Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. T. 1. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1874), Sp. 509-526.

Indem man diese Werthe von Dl in die durch die Glei-
chungen 4) ausgedrückten Beziehungen zwischen den Längen-
änderungen der überzähligen und denjenigen der noth-
wendigen Konstruktionstheile einführt, ergeben sich die
[Spaltenumbruch] Bedingungen:
8) [Formel 2]
und wenn man den Werth von S nach Gleichung 6) einsetzt:
9) [Formel 3]

Die Gleichungen 9) dienen zu Bestimmung der Span-
nungen der überzähligen Konstruktionstheile, deren Werthe
in die Gleichungen 5) einzusetzen sind, um die Spannungen
der nothwendigen Konstruktionstheile zu ermitteln.

Man nimmt in der Regel an, daß der spannunglose
Zustand des unbelasteten und gewichtlosen Fachwerks
bei einer bestimmten, für alle Konstruktionstheile gleich hohen
Temperatur eintritt. Da aber die Längen der Konstruktions-
theile eines zusammengesetzten Fachwerks von einander abhän-
gig sind, so würde jene Voraussetzung eine mathematisch
genaue Ausführung bedingen, die praktisch unerreichbar ist.
Es ist daher nöthig zu berücksichtigen, daß die Temperatur
t0, welche dem spannunglosen Zustande entspricht, nicht
für alle Konstruktionstheile denselben Werth hat. Die wirk-
liche Temperatur t1 in irgend einem Zeitpunkt ist im All-
gemeinen ebenfalls nicht gleich hoch für alle Konstruktionstheile,
da dieselben den Temperatureinflüssen z. B. der Einwirkung
der Sonnenstrahlen in sehr verschiedener Weise ausgesetzt sein
können. Wir nehmen an, es sei die Temperaturdifferenz
[Spaltenumbruch] 10) t = t1 -- t0
für jeden Konstruktionstheil gegeben, und bestimmen die Span-
nungen T, welche von den genannten Ursachen hervorgerufen
werden.

Wenn, wie hier vorausgesetzt wird, die Belastungen
und das Eigengewicht beseitigt sind, so bestehen zwischen den
Spannungen T(1), T(2), T(3) .... der nothwendigen und
den Spannungen T1, T2, T3 der überzähligen Konstruk-
tionstheile nach den Gleichungen 5) die folgenden Beziehungen:
11) [Formel 4]
oder allgemein:
12) T = u1 · T1 + u2 · T2 + u3 · T3 + .....

Im Vergleich mit dem spannunglosen Zustande ist die
Längenänderung eines Konstruktionstheils in Folge der
Temperaturänderung t und der Spannung T:
13) Dl = l · d · t + T · r
wenn man mit d den Koefficienten der Längenausdehnung
bezeichnet. Indem man in diese Gleichung den Werth von
T nach Gleichung 11) einsetzt und darauf die Gleichungen 4)
bildet, ergeben sich die Beziehungen, welche zur Bestimmung
der Spannungen T1, T2, T3 .... dienen:
14) [Formel 5]

Aus der Uebereinstimmung der Formen der Gleichungen
5) und 9) mit denjenigen der Gleichungen 11) und 14) er-
kennt man, daß die Spannung S, welche in einem Konstruk-
tionstheil von den Belastungen und die Spannung T, welche
von der Temperatur hervorgerufen wird, algebraisch zu sum-
miren sind, um die Wirkung der gleichzeitig auftretenden
beiden Ursachen zu ermitteln.

Die im Vorhergehenden entwickelten Beziehungen sollen
nun auf die verschiedenen Formen des Fachwerks, nämlich auf
[Spaltenumbruch] das Balkenfachwerk, das Bogenfachwerk und auf das
kontinuirliche Balkenfachwerk angewandt und durch
Zahlenbeispiele erläutert werden.

Einen Balken nennt man bekanntlich einen solchen
Träger, welcher von einem festen und einem auf horizon-
taler Bahn beweglichen Auflager unterstützt wird. Ein
Balkenfachwerk enthält demnach 2 m -- 3 nothwendige

Indem man dieſe Werthe von Δl in die durch die Glei-
chungen 4) ausgedrückten Beziehungen zwiſchen den Längen-
änderungen der überzähligen und denjenigen der noth-
wendigen Konſtruktionstheile einführt, ergeben ſich die
[Spaltenumbruch] Bedingungen:
8) [Formel 2]
und wenn man den Werth von S nach Gleichung 6) einſetzt:
9) [Formel 3]

Die Gleichungen 9) dienen zu Beſtimmung der Span-
nungen der überzähligen Konſtruktionstheile, deren Werthe
in die Gleichungen 5) einzuſetzen ſind, um die Spannungen
der nothwendigen Konſtruktionstheile zu ermitteln.

Man nimmt in der Regel an, daß der ſpannungloſe
Zuſtand des unbelaſteten und gewichtloſen Fachwerks
bei einer beſtimmten, für alle Konſtruktionstheile gleich hohen
Temperatur eintritt. Da aber die Längen der Konſtruktions-
theile eines zuſammengeſetzten Fachwerks von einander abhän-
gig ſind, ſo würde jene Vorausſetzung eine mathematiſch
genaue Ausführung bedingen, die praktiſch unerreichbar iſt.
Es iſt daher nöthig zu berückſichtigen, daß die Temperatur
t0, welche dem ſpannungloſen Zuſtande entſpricht, nicht
für alle Konſtruktionstheile denſelben Werth hat. Die wirk-
liche Temperatur t1 in irgend einem Zeitpunkt iſt im All-
gemeinen ebenfalls nicht gleich hoch für alle Konſtruktionstheile,
da dieſelben den Temperatureinflüſſen z. B. der Einwirkung
der Sonnenſtrahlen in ſehr verſchiedener Weiſe ausgeſetzt ſein
können. Wir nehmen an, es ſei die Temperaturdifferenz
[Spaltenumbruch] 10) t = t1 — t0
für jeden Konſtruktionstheil gegeben, und beſtimmen die Span-
nungen T, welche von den genannten Urſachen hervorgerufen
werden.

Wenn, wie hier vorausgeſetzt wird, die Belaſtungen
und das Eigengewicht beſeitigt ſind, ſo beſtehen zwiſchen den
Spannungen T(1), T(2), T(3) .... der nothwendigen und
den Spannungen T1, T2, T3 der überzähligen Konſtruk-
tionstheile nach den Gleichungen 5) die folgenden Beziehungen:
11) [Formel 4]
oder allgemein:
12) T = u1 · T1 + u2 · T2 + u3 · T3 + .....

Im Vergleich mit dem ſpannungloſen Zuſtande iſt die
Längenänderung eines Konſtruktionstheils in Folge der
Temperaturänderung t und der Spannung T:
13) Δl = l · δ · t + T · r
wenn man mit δ den Koefficienten der Längenausdehnung
bezeichnet. Indem man in dieſe Gleichung den Werth von
T nach Gleichung 11) einſetzt und darauf die Gleichungen 4)
bildet, ergeben ſich die Beziehungen, welche zur Beſtimmung
der Spannungen T1, T2, T3 .... dienen:
14) [Formel 5]

Aus der Uebereinſtimmung der Formen der Gleichungen
5) und 9) mit denjenigen der Gleichungen 11) und 14) er-
kennt man, daß die Spannung S, welche in einem Konſtruk-
tionstheil von den Belaſtungen und die Spannung T, welche
von der Temperatur hervorgerufen wird, algebraiſch zu ſum-
miren ſind, um die Wirkung der gleichzeitig auftretenden
beiden Urſachen zu ermitteln.

Die im Vorhergehenden entwickelten Beziehungen ſollen
nun auf die verſchiedenen Formen des Fachwerks, nämlich auf
[Spaltenumbruch] das Balkenfachwerk, das Bogenfachwerk und auf das
kontinuirliche Balkenfachwerk angewandt und durch
Zahlenbeiſpiele erläutert werden.

Einen Balken nennt man bekanntlich einen ſolchen
Träger, welcher von einem feſten und einem auf horizon-
taler Bahn beweglichen Auflager unterſtützt wird. Ein
Balkenfachwerk enthält demnach 2 m — 3 nothwendige