Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

In diesem sowie in fast allen andern Beispielen derselben Art, die
wir bilden mögen, besteht zwischen der volldeutigen Quadratwurzel und
irgend einem ihrer Werte wirklich die Beziehung der Unterordnung, näm-
lich die Unterordnung des Individuums unter eine umfassendere Klasse, zu
der es gehört. Will man nun aber diese Wahrnehmung generalisiren, die-
selbe für eine ganz beliebige Zahl a aussprechen, so darf man gleichwol
nicht sagen, es sei
[Formel 3] und [Formel 4] ,
aus dem Grunde, weil diese Aussagen eine Ausnahme erleiden würden,
nämlich für a = 0 falsch werden. Da + 0 und -- 0 einerlei sind, so
hat, wenn unter a die Null verstanden wird, auch die volldeutige Quadrat-
wurzel aus a nur mehr einen Wert, den Wert 0; die als ihr "General-
wert" zu bezeichnende Klasse schrumpft hier in ein einziges Zahlindividuum
zusammen (sie ist diesmal ausnahmsweise auch wirklich ein "Wert") und es ist:
[Formel 5] ,
gleich, aber nicht untergeordnet.

Allgemein, für jede beliebige Zahl a, gilt daher weder die Unter-
ordnung, noch die Gleichung, sondern in der That nur die Subsumtion:
[Formel 6] und ebenso [Formel 7] .

Und ähnlich ist auch bei den höheren Wurzeln in der Buchstaben-
rechnung das Subsumtionszeichen anzuwenden der Allgemeingültigkeit zuliebe.

Allerdings wählt die Mathematik von den eventuell beiden unter die
Klasse [Formel 8] fallenden Werten frühzeitig den einen als den sogenannten
Hauptwert aus und zwar -- bei positivem Radicanden, im Gebiete der
reellen Zahlen -- den positiven, den sie schlechtweg mit [Formel 9] bezeichnet,
sodass z. B. 3= [Formel 10] der Hauptwert und -- 3 = -- [Formel 11] der Nebenwert
der Quadratwurzel aus 9 sein wird. Und indem sie fortan vorzugsweise
mit diesen eindeutigen oder Hauptwerten operirt, das Rechnen mit viel-
deutigen Ausdrücken nach Möglichkeit vermeidet, flieht die Mathematik so-
zusagen die Gelegenheiten, wo sie ein spezifisch logisches Beziehungszeichen
anwenden müsste. Ähnlich, wie in diesen ersten und einfachsten Fällen,
verfährt die Mathematik auch später wieder bei den mehrdeutigen ana-
lytischen Elementarfunktionen, d. i. den logarithmischen, cyklometrischen
und allgemeinen Potenzfunktionen: sie wendet sich möglichst bald von deren
Generalwerten ab und den eindeutigen Zweigen dieser Funktionen als den
erwählten Hauptwerten derselben zu, hauptsächlich wol, um nicht einen
komplizirteren Zeichenapparat, nämlich noch andere als die drei Zeichen

In diesem sowie in fast allen andern Beispielen derselben Art, die
wir bilden mögen, besteht zwischen der volldeutigen Quadratwurzel und
irgend einem ihrer Werte wirklich die Beziehung der Unterordnung, näm-
lich die Unterordnung des Individuums unter eine umfassendere Klasse, zu
der es gehört. Will man nun aber diese Wahrnehmung generalisiren, die-
selbe für eine ganz beliebige Zahl a aussprechen, so darf man gleichwol
nicht sagen, es sei
[Formel 3] und [Formel 4] ,
aus dem Grunde, weil diese Aussagen eine Ausnahme erleiden würden,
nämlich für a = 0 falsch werden. Da + 0 und — 0 einerlei sind, so
hat, wenn unter a die Null verstanden wird, auch die volldeutige Quadrat-
wurzel aus a nur mehr einen Wert, den Wert 0; die als ihr „General-
wert“ zu bezeichnende Klasse schrumpft hier in ein einziges Zahlindividuum
zusammen (sie ist diesmal ausnahmsweise auch wirklich ein „Wert“) und es ist:
[Formel 5] ,
gleich, aber nicht untergeordnet.

Allgemein, für jede beliebige Zahl a, gilt daher weder die Unter-
ordnung, noch die Gleichung, sondern in der That nur die Subsumtion:
[Formel 6] und ebenso [Formel 7] .

Und ähnlich ist auch bei den höheren Wurzeln in der Buchstaben-
rechnung das Subsumtionszeichen anzuwenden der Allgemeingültigkeit zuliebe.

Allerdings wählt die Mathematik von den eventuell beiden unter die
Klasse [Formel 8] fallenden Werten frühzeitig den einen als den sogenannten
Hauptwert aus und zwar — bei positivem Radicanden, im Gebiete der
reellen Zahlen — den positiven, den sie schlechtweg mit [Formel 9] bezeichnet,
sodass z. B. 3= [Formel 10] der Hauptwert und — 3 = — [Formel 11] der Nebenwert
der Quadratwurzel aus 9 sein wird. Und indem sie fortan vorzugsweise
mit diesen eindeutigen oder Hauptwerten operirt, das Rechnen mit viel-
deutigen Ausdrücken nach Möglichkeit vermeidet, flieht die Mathematik so-
zusagen die Gelegenheiten, wo sie ein spezifisch logisches Beziehungszeichen
anwenden müsste. Ähnlich, wie in diesen ersten und einfachsten Fällen,
verfährt die Mathematik auch später wieder bei den mehrdeutigen ana-
lytischen Elementarfunktionen, d. i. den logarithmischen, cyklometrischen
und allgemeinen Potenzfunktionen: sie wendet sich möglichst bald von deren
Generalwerten ab und den eindeutigen Zweigen dieser Funktionen als den
erwählten Hauptwerten derselben zu, hauptsächlich wol, um nicht einen
komplizirteren Zeichenapparat, nämlich noch andere als die drei Zeichen