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Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886.

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wobei zu merken ist, dass
tx d x, ty d y, tz d z.

Aendern sich die anfänglichen Längen d x, d y, d z um Strecken
D d x, D d y, D d z, so leisten die von den Spannungen s herrührenden
Kräfte sx d y d z, sy d z d x, sz d x d y die virtuelle Arbeit
d Av = sx d y d z D d x + sy d z d x D d y + sz d x d y D d z
[Formel 1] d x d y d z
und hierfür kann, wenn die in der Folge Dehnungen genannten Ver-
längerungs-Verhältnisse mit
[Formel 2] bezeichnet werden und der Inhalt des Körpertheilchens d x d y d z = d V
gesetzt wird, geschrieben werden
d Av = (sx ex + sy ey + sz ez) d V.

Gleichzeitig mit den Dehnungen entstehen Winkeländerungen, und
es sei, mit Bezugnahme auf Fig. 117:
gx die Aenderung des Winkels Y O Z,
gy " " " " Z O X,
gz " " " " X O Y.

Man nennt gx, gy, gz die Gleitungen im Punkte x y z; sie seien
positiv oder negativ, je nachdem sie Verkleinerungen oder Vergrösserungen
der Winkel Y O Z, Z O X, X O Y vorstellen.

In Folge der Aenderung des Winkels Y O Z um gx verschiebt sich
die Fläche Y O' im Sinne O Z gegen die Fläche O Y' um gx d y, wobei
dann die in Y O' und senkrecht zu d x wirksame Schubkraft tx d x d z
die virtuelle Arbeit tx d x d z gx d y leistet, oder es verschiebt sich die
Fläche Z O' im Sinne O Y gegen die Fläche O Z' um die Strecke gx d z,
bei welcher Bewegung die in Z O' und senkrecht zu d x wirkende Schub-
kraft tx d x d y die Arbeit tx d x d y gx d z verrichtet. In beiden Fällen
entsteht die virtuelle Formänderungs-Arbeit:
d Av = tx gx d x d y d z = tx gx d V,
und ebenso ergeben sich die den Winkeländerungen gy und gz ent-
sprechenden virtuellen Arbeiten
ty gy d V und tz gz d V,
so dass die gesammte virtuelle Formänderungs-Arbeit der an dem Pa-
rallepipedum angreifenden Kräfte gleich
(sx ex + sy ey + sz ez + tx gx + ty gy + tz gz) d V
wird und diejenige sämmtlicher inneren Kräfte des Körpers:
(141) Av = integral (sx ex + sy ey + sz ez + tx gx + ty gy + tz gz) d V.

Setzt man nun Av gleich der von den äusseren Kräften geleisteten
virtuellen Arbeit, so erhält man die Gleichung

wobei zu merken ist, dass
τx ⊥ d x, τy ⊥ d y, τz ⊥ d z.

Aendern sich die anfänglichen Längen d x, d y, d z um Strecken
Δ d x, Δ d y, Δ d z, so leisten die von den Spannungen σ herrührenden
Kräfte σx d y d z, σy d z d x, σz d x d y die virtuelle Arbeit
d Av = σx d y d z Δ d x + σy d z d x Δ d y + σz d x d y Δ d z
[Formel 1] d x d y d z
und hierfür kann, wenn die in der Folge Dehnungen genannten Ver-
längerungs-Verhältnisse mit
[Formel 2] bezeichnet werden und der Inhalt des Körpertheilchens d x d y d z = d V
gesetzt wird, geschrieben werden
d Av = (σx εx + σy εy + σz εz) d V.

Gleichzeitig mit den Dehnungen entstehen Winkeländerungen, und
es sei, mit Bezugnahme auf Fig. 117:
γx die Aenderung des Winkels Y O Z,
γy „ „ „ „ Z O X,
γz „ „ „ „ X O Y.

Man nennt γx, γy, γz die Gleitungen im Punkte x y z; sie seien
positiv oder negativ, je nachdem sie Verkleinerungen oder Vergrösserungen
der Winkel Y O Z, Z O X, X O Y vorstellen.

In Folge der Aenderung des Winkels Y O Z um γx verschiebt sich
die Fläche Y O' im Sinne O Z gegen die Fläche O Y' um γx d y, wobei
dann die in Y O' und senkrecht zu d x wirksame Schubkraft τx d x d z
die virtuelle Arbeit τx d x d z γx d y leistet, oder es verschiebt sich die
Fläche Z O' im Sinne O Y gegen die Fläche O Z' um die Strecke γx d z,
bei welcher Bewegung die in Z O' und senkrecht zu d x wirkende Schub-
kraft τx d x d y die Arbeit τx d x d y γx d z verrichtet. In beiden Fällen
entsteht die virtuelle Formänderungs-Arbeit:
d Av = τx γx d x d y d z = τx γx d V,
und ebenso ergeben sich die den Winkeländerungen γy und γz ent-
sprechenden virtuellen Arbeiten
τy γy d V und τz γz d V,
so dass die gesammte virtuelle Formänderungs-Arbeit der an dem Pa-
rallepipedum angreifenden Kräfte gleich
(σx εx + σy εy + σz εz + τx γx + τy γy + τz γz) d V
wird und diejenige sämmtlicher inneren Kräfte des Körpers:
(141) Av = ∫ (σx εx + σy εy + σz εz + τx γx + τy γy + τz γz) d V.

Setzt man nun Av gleich der von den äusseren Kräften geleisteten
virtuellen Arbeit, so erhält man die Gleichung

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[171/0183] wobei zu merken ist, dass τx ⊥ d x, τy ⊥ d y, τz ⊥ d z. Aendern sich die anfänglichen Längen d x, d y, d z um Strecken Δ d x, Δ d y, Δ d z, so leisten die von den Spannungen σ herrührenden Kräfte σx d y d z, σy d z d x, σz d x d y die virtuelle Arbeit d Av = σx d y d z Δ d x + σy d z d x Δ d y + σz d x d y Δ d z [FORMEL] d x d y d z und hierfür kann, wenn die in der Folge Dehnungen genannten Ver- längerungs-Verhältnisse mit [FORMEL] bezeichnet werden und der Inhalt des Körpertheilchens d x d y d z = d V gesetzt wird, geschrieben werden d Av = (σx εx + σy εy + σz εz) d V. Gleichzeitig mit den Dehnungen entstehen Winkeländerungen, und es sei, mit Bezugnahme auf Fig. 117: γx die Aenderung des Winkels Y O Z, γy „ „ „ „ Z O X, γz „ „ „ „ X O Y. Man nennt γx, γy, γz die Gleitungen im Punkte x y z; sie seien positiv oder negativ, je nachdem sie Verkleinerungen oder Vergrösserungen der Winkel Y O Z, Z O X, X O Y vorstellen. In Folge der Aenderung des Winkels Y O Z um γx verschiebt sich die Fläche Y O' im Sinne O Z gegen die Fläche O Y' um γx d y, wobei dann die in Y O' und senkrecht zu d x wirksame Schubkraft τx d x d z die virtuelle Arbeit τx d x d z γx d y leistet, oder es verschiebt sich die Fläche Z O' im Sinne O Y gegen die Fläche O Z' um die Strecke γx d z, bei welcher Bewegung die in Z O' und senkrecht zu d x wirkende Schub- kraft τx d x d y die Arbeit τx d x d y γx d z verrichtet. In beiden Fällen entsteht die virtuelle Formänderungs-Arbeit: d Av = τx γx d x d y d z = τx γx d V, und ebenso ergeben sich die den Winkeländerungen γy und γz ent- sprechenden virtuellen Arbeiten τy γy d V und τz γz d V, so dass die gesammte virtuelle Formänderungs-Arbeit der an dem Pa- rallepipedum angreifenden Kräfte gleich (σx εx + σy εy + σz εz + τx γx + τy γy + τz γz) d V wird und diejenige sämmtlicher inneren Kräfte des Körpers: (141) Av = ∫ (σx εx + σy εy + σz εz + τx γx + τy γy + τz γz) d V. Setzt man nun Av gleich der von den äusseren Kräften geleisteten virtuellen Arbeit, so erhält man die Gleichung

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Zitationshilfe:	Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886, S. 171. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mueller_festigkeitslehre_1886/183>, abgerufen am 30.11.2024.

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