wir aber als die ursprüngliche Definition zuerst festlegen, ist deshalb doch nicht gleichgültig, sondern das in § 5 eingeschlagene Verfahren vorzuziehen.
11x) Theorem.
11+) Theorem.
Es gibt nun ein "Gebiet" c, welches die Forderung der Definitionen
(3x) oder (4x) und (5x), d. i. 7x) und 9x)
(3+) oder (4+) und (5+), d. i. 7+) und 9+)
gleichzeitig erfüllt für dieselben (irgendwie) gegebnen Gebiete a, b.
Da für dieses
ca b und a bc
a + bc und ca + b
zugleich sein wird, so ist dasselbe
c = a b
c = a + b
selbst zu nennen.
Zusatz. Es kann jedenfalls nur ein solches c geben.
Denn wäre auch noch c' ein solches, so folgt ebenso:
c' = a b
c' = a + b
und damit nach Th. 4) c' = c.
Beweis des Theorems. Dieser besteht in der Verbindung zweier Überlegungen, von denen die eine -- allerdings modifizirt -- unter Th. 6) schon einmal augestellt worden ist. Er möge demungeachtet hier ganz zum Bewusstsein gebracht werden. -- Wie schon erwähnt, sind nach I die Formeln a)
a ba b
a + ba + b
als gültige anzuerkennen. Nach
Th. 9x) wenn das a b rechts in a)
Th. 9+) wenn das a + b links
mit c in Gedanken identifizirt wird, erkennt man aber, dass die obige Aussage a) den Inhalt hat, dass jedes x, für welches
xa nebst xb
ax nebst bx
ist, auch die Forderung erfüllen muss:
xa b
a + bx.
Dagegen nach
Th. 7x) wenn das a b linkerhand
Th. 7+) wenn das a + b rechterhand
in a) mit dem c daselbst identifizirt wird, sagt ebendieser Satz a) aus, dass umgekehrt jedes x, für welches
xa b
a + bx
ist, auch die Bedingung erfüllen wird
xa nebst xb
ax nebst bx.
Dritte Vorlesung.
wir aber als die ursprüngliche Definition zuerst festlegen, ist deshalb doch nicht gleichgültig, sondern das in § 5 eingeschlagene Verfahren vorzuziehen.
11×) Theorem.
11+) Theorem.
Es gibt nun ein „Gebiet“ c, welches die Forderung der Definitionen
(3×) oder (4×) und (5×), d. i. 7×) und 9×)
(3+) oder (4+) und (5+), d. i. 7+) und 9+)
gleichzeitig erfüllt für dieselben (irgendwie) gegebnen Gebiete a, b.
Da für dieses
c ⋹ a b und a b ⋹ c
a + b ⋹ c und c ⋹ a + b
zugleich sein wird, so ist dasselbe
c = a b
c = a + b
selbst zu nennen.
Zusatz. Es kann jedenfalls nur ein solches c geben.
Denn wäre auch noch c' ein solches, so folgt ebenso:
c' = a b
c' = a + b
und damit nach Th. 4) c' = c.
Beweis des Theorems. Dieser besteht in der Verbindung zweier Überlegungen, von denen die eine — allerdings modifizirt — unter Th. 6) schon einmal augestellt worden ist. Er möge demungeachtet hier ganz zum Bewusstsein gebracht werden. — Wie schon erwähnt, sind nach I die Formeln α)
a b ⋹ a b
a + b ⋹ a + b
als gültige anzuerkennen. Nach
Th. 9×) wenn das a b rechts in α)
Th. 9+) wenn das a + b links
mit c in Gedanken identifizirt wird, erkennt man aber, dass die obige Aussage α) den Inhalt hat, dass jedes x, für welches
x ⋹ a nebst x ⋹ b
a ⋹ x nebst b ⋹ x
ist, auch die Forderung erfüllen muss:
x ⋹ a b
a + b ⋹ x.
Dagegen nach
Th. 7×) wenn das a b linkerhand
Th. 7+) wenn das a + b rechterhand
in α) mit dem c daselbst identifizirt wird, sagt ebendieser Satz α) aus, dass umgekehrt jedes x, für welches
x ⋹ a b
a + b ⋹ x
ist, auch die Bedingung erfüllen wird
x ⋹ a nebst x ⋹ b
a ⋹ x nebst b ⋹ x.
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[210/0230]
Dritte Vorlesung.
wir aber als die ursprüngliche Definition zuerst festlegen, ist deshalb
doch nicht gleichgültig, sondern das in § 5 eingeschlagene Verfahren
vorzuziehen.
11×) Theorem. 11+) Theorem.
Es gibt nun ein „Gebiet“ c, welches die Forderung der Definitionen
(3×) oder (4×) und (5×), d. i.
7×) und 9×) (3+) oder (4+) und (5+), d. i.
7+) und 9+)
gleichzeitig erfüllt für dieselben (irgendwie) gegebnen Gebiete a, b.
Da für dieses
c ⋹ a b und a b ⋹ c a + b ⋹ c und c ⋹ a + b
zugleich sein wird, so ist dasselbe
c = a b c = a + b
selbst zu nennen.
Zusatz. Es kann jedenfalls nur ein solches c geben.
Denn wäre auch noch c' ein solches, so folgt ebenso:
c' = a b c' = a + b
und damit nach Th. 4) c' = c.
Beweis des Theorems. Dieser besteht in der Verbindung zweier
Überlegungen, von denen die eine — allerdings modifizirt — unter
Th. 6) schon einmal augestellt worden ist. Er möge demungeachtet
hier ganz zum Bewusstsein gebracht werden. — Wie schon erwähnt,
sind nach I die Formeln
α) a b ⋹ a b a + b ⋹ a + b
als gültige anzuerkennen. Nach
Th. 9×) wenn das a b rechts in α) Th. 9+) wenn das a + b links
mit c in Gedanken identifizirt wird, erkennt man aber, dass die obige
Aussage α) den Inhalt hat, dass jedes x, für welches
x ⋹ a nebst x ⋹ b a ⋹ x nebst b ⋹ x
ist, auch die Forderung erfüllen muss:
x ⋹ a b a + b ⋹ x.
Dagegen nach
Th. 7×) wenn das a b linkerhand Th. 7+) wenn das a + b rechterhand
in α) mit dem c daselbst identifizirt wird, sagt ebendieser Satz α) aus,
dass umgekehrt jedes x, für welches
x ⋹ a b a + b ⋹ x
ist, auch die Bedingung erfüllen wird
x ⋹ a nebst x ⋹ b a ⋹ x nebst b ⋹ x.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 210. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/230>, abgerufen am 23.11.2024.
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