[Abbildung]
wir den Ort von b mit b, so haben wir zwei ähnliche Dreiecke aAa und bBb mit dem Winkel e. Da weiter die Axe c sich um 90° -- e aus der Zeichnungsebene erhebt, so ist ihre Projektion og = sin e, und das Dreieck ocg ebenfalls den ersten beiden ähnlich. Es ist aber aA = cos d, bB = sin d =
[Formel 1]
, ferner wurde Aa =
[Formel 2]
angenommen, da nun Aa : Aa = Bb : Bb, so ist cos d :
[Formel 3]
: Bb, Bb =
[Formel 4]
. Ferner co : cg = Aa : Aa, oder 1 : cg = cos d :
[Formel 5]
, cg =
[Formel 6]
, tg d =
[Formel 7]
, also
[Formel 8]
[Formel 9]
.
Construction: setzen wir r = s = 3, dann ist d = 18° 26',
[Abbildung]
e = 83° 37'. Ziehe eine beliebige Linie zB = 2 cos d, theile sie in 6 Theile, und errichte das Perpendikel ZP = 1/6 ZB = sin d, ziehe von P nach dem Mittelpunkte o, so ist oa = 1/3 oP die Axe a, weil aA = 1/3 sin d. Mache ferner zb = 1/3 Aa = sin d 1), so ist ob die zweite Seiten- axe. Da (oP)2 = (oz)2 + (zP)2 = cos2 d + sin2 d = 1, die dritte Axe c = og =
[Formel 11]
ist, so darf ich über oP nur einen Halbkreis beschreiben, und Px = zb = sin d hineintragen, so ist im rechtwinklichen Dreiecke oPx, (ox)2 = (oP)2 -- (Px)2, ox =
[Formel 13]
, mache ich dann ox = og senkrecht auf zB, so sind abg die verlangten Projektionslinien. Da ox immer nur von oP abweicht, so kann ich auch oP = og machen, ohne einen wesentlichen Fehler zu begehen. Wenn r = s = 2 wäre, so wäre ox =
[Formel 15]
schon viel wesentlicher unterschieden.
Wir haben a = b = c angenommen. Wenn die Axen nun aber ungleich sind, so setzen wir die Hauptaxe c = 1, und suchen für a und b die Proportionalen. Beim Schwefel z. B. ist a : b = 0,427 : 0,527, nehme ich also etwa a = 0,4a und b = 0,5b, so kommen die Axen des ver- langten Rhombenoktaeders.
1) Wir dürfen nur Aa auf zP von z oder P aus auftragen, und von dem neuen Punkte zum Mittelpunkte o ziehen, so schneidet diese von Aa ein Drittheil ab.
Zeichnung der Oktaide.
[Abbildung]
wir den Ort von b mit β, ſo haben wir zwei ähnliche Dreiecke aAα und bBβ mit dem Winkel e. Da weiter die Axe c ſich um 90° — e aus der Zeichnungsebene erhebt, ſo iſt ihre Projektion oγ = sin e, und das Dreieck ocγ ebenfalls den erſten beiden ähnlich. Es iſt aber aA = cos δ, bB = sin δ =
[Formel 1]
, ferner wurde Aα =
[Formel 2]
angenommen, da nun Aa : Aα = Bb : Bβ, ſo iſt cos δ :
[Formel 3]
: Bβ, Bβ =
[Formel 4]
. Ferner co : cγ = Aa : Aα, oder 1 : cγ = cos δ :
[Formel 5]
, cγ =
[Formel 6]
, tg δ =
[Formel 7]
, alſo
[Formel 8]
[Formel 9]
.
Conſtruction: ſetzen wir r = s = 3, dann iſt δ = 18° 26′,
[Abbildung]
e = 83° 37′. Ziehe eine beliebige Linie zB = 2 cos δ, theile ſie in 6 Theile, und errichte das Perpendikel ZP = ⅙ ZB = sin δ, ziehe von P nach dem Mittelpunkte o, ſo iſt oα = ⅓ oP die Axe a, weil αA = ⅓ sin δ. Mache ferner zβ = ⅓ Aα = sin δ 1), ſo iſt oβ die zweite Seiten- axe. Da (oP)2 = (oz)2 + (zP)2 = cos2 δ + sin2 δ = 1, die dritte Axe c = oγ =
[Formel 11]
iſt, ſo darf ich über oP nur einen Halbkreis beſchreiben, und Px = zβ = sin δ hineintragen, ſo iſt im rechtwinklichen Dreiecke oPx, (ox)2 = (oP)2 — (Px)2, ox =
[Formel 13]
, mache ich dann ox = oγ ſenkrecht auf zB, ſo ſind αβγ die verlangten Projektionslinien. Da ox immer nur von oP abweicht, ſo kann ich auch oP = oγ machen, ohne einen weſentlichen Fehler zu begehen. Wenn r = s = 2 wäre, ſo wäre ox =
[Formel 15]
ſchon viel weſentlicher unterſchieden.
Wir haben a = b = c angenommen. Wenn die Axen nun aber ungleich ſind, ſo ſetzen wir die Hauptaxe c = 1, und ſuchen für a und b die Proportionalen. Beim Schwefel z. B. iſt a : b = 0,427 : 0,527, nehme ich alſo etwa a = 0,4α und b = 0,5β, ſo kommen die Axen des ver- langten Rhombenoktaeders.
1) Wir dürfen nur Aα auf zP von z oder P aus auftragen, und von dem neuen Punkte zum Mittelpunkte o ziehen, ſo ſchneidet dieſe von Aα ein Drittheil ab.
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[32/0044]
Zeichnung der Oktaide.
[Abbildung]
wir den Ort von b mit β, ſo haben wir zwei ähnliche
Dreiecke aAα und bBβ mit dem Winkel e. Da weiter
die Axe c ſich um 90° — e aus der Zeichnungsebene
erhebt, ſo iſt ihre Projektion oγ = sin e, und das Dreieck
ocγ ebenfalls den erſten beiden ähnlich. Es iſt aber
aA = cos δ, bB = sin δ = [FORMEL], ferner wurde Aα =
[FORMEL] angenommen, da nun Aa : Aα = Bb : Bβ, ſo iſt
cos δ : [FORMEL] : Bβ, Bβ = [FORMEL]. Ferner
co : cγ = Aa : Aα, oder
1 : cγ = cos δ : [FORMEL], cγ = [FORMEL], tg δ = [FORMEL], alſo
[FORMEL] [FORMEL].
Conſtruction: ſetzen wir r = s = 3, dann iſt δ = 18° 26′,
[Abbildung]
e = 83° 37′. Ziehe eine beliebige Linie
zB = 2 cos δ, theile ſie in 6 Theile, und
errichte das Perpendikel ZP = ⅙ ZB = sin δ,
ziehe von P nach dem Mittelpunkte o,
ſo iſt oα = ⅓ oP die Axe a, weil
αA = ⅓ sin δ. Mache ferner zβ = ⅓ Aα
= [FORMEL] sin δ 1), ſo iſt oβ die zweite Seiten-
axe. Da (oP)2 = (oz)2 + (zP)2 = cos2 δ
+ sin2 δ = 1, die dritte Axe c = oγ
= [FORMEL] iſt, ſo darf ich über
oP nur einen Halbkreis beſchreiben, und
Px = zβ = [FORMEL] sin δ hineintragen, ſo iſt im
rechtwinklichen Dreiecke oPx,
(ox)2 = (oP)2 — (Px)2, ox = [FORMEL], mache ich dann ox = oγ
ſenkrecht auf zB, ſo ſind αβγ die verlangten Projektionslinien. Da ox
immer nur [FORMEL] von oP abweicht, ſo kann ich auch oP = oγ machen, ohne
einen weſentlichen Fehler zu begehen. Wenn r = s = 2 wäre, ſo wäre
ox = [FORMEL] ſchon viel weſentlicher unterſchieden.
Wir haben a = b = c angenommen. Wenn die Axen nun aber
ungleich ſind, ſo ſetzen wir die Hauptaxe c = 1, und ſuchen für a und b
die Proportionalen. Beim Schwefel z. B. iſt a : b = 0,427 : 0,527, nehme
ich alſo etwa a = 0,4α und b = 0,5β, ſo kommen die Axen des ver-
langten Rhombenoktaeders.
1) Wir dürfen nur Aα auf zP von z oder P aus auftragen, und von dem neuen
Punkte zum Mittelpunkte o ziehen, ſo ſchneidet dieſe von Aα ein Drittheil ab.
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Quenstedt, Friedrich August: Handbuch der Mineralogie. Tübingen, 1855, S. 32. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/quenstedt_mineralogie_1854/44>, abgerufen am 21.11.2024.
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