Röll, [Victor] von (Hrsg.): Enzyklopädie des Eisenbahnwesens. 2. Aufl. Bd. 2. Berlin, Wien, 1912.

Die hierhergehörigen Trägersysteme lassen sich zunächst in zwei Gruppen sondern, in die schlaffen Spreng- und Hängewerke und in die steifen oder versteiften Bogen- und Hängeträger. Schlaff nennt man eine Trägerkonstruktion, wenn ihre geometrische Gestalt nicht festgelegt ist, sondern mit der Lastverteilung wechselt. Diese Eigenschaft besitzt die Kette, das Seil und auch das Vielecksprengwerk aus gelenkartig verbundenen Stäben; während aber das schlaffe Hängewerk seine Form wirklich der Belastung anpassen kann, vermag das Sprengwerk nur eine labile Gleichgewichtslage anzunehmen, d. h. es stürzt bei einer Änderung der Belastung in sich zusammen. Das schlaffe Sprengwerk ist daher als Trägerkonstruktion nicht brauchbar und auch das schlaffe Hängewerk ist für Brücken, die unter wechselnder Verkehrslast nur geringe Formveränderungen erleiden sollen, von vornherein ausgeschlossen.

Die Versteifung der schlaffen Systeme kann erreicht werden, entweder durch ihre Verbindung mit einem Balkenträger (schlaffe Bogen oder Ketten mit Versteifungsträger) oder dadurch, daß man sie selbst steif ausbildet. (Elastische Bogen, Bogen- und Hängefachwerke.)

Theorie der B.

A. Der elastische Bogen über einer Öffnung. Man versteht darunter einen eben gekrümmten Stab, der mit seinen Enden unverschieblich gelagert ist. Sind die festgehaltenen Enden (Kämpfer) frei drehbar, so hat man es mit einem gelenkig gelagerten Bogen oder einem Bogen mit Kämpfergelenken zu tun; sind dagegen die Stabenden auch an ihrer Drehung vollständig behindert, so entsteht der eingespannte oder gelenklose Bogen. Den auf einen solchen Bogenträger angreifenden äußeren Kräften halten die Gegenkräfte der Stützen (Kämpferdrücke) das Gleichgewicht. Zu ihrer Festlegung sind im allgemeinen 6 Bestimmungsstücke (Größe, Richtung und Lage einer jeden Kämpferkraft) erforderlich, von denen drei durch die Gleichgewichtsbedingungen des ebenen Kräftesystems bestimmt sind. Für den eingespannten Bogen fehlen sonach zur Ermittlung der Kämpferkräfte drei, auf statischem Wege nicht mehr erhältliche Bestimmungsstücke; das Trägersystem ist dreifach statisch unbestimmt. Beim gelenkig gelagerten Bogen vermindert sich die Zahl der Unbestimmtheiten auf eine, da durch die Festlegung der Stützpunkte zwei Bedingungen für die Lage der Kämpferdrücke geschaffen werden. Durch Anbringung eines Mittelgelenkes endlich, d. i. durch den Dreigelenkbogen, erzielt man volle statische Bestimmtheit, die Zerlegung der Resultierenden der am Bogen angreifenden Kräfte in die beiden Kämpferdrücke ist hier nur in eindeutiger Weise möglich. In den Fällen der statischen Unbestimmtheit dagegen sind die auftretenden Kräfte durch die elastischen Formänderungen bedingt und aus ihnen abzuleiten.

Innere Kräfte des massiven Bogens. Führt man durch den Bogen einen beliebigen Querschnitt senkrecht zu seiner Schwerachse und setzt die auf den abgetrennten rechten oder linken Bogenteil einwirkenden äußeren Kräfte, einschließlich der Kämpferkraft, zu einer Resultierenden zusammen, so gibt diese die Beanspruchung des betreffenden Querschnittes, in dem sie Normal- und Schubspannungen hervorruft. Letztere werden bei einer der Belastung richtig angepaßten Bogenform nur klein und kommen bei der Berechnung eines massiven oder Vollwandbogens nicht wesentlich in Betracht. Die Normalspannungen hängen von der zum Querschnitt senkrechten Komponente N der äußeren Kraft ab, und man legt ihrer Verteilung über den Querschnitt die für elastische Baustoffe geltenden Gesetze zu grunde. Man kann diese Annahme sowohl für eiserne Bogen (Blechbogen) wie auch mit praktischer Zulässigkeit für Stein- und Mauerwerkbogen gelten lassen, sonach die Bogenträgertheorie auch auf die Gewölbe anwenden (s. Gewölbe).

Unter der Voraussetzung, daß der Krümmungshalbmesser eines stabförmigen Bogens im Verhältnis zur Höhe seines Querschnittes groß ist, gelten für den gekrümten Stab mit großer Annäherung dieselben Formeln wie für den geraden Stab, der auf zusammengesetzte Normal- und Biegungsfestigkeit beansprucht wird. Bezeichnet nämlich N die im Stab wirkende Achsialkraft, M das auf den Schwerpunkt des Querschnittes, dessen Fläche F und dessen Trägheitsmoment J sei, bezogene Biegungsmoment der äußeren Kräfte, so berechnet sich die Normalspannung für eine im Abstand v von der Schwerpunktsachse gelegene Faser aus
    1)

Hierin kann N und M allgemein mit dem gleichen Vorzeichen eingeführt werden und ist v für jene Punkte des Querschnittes positiv, die mit N auf derselben Seite der Schwerpunktachse liegen.

Die Randspannungen, d. s. die Spannungen in der obersten und untersten Faser, deren

Die hierhergehörigen Trägersysteme lassen sich zunächst in zwei Gruppen sondern, in die schlaffen Spreng- und Hängewerke und in die steifen oder versteiften Bogen- und Hängeträger. Schlaff nennt man eine Trägerkonstruktion, wenn ihre geometrische Gestalt nicht festgelegt ist, sondern mit der Lastverteilung wechselt. Diese Eigenschaft besitzt die Kette, das Seil und auch das Vielecksprengwerk aus gelenkartig verbundenen Stäben; während aber das schlaffe Hängewerk seine Form wirklich der Belastung anpassen kann, vermag das Sprengwerk nur eine labile Gleichgewichtslage anzunehmen, d. h. es stürzt bei einer Änderung der Belastung in sich zusammen. Das schlaffe Sprengwerk ist daher als Trägerkonstruktion nicht brauchbar und auch das schlaffe Hängewerk ist für Brücken, die unter wechselnder Verkehrslast nur geringe Formveränderungen erleiden sollen, von vornherein ausgeschlossen.

Die Versteifung der schlaffen Systeme kann erreicht werden, entweder durch ihre Verbindung mit einem Balkenträger (schlaffe Bogen oder Ketten mit Versteifungsträger) oder dadurch, daß man sie selbst steif ausbildet. (Elastische Bogen, Bogen- und Hängefachwerke.)

Theorie der B.

A. Der elastische Bogen über einer Öffnung. Man versteht darunter einen eben gekrümmten Stab, der mit seinen Enden unverschieblich gelagert ist. Sind die festgehaltenen Enden (Kämpfer) frei drehbar, so hat man es mit einem gelenkig gelagerten Bogen oder einem Bogen mit Kämpfergelenken zu tun; sind dagegen die Stabenden auch an ihrer Drehung vollständig behindert, so entsteht der eingespannte oder gelenklose Bogen. Den auf einen solchen Bogenträger angreifenden äußeren Kräften halten die Gegenkräfte der Stützen (Kämpferdrücke) das Gleichgewicht. Zu ihrer Festlegung sind im allgemeinen 6 Bestimmungsstücke (Größe, Richtung und Lage einer jeden Kämpferkraft) erforderlich, von denen drei durch die Gleichgewichtsbedingungen des ebenen Kräftesystems bestimmt sind. Für den eingespannten Bogen fehlen sonach zur Ermittlung der Kämpferkräfte drei, auf statischem Wege nicht mehr erhältliche Bestimmungsstücke; das Trägersystem ist dreifach statisch unbestimmt. Beim gelenkig gelagerten Bogen vermindert sich die Zahl der Unbestimmtheiten auf eine, da durch die Festlegung der Stützpunkte zwei Bedingungen für die Lage der Kämpferdrücke geschaffen werden. Durch Anbringung eines Mittelgelenkes endlich, d. i. durch den Dreigelenkbogen, erzielt man volle statische Bestimmtheit, die Zerlegung der Resultierenden der am Bogen angreifenden Kräfte in die beiden Kämpferdrücke ist hier nur in eindeutiger Weise möglich. In den Fällen der statischen Unbestimmtheit dagegen sind die auftretenden Kräfte durch die elastischen Formänderungen bedingt und aus ihnen abzuleiten.

Innere Kräfte des massiven Bogens. Führt man durch den Bogen einen beliebigen Querschnitt senkrecht zu seiner Schwerachse und setzt die auf den abgetrennten rechten oder linken Bogenteil einwirkenden äußeren Kräfte, einschließlich der Kämpferkraft, zu einer Resultierenden zusammen, so gibt diese die Beanspruchung des betreffenden Querschnittes, in dem sie Normal- und Schubspannungen hervorruft. Letztere werden bei einer der Belastung richtig angepaßten Bogenform nur klein und kommen bei der Berechnung eines massiven oder Vollwandbogens nicht wesentlich in Betracht. Die Normalspannungen hängen von der zum Querschnitt senkrechten Komponente N der äußeren Kraft ab, und man legt ihrer Verteilung über den Querschnitt die für elastische Baustoffe geltenden Gesetze zu grunde. Man kann diese Annahme sowohl für eiserne Bogen (Blechbogen) wie auch mit praktischer Zulässigkeit für Stein- und Mauerwerkbogen gelten lassen, sonach die Bogenträgertheorie auch auf die Gewölbe anwenden (s. Gewölbe).

Unter der Voraussetzung, daß der Krümmungshalbmesser eines stabförmigen Bogens im Verhältnis zur Höhe seines Querschnittes groß ist, gelten für den gekrümten Stab mit großer Annäherung dieselben Formeln wie für den geraden Stab, der auf zusammengesetzte Normal- und Biegungsfestigkeit beansprucht wird. Bezeichnet nämlich N die im Stab wirkende Achsialkraft, M das auf den Schwerpunkt des Querschnittes, dessen Fläche F und dessen Trägheitsmoment J sei, bezogene Biegungsmoment der äußeren Kräfte, so berechnet sich die Normalspannung für eine im Abstand v von der Schwerpunktsachse gelegene Faser aus
    1)

Hierin kann N und M allgemein mit dem gleichen Vorzeichen eingeführt werden und ist v für jene Punkte des Querschnittes positiv, die mit N auf derselben Seite der Schwerpunktachse liegen.

Die Randspannungen, d. s. die Spannungen in der obersten und untersten Faser, deren