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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Dritte Vorlesung.
folgt x a, desgleichen aus x c und c b folgt x b, und aus
diesen beiden Ergebnissen muss nach (3x)' selbst (für x statt c in
Anspruch genommen) folgen: x a b.

Andrerseits folgt aus x c und c a b sogleich direkt: x a b
und damit nach (3x)'' auch x a und x b.

Mit diesem Zusatze können wir nun die Definition (3) zu folgender,
nur äusserlich etwas komplizirter erscheinenden Formulirung zusammen-
fassen, bei der wir ebenfalls von vornherein sicher sind, dass das defi-
nirte Gebilde als "Gebiet" existirt:

7) Theorem, als neue Fassung der Def. (3), auch zu citiren als
Definition (4), und zwar

7x) Th. = Def. (4x)7+) Th. = Def. (4+).

Wenn für gegebene a, b ein c existirt derart, dass für jedes x, für
welches

x cc x
ist, auch
x a nebst x ba x nebst b x
sein wird, dann und nur dann ist man berechtigt zu sagen, es sei:
c a b.a + b c.

Beweis. Da nach I c c ist, so ist c selber ein zulässiger
Wert des x und muss jedenfalls auch

c a nebst c b,a c nebst b c,
somit nach (3x)' c a bsomit nach (3+)' a + b c
sein. Die Umkehrung ist der Inhalt des vorigen Zusatzes.

Der Sachverhalt sei einstweilen schon durch die Figur veran-
schaulicht:

[Abbildung] Fig. 7x. [Abbildung]
[Abbildung] Fig. 7+.

Zusatz zu Th. 7). Unter den Bedingungen des Satzes hat wieder
jedes y derart, dass

y cc y

Dritte Vorlesung.
folgt x ⋹ a, desgleichen aus x ⋹ c und c ⋹ b folgt x ⋹ b, und aus
diesen beiden Ergebnissen muss nach (3×)' selbst (für x statt c in
Anspruch genommen) folgen: x ⋹ a b.

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und damit nach (3×)'' auch x ⋹ a und x ⋹ b.

Mit diesem Zusatze können wir nun die Definition (3) zu folgender,
nur äusserlich etwas komplizirter erscheinenden Formulirung zusammen-
fassen, bei der wir ebenfalls von vornherein sicher sind, dass das defi-
nirte Gebilde als „Gebiet“ existirt:

7) Theorem, als neue Fassung der Def. (3), auch zu citiren als
Definition (4), und zwar

7×) Th. = Def. (4×)7+) Th. = Def. (4+).

Wenn für gegebene a, b ein c existirt derart, dass für jedes x, für
welches

x ⋹ cc ⋹ x
ist, auch
x ⋹ a nebst x ⋹ ba ⋹ x nebst b ⋹ x
sein wird, dann und nur dann ist man berechtigt zu sagen, es sei:
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Beweis. Da nach I c ⋹ c ist, so ist c selber ein zulässiger
Wert des x und muss jedenfalls auch

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somit nach (3×)' c ⋹ a bsomit nach (3+)' a + b ⋹ c
sein. Die Umkehrung ist der Inhalt des vorigen Zusatzes.

Der Sachverhalt sei einstweilen schon durch die Figur veran-
schaulicht:

[Abbildung] Fig. 7×. [Abbildung]
[Abbildung] Fig. 7+.

Zusatz zu Th. 7). Unter den Bedingungen des Satzes hat wieder
jedes y derart, dass

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[202/0222] Dritte Vorlesung. folgt x ⋹ a, desgleichen aus x ⋹ c und c ⋹ b folgt x ⋹ b, und aus diesen beiden Ergebnissen muss nach (3×)' selbst (für x statt c in Anspruch genommen) folgen: x ⋹ a b. Andrerseits folgt aus x ⋹ c und c ⋹ a b sogleich direkt: x ⋹ a b und damit nach (3×)'' auch x ⋹ a und x ⋹ b. Mit diesem Zusatze können wir nun die Definition (3) zu folgender, nur äusserlich etwas komplizirter erscheinenden Formulirung zusammen- fassen, bei der wir ebenfalls von vornherein sicher sind, dass das defi- nirte Gebilde als „Gebiet“ existirt: 7) Theorem, als neue Fassung der Def. (3), auch zu citiren als Definition (4), und zwar 7×) Th. = Def. (4×) 7+) Th. = Def. (4+). Wenn für gegebene a, b ein c existirt derart, dass für jedes x, für welches x ⋹ c c ⋹ x ist, auch x ⋹ a nebst x ⋹ b a ⋹ x nebst b ⋹ x sein wird, dann und nur dann ist man berechtigt zu sagen, es sei: c ⋹ a b. a + b ⋹ c. Beweis. Da nach I c ⋹ c ist, so ist c selber ein zulässiger Wert des x und muss jedenfalls auch c ⋹ a nebst c ⋹ b, a ⋹ c nebst b ⋹ c, somit nach (3×)' c ⋹ a b somit nach (3+)' a + b ⋹ c sein. Die Umkehrung ist der Inhalt des vorigen Zusatzes. Der Sachverhalt sei einstweilen schon durch die Figur veran- schaulicht: [Abbildung Fig. 7×.] [Abbildung] [Abbildung Fig. 7+.] Zusatz zu Th. 7). Unter den Bedingungen des Satzes hat wieder jedes y derart, dass y ⋹ c c ⋹ y

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 202. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/222>, abgerufen am 23.11.2024.