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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 5. Peirce's Definition von Produkt und Summe.

Da obiges Definitionen sein sollen, so gelten die Festsetzungen
auch umgekehrt, und sagen die Subsumtionen

c a ba + b c
hinfort nichts anderes aus, als dass
c a und zugleich c ba c sowie b c
sei.

Um uns unzweideutig darauf zurückbeziehen zu können, wollen
wir die beiden in jeder dieser Begriffserklärungen liegenden funda-
mentalen Festsetzungen nochmals (mit äusserster Sparsamkeit an
Textesworten) übersichtlich rekapituliren, indem wir sie mit unter-
scheidenden Chiffren versehen, welche sich im bisherigen Texte nicht
wol anbringen liessen. Unsre Konventionen sind:

[Tabelle]

Die einzeln stehende Subsumtion soll jeweils das nämliche aus-
drücken, besagen, wie die zwei nebeneinander stehenden Subsumtionen
zusammengenommen. Dies ist es, was ausgemacht wurde.

Zusatz 1) zur Definition (3).

Es gibt mindestens ein Gebiet c, welches den Voraussetzungen
der Def. (3) genügt, indem nach Def. (2x) resp. (2+) jedenfalls

01
ein solches c ist. Wie immer die Gebiete a und b auch gegeben sein
mögen, so ist es also jedenfalls zulässig, von
einem Produkte a beiner Summe a + b
zu reden, nämlich von ihnen zu sagen, es sei 0 a b, und
a + b 1.

Hier tritt zum ersten mal ein Beweggrund zutage, der für die
Einführung der Symbole 0 und 1 spricht, wie sie mittelst Def. (2)
vollzogen worden. Die Zuziehung dieser Symbole zu der Mannig-
faltigkeit der Gebiete hat nämlich, wie soeben erkannt, den Erfolg und
rechtfertigt sich eben hiedurch, dass nun von a · b und a + b stets
gesprochen werden kann. In Bezug auf das Produkt a b wird dies
durch die Einführung der 0 in der That erst hingebracht, wie wir in
§ 7 noch genauer sehen werden: hätten wir nicht die 0, so wäre es
nicht der Fall; es ist die Mission und das Verdienst der Null, dass
sie dies bewirkt. Nur durch ihre Zuhülfenahme lässt es sich erreichen,

§ 5. Peirce's Definition von Produkt und Summe.

Da obiges Definitionen sein sollen, so gelten die Festsetzungen
auch umgekehrt, und sagen die Subsumtionen

c ⋹ a ba + b ⋹ c
hinfort nichts anderes aus, als dass
c ⋹ a und zugleich c ⋹ ba ⋹ c sowie b ⋹ c
sei.

Um uns unzweideutig darauf zurückbeziehen zu können, wollen
wir die beiden in jeder dieser Begriffserklärungen liegenden funda-
mentalen Festsetzungen nochmals (mit äusserster Sparsamkeit an
Textesworten) übersichtlich rekapituliren, indem wir sie mit unter-
scheidenden Chiffren versehen, welche sich im bisherigen Texte nicht
wol anbringen liessen. Unsre Konventionen sind:

[Tabelle]

Die einzeln stehende Subsumtion soll jeweils das nämliche aus-
drücken, besagen, wie die zwei nebeneinander stehenden Subsumtionen
zusammengenommen. Dies ist es, was ausgemacht wurde.

Zusatz 1) zur Definition (3).

Es gibt mindestens ein Gebiet c, welches den Voraussetzungen
der Def. (3) genügt, indem nach Def. (2×) resp. (2+) jedenfalls

01
ein solches c ist. Wie immer die Gebiete a und b auch gegeben sein
mögen, so ist es also jedenfalls zulässig, von
einem Produkte a beiner Summe a + b
zu reden, nämlich von ihnen zu sagen, es sei 0 ⋹ a b, und
a + b ⋹ 1.

Hier tritt zum ersten mal ein Beweggrund zutage, der für die
Einführung der Symbole 0 und 1 spricht, wie sie mittelst Def. (2)
vollzogen worden. Die Zuziehung dieser Symbole zu der Mannig-
faltigkeit der Gebiete hat nämlich, wie soeben erkannt, den Erfolg und
rechtfertigt sich eben hiedurch, dass nun von a · b und a + b stets
gesprochen werden kann. In Bezug auf das Produkt a b wird dies
durch die Einführung der 0 in der That erst hingebracht, wie wir in
§ 7 noch genauer sehen werden: hätten wir nicht die 0, so wäre es
nicht der Fall; es ist die Mission und das Verdienst der Null, dass
sie dies bewirkt. Nur durch ihre Zuhülfenahme lässt es sich erreichen,

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[197/0217] § 5. Peirce's Definition von Produkt und Summe. Da obiges Definitionen sein sollen, so gelten die Festsetzungen auch umgekehrt, und sagen die Subsumtionen c ⋹ a b a + b ⋹ c hinfort nichts anderes aus, als dass c ⋹ a und zugleich c ⋹ b a ⋹ c sowie b ⋹ c sei. Um uns unzweideutig darauf zurückbeziehen zu können, wollen wir die beiden in jeder dieser Begriffserklärungen liegenden funda- mentalen Festsetzungen nochmals (mit äusserster Sparsamkeit an Textesworten) übersichtlich rekapituliren, indem wir sie mit unter- scheidenden Chiffren versehen, welche sich im bisherigen Texte nicht wol anbringen liessen. Unsre Konventionen sind: Die einzeln stehende Subsumtion soll jeweils das nämliche aus- drücken, besagen, wie die zwei nebeneinander stehenden Subsumtionen zusammengenommen. Dies ist es, was ausgemacht wurde. Zusatz 1) zur Definition (3). Es gibt mindestens ein Gebiet c, welches den Voraussetzungen der Def. (3) genügt, indem nach Def. (2×) resp. (2+) jedenfalls 0 1 ein solches c ist. Wie immer die Gebiete a und b auch gegeben sein mögen, so ist es also jedenfalls zulässig, von einem Produkte a b einer Summe a + b zu reden, nämlich von ihnen zu sagen, es sei 0 ⋹ a b, und a + b ⋹ 1. Hier tritt zum ersten mal ein Beweggrund zutage, der für die Einführung der Symbole 0 und 1 spricht, wie sie mittelst Def. (2) vollzogen worden. Die Zuziehung dieser Symbole zu der Mannig- faltigkeit der Gebiete hat nämlich, wie soeben erkannt, den Erfolg und rechtfertigt sich eben hiedurch, dass nun von a · b und a + b stets gesprochen werden kann. In Bezug auf das Produkt a b wird dies durch die Einführung der 0 in der That erst hingebracht, wie wir in § 7 noch genauer sehen werden: hätten wir nicht die 0, so wäre es nicht der Fall; es ist die Mission und das Verdienst der Null, dass sie dies bewirkt. Nur durch ihre Zuhülfenahme lässt es sich erreichen,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 197. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/217>, abgerufen am 23.11.2024.