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Quenstedt, Friedrich August: Handbuch der Mineralogie. Tübingen, 1855.

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Rechnung: Kantenzonengesetz.
[Abbildung] Weißische Satz. Projiciren wir jetzt den gleichen Würfel
auf seine Dodekaidfläche, welche den Würfel halbirend
durch zwei gegenüberliegende Kanten und Diagonalen des
Würfels geht, so geht in dieser Projektion dd der Dia-
gonale und aa der Kante parallel. Für oa = 1 war
od = [Formel 1] , folglich ot = [Formel 2] , tt die trigonalen Zwischen-
axen bilden dann aber offenbar die Kantenzonen für
die Axen aa und dd. Da nun jede allgemeine Fläche
[Formel 3] die Kantenzone d mit der Summe oder Differenz
im Nenner schneiden muß, so muß also auch unser d z. B. unter einem
Zeichen [Formel 4] oder irgend einem andern von der allge-
meinen Fläche geschnitten sein, woraus die Addition der drei Zeichen folgt.
Die tetragonalen Axen schneiden sich unter 90°, die digonalen unter 60°,
die trigonalen unter 109° 28' 16" (Oktaederwinkel). In der Würfelebene
schneiden sich zwei digonale mit zwei tetragonalen unter 45°, in der
Oktaederfläche liegen blos drei digonale 60°, in der Granatoederfläche
liegen alle drei: eine tetragonale und digonale 90° und 2 trigonale,
die digonale unter 35° 15' 52" (1/4 Oktaederwinkel) und die tetragonale
unter 70° 31' 44" schneidend. Die tetragonale entspricht der Würfelkante,
die digonale der Oktaederkante, die trigonale der Granatoederkante.

Die drei Linien sind insofern auch gut für das allgemeine Zeichen
gewählt, als sie uns gleich die Orte am Oktaeder andeuten, wo sie zum
Schnitt kommen.

Beispiel. Das Oktaeder hat das Zeichen a : a : a, folglich ist
m = n = 1, die der Oktaederfläche anliegenden digonalen Axen werden
daher in 1/2 geschnitten, die drei übrigen aber in [Formel 5] , sie
gehen der Oktaederfläche daher parallel. Die zwischenliegende trigonale
Axe wird in [Formel 6] geschnitten, die drei außerhalb liegenden aber
in [Formel 7] . Das Granatoeder a : a : infinitya hat n = 0, folglich
die zwischenliegende digonale Axe (das Perpendikel auf die Fläche) 1/2,
die der Fläche anliegenden trigonalen Axen [Formel 8] .
Setzen wir die Zeichen der drei Körper neben einander:

[Abbildung]

Würfel.

[Abbildung]
[Abbildung]

Oktaeder.

[Abbildung]
[Abbildung]

Granatoeder.

[Abbildung]

Rechnung: Kantenzonengeſetz.
[Abbildung] Weißiſche Satz. Projiciren wir jetzt den gleichen Würfel
auf ſeine Dodekaidfläche, welche den Würfel halbirend
durch zwei gegenüberliegende Kanten und Diagonalen des
Würfels geht, ſo geht in dieſer Projektion dd der Dia-
gonale und aa der Kante parallel. Für oa = 1 war
od = [Formel 1] , folglich ot = [Formel 2] , tt die trigonalen Zwiſchen-
axen bilden dann aber offenbar die Kantenzonen für
die Axen aa und dd. Da nun jede allgemeine Fläche
[Formel 3] die Kantenzone d mit der Summe oder Differenz
im Nenner ſchneiden muß, ſo muß alſo auch unſer d z. B. unter einem
Zeichen [Formel 4] oder irgend einem andern von der allge-
meinen Fläche geſchnitten ſein, woraus die Addition der drei Zeichen folgt.
Die tetragonalen Axen ſchneiden ſich unter 90°, die digonalen unter 60°,
die trigonalen unter 109° 28′ 16″ (Oktaederwinkel). In der Würfelebene
ſchneiden ſich zwei digonale mit zwei tetragonalen unter 45°, in der
Oktaederfläche liegen blos drei digonale 60°, in der Granatoederfläche
liegen alle drei: eine tetragonale und digonale 90° und 2 trigonale,
die digonale unter 35° 15′ 52″ (¼ Oktaederwinkel) und die tetragonale
unter 70° 31′ 44″ ſchneidend. Die tetragonale entſpricht der Würfelkante,
die digonale der Oktaederkante, die trigonale der Granatoederkante.

Die drei Linien ſind inſofern auch gut für das allgemeine Zeichen
gewählt, als ſie uns gleich die Orte am Oktaeder andeuten, wo ſie zum
Schnitt kommen.

Beiſpiel. Das Oktaeder hat das Zeichen a : a : a, folglich iſt
μ = ν = 1, die der Oktaederfläche anliegenden digonalen Axen werden
daher in ½ geſchnitten, die drei übrigen aber in [Formel 5] , ſie
gehen der Oktaederfläche daher parallel. Die zwiſchenliegende trigonale
Axe wird in [Formel 6] geſchnitten, die drei außerhalb liegenden aber
in [Formel 7] . Das Granatoeder a : a : ∞a hat ν = 0, folglich
die zwiſchenliegende digonale Axe (das Perpendikel auf die Fläche) ½,
die der Fläche anliegenden trigonalen Axen [Formel 8] .
Setzen wir die Zeichen der drei Körper neben einander:

[Abbildung]

Würfel.

[Abbildung]
[Abbildung]

Oktaeder.

[Abbildung]
[Abbildung]

Granatoeder.

[Abbildung] 
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[46/0058] Rechnung: Kantenzonengeſetz. [Abbildung] Weißiſche Satz. Projiciren wir jetzt den gleichen Würfel auf ſeine Dodekaidfläche, welche den Würfel halbirend durch zwei gegenüberliegende Kanten und Diagonalen des Würfels geht, ſo geht in dieſer Projektion dd der Dia- gonale und aa der Kante parallel. Für oa = 1 war od = [FORMEL], folglich ot = [FORMEL], tt die trigonalen Zwiſchen- axen bilden dann aber offenbar die Kantenzonen für die Axen aa und dd. Da nun jede allgemeine Fläche [FORMEL] die Kantenzone d mit der Summe oder Differenz im Nenner ſchneiden muß, ſo muß alſo auch unſer d z. B. unter einem Zeichen [FORMEL] oder irgend einem andern von der allge- meinen Fläche geſchnitten ſein, woraus die Addition der drei Zeichen folgt. Die tetragonalen Axen ſchneiden ſich unter 90°, die digonalen unter 60°, die trigonalen unter 109° 28′ 16″ (Oktaederwinkel). In der Würfelebene ſchneiden ſich zwei digonale mit zwei tetragonalen unter 45°, in der Oktaederfläche liegen blos drei digonale 60°, in der Granatoederfläche liegen alle drei: eine tetragonale und digonale 90° und 2 trigonale, die digonale unter 35° 15′ 52″ (¼ Oktaederwinkel) und die tetragonale unter 70° 31′ 44″ ſchneidend. Die tetragonale entſpricht der Würfelkante, die digonale der Oktaederkante, die trigonale der Granatoederkante. Die drei Linien ſind inſofern auch gut für das allgemeine Zeichen gewählt, als ſie uns gleich die Orte am Oktaeder andeuten, wo ſie zum Schnitt kommen. Beiſpiel. Das Oktaeder hat das Zeichen a : a : a, folglich iſt μ = ν = 1, die der Oktaederfläche anliegenden digonalen Axen werden daher in ½ geſchnitten, die drei übrigen aber in [FORMEL], ſie gehen der Oktaederfläche daher parallel. Die zwiſchenliegende trigonale Axe wird in [FORMEL] geſchnitten, die drei außerhalb liegenden aber in [FORMEL]. Das Granatoeder a : a : ∞a hat ν = 0, folglich die zwiſchenliegende digonale Axe (das Perpendikel auf die Fläche) ½, die der Fläche anliegenden trigonalen Axen [FORMEL]. Setzen wir die Zeichen der drei Körper neben einander: [Abbildung Würfel. ] [Abbildung] [Abbildung Oktaeder. ] [Abbildung] [Abbildung Granatoeder. ] [Abbildung]

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Zitationshilfe: Quenstedt, Friedrich August: Handbuch der Mineralogie. Tübingen, 1855, S. 46. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/quenstedt_mineralogie_1854/58>, abgerufen am 21.11.2024.