 22 Bl. 397)
aufgetragen wurden. Dieses Polygon berührt die elastische
Linie in den Ordinaten zwischen den Theilen 1, 2, 3 .....
der Belastungsfläche (vergl. 16). Da die Richtung der Seil-
spannung S1 willkürlich angenommen wurde, so liegen die
beiden Punkte C und D, in welchen das Seilpolygon die
Auflagerordinaten schneidet, nicht auf derselben Horizontalen.
Dieser Umstand hat (vergl. 11) keinen Einfluß auf die Größe
der Polygonordinaten in Bezug auf die Linie C D. Will
man jedoch die elastische Linie für die horizontale Stützen-
lage aufzeichnen, so muß man die Figur so verschieben,
daß die Polygonordinaten in Bezug auf die Verbindungslinie
der Auflager dieselbe Größe erhalten wie in Figur 22.

In Figur 20) sind die Werthe der Belastungsflächen in
dem Maaßstabe von 1mm = 200 Quadratmeter Tonnen und
die Werthe von E·T in dem Maaßstabe von 1mm = 80000
Quadratmeter-Tonnen, also in dem Verhältniß von 1 : 400
kleiner als die Belastungen aufgetragen. Da der Maaßstab
der Abscissen
1 : 400
ist, so sind die Polygonordinaten in Fig. 22) in natürlicher
Größe dargestellt.

In Fig. 21) sind von einem Punkt L, dessen Horizontal-
Abstand von G K gleich E ist, Parallellinien zu den Seil-
spannungen in Fig. 20) gezogen. Vergleicht man die Abschnitte
F1, F2, F3, ...... dieser Linien auf der Verticalen G K
mit den Längen P1, P2, P3 ..... in Fig. 20, so folgt
aus der Aehnlichkeit der betreffenden Dreiecke, daß
[Formel 8] ............
............
ist. Hätte man also zunächst die von [Formel 9] dargestellte Bela-
stungsfläche und daraus mit dem constanten Horizontalzug
E das Seilpolygon construirt, so würde man genau zu dem
in Fig. 22) dargestellten Resultat gelangt sein. Die Con-
struction mit Hülfe der Fig. 20) ist jedoch offenbar einfacher.

Bezeichnungen:

Die Stützpunkte und Oeffnungen werden in der Reihen-
folge von links nach rechts mit den Ziffern 1, 2, 3 ....
bezeichnet. Dem entsprechend bezeichnet

Die Belaſtungsfläche zwiſchen dem Auflager A und einer
Ordinate F G in der Entfernung
[Formel 1] iſt
[Formel 2]

Dieſe Fläche iſt gleich dem obigen Werthe von V, wenn
[Formel 3] iſt. Die Momentengleichung des Theils M J (Fig. 18 Bl. 397)
der elaſtiſchen Linie in Bezug auf den Punkt M lautet demnach
[Formel 4] oder, wenn man vorſtehenden Werth von b einſetzt,
[Formel 5]

Iſt der Balken in der Mitte ſeiner Länge belaſtet, ſo
wird
[Formel 6] und
[Formel 7]

Beiſpiel 3. Conſtruction der Biegungscurve für eine Oeffnung
eines continuirlichen Brückenträgers von variablem Querſchnitt.

Fig. 19 Blatt 397 giebt die Darſtellung der als bekannt
vorausgeſetzten Biegungsmomente in dem Maaßſtabe:
für die Abſciſſen 1mm = 0,4m,
für die Ordinaten 1mm = 25 Meter-Tonnen.

Die Linie J J iſt die Darſtellung der Trägheitsmomente.
Die von der Ordinate M beſchriebene Belaſtungsfläche iſt
durch Ordinaten in neun Theile ſo eingetheilt, daß das Träg-
heitsmoment und das Vorzeichen von M auf der Erſtreckung
eines jeden Theils ſich nicht ändert. Die Flächentheile 4, 5, 6
haben das poſitive, die übrigen Theile 1, 2, 3, 7, 8, 9 das
negative Vorzeichen. Die eingezeichneten Schwerpunkte dieſer
Flächentheile wurden ermittelt, indem man nach Augenmaaß
die Flächen in Dreiecke und Paralleltrapeze von annähernd
gleicher Schwerpunktslage verwandelte. Die berechneten Flä-
cheninhalte ergaben die Größe der in den Schwerpunkten an-
zubringenden Einzelkräfte (vgl. 16 und 17). Dieſelben ſind
in der Hülfsfigur 20 Bl. 397 auf der Verticalen E F in der
Reihenfolge ihrer Ziffern an einander getragen und zwar die
poſitiven Werthe in der Richtung von Oben nach Unten und
die negativen in der entgegengeſetzten Richtung. Die Richtung
der Seilſpannung S1 wurde willkürlich angenommen. Die
Seilſpannung S2 ſchneidet S1 in dem Punkte N1, deſſen
Abſciſſe in Bezug auf F als Nullpunkt gleich E·T1 iſt;
ebenſo iſt die Abſciſſe des Schnittpunktes N2 der Seilſpan-
nungen S2 und S3 gleich E·T2 u. ſ. f. Hiedurch ergaben
[Spaltenumbruch]
ſich die Richtungen der Seilſpannungen, mit denen parallel
die gleichbezifferten Seiten des Seilpolygons (Fig. 22 Bl. 397)
aufgetragen wurden. Dieſes Polygon berührt die elaſtiſche
Linie in den Ordinaten zwiſchen den Theilen 1, 2, 3 .....
der Belaſtungsfläche (vergl. 16). Da die Richtung der Seil-
ſpannung S1 willkürlich angenommen wurde, ſo liegen die
beiden Punkte C und D, in welchen das Seilpolygon die
Auflagerordinaten ſchneidet, nicht auf derſelben Horizontalen.
Dieſer Umſtand hat (vergl. 11) keinen Einfluß auf die Größe
der Polygonordinaten in Bezug auf die Linie C D. Will
man jedoch die elaſtiſche Linie für die horizontale Stützen-
lage aufzeichnen, ſo muß man die Figur ſo verſchieben,
daß die Polygonordinaten in Bezug auf die Verbindungslinie
der Auflager dieſelbe Größe erhalten wie in Figur 22.

In Figur 20) ſind die Werthe der Belaſtungsflächen in
dem Maaßſtabe von 1mm = 200 Quadratmeter Tonnen und
die Werthe von E·T in dem Maaßſtabe von 1mm = 80000
Quadratmeter-Tonnen, alſo in dem Verhältniß von 1 : 400
kleiner als die Belaſtungen aufgetragen. Da der Maaßſtab
der Abſciſſen
1 : 400
iſt, ſo ſind die Polygonordinaten in Fig. 22) in natürlicher
Größe dargeſtellt.

In Fig. 21) ſind von einem Punkt L, deſſen Horizontal-
Abſtand von G K gleich E iſt, Parallellinien zu den Seil-
ſpannungen in Fig. 20) gezogen. Vergleicht man die Abſchnitte
F1, F2, F3, ...... dieſer Linien auf der Verticalen G K
mit den Längen P1, P2, P3 ..... in Fig. 20, ſo folgt
aus der Aehnlichkeit der betreffenden Dreiecke, daß
[Formel 8] ............
............
iſt. Hätte man alſo zunächſt die von [Formel 9] dargeſtellte Bela-
ſtungsfläche und daraus mit dem conſtanten Horizontalzug
E das Seilpolygon conſtruirt, ſo würde man genau zu dem
in Fig. 22) dargeſtellten Reſultat gelangt ſein. Die Con-
ſtruction mit Hülfe der Fig. 20) iſt jedoch offenbar einfacher.

Bezeichnungen:

Die Stützpunkte und Oeffnungen werden in der Reihen-
folge von links nach rechts mit den Ziffern 1, 2, 3 ....
bezeichnet. Dem entſprechend bezeichnet