standswort ersetzt werden können, und dass in der That in unserer Theorie es geboten erscheint, in beregter Hinsicht mehr als in der Mathematik auf korrekten Ausdruck zu halten!
Notabene: Multiplizirt man die Gleichung a' = b' beiderseits mit a = b, so entsteht auch etwas anderes, wie wenn man die Gleichung a = b beider- seits mit a' = b' multiplizirte. Vergl. § 33, x) und o).
Zusatz 2. Kombinirte Anwendung der Theoreme 19x) und 19+) liefert den Satz, dass es in jedem Ausdruck, welcher nur durch die Operationen der identischen Multiplikation und Addition aufgebaut erscheint, gestattet ist, Gleiches durch Gleiches zu ersetzen. Sicherlich wird solche Ersetzung ohne Einfluss auf den Wert des Ausdrucks bleiben, wenngleich die Form desselben dadurch verändert werden mag.
Exempel. Ist b + c = a, so ist auch a (b + c) + d + (b + c) c = a a + d + a c = a + a c + d = a + d.
Wie Venn1 p. 146 und anderwärts bemerkt ist das der linkseitigen Kolumne von Sätzen 15) .. 19) zugrundeliegende Th. 15x) bereits von Leibniz gegeben (Specimen demonstrandi, Erdmann, p. 99), der auch schon die Determination durch Nebeneinanderstellen der Symbole nach Art der Faktoren eines Produktes ausdrückt.
Die Theoreme des gegenwärtigen Paragraphen sind von so ausser- ordentlich häufiger Anwendung, dass es zu umständlich wäre, sie jedes- mal zu citiren. Dieselben müssen in succum et sanguinem, in Fleisch und Blut des Rechners übergegangen sein.
§ 11. Gemischte Gesetze, den Zusammenhang zwischen beiden Operationen zeigend.
20) Theorem. Eine jede von den beiden Gleichungen: a = a b , a + b = b ist nur eine Umschreibung der Subsumtion: ab, dergestalt, dass diese drei Aussagen äquivalent sind, einander gegen- seitig bedingen: wenn irgend eine von ihnen gilt, so gelten auch die beiden andern.
Der Beweis besteht aus vier Teilen, indem zu zeigen ist, dass aus jeder der Gleichungen die Subsumtion und umgekehrt aus der Subsumtion eine jede von den Gleichungen folgt.
Ist a = a b, so folgt nach Def. (1) auch aa b, und weil nach Th. 6x) auch a bb ist, so folgt a fortiori:
Ist a + b = b, so haben wir auch a + bb, und weil nach 6+) ohne- hin aa + b ist, so folgt nach II:
ab.
ab.
Fünfte Vorlesung.
standswort ersetzt werden können, und dass in der That in unserer Theorie es geboten erscheint, in beregter Hinsicht mehr als in der Mathematik auf korrekten Ausdruck zu halten!
Notabene: Multiplizirt man die Gleichung a' = b' beiderseits mit a = b, so entsteht auch etwas anderes, wie wenn man die Gleichung a = b beider- seits mit a' = b' multiplizirte. Vergl. § 33, ξ) und ο).
Zusatz 2. Kombinirte Anwendung der Theoreme 19×) und 19+) liefert den Satz, dass es in jedem Ausdruck, welcher nur durch die Operationen der identischen Multiplikation und Addition aufgebaut erscheint, gestattet ist, Gleiches durch Gleiches zu ersetzen. Sicherlich wird solche Ersetzung ohne Einfluss auf den Wert des Ausdrucks bleiben, wenngleich die Form desselben dadurch verändert werden mag.
Exempel. Ist b + c = a, so ist auch a (b + c) + d + (b + c) c = a a + d + a c = a + a c + d = a + d.
Wie Venn1 p. 146 und anderwärts bemerkt ist das der linkseitigen Kolumne von Sätzen 15) ‥ 19) zugrundeliegende Th. 15×) bereits von Leibniz gegeben (Specimen demonstrandi, Erdmann, p. 99), der auch schon die Determination durch Nebeneinanderstellen der Symbole nach Art der Faktoren eines Produktes ausdrückt.
Die Theoreme des gegenwärtigen Paragraphen sind von so ausser- ordentlich häufiger Anwendung, dass es zu umständlich wäre, sie jedes- mal zu citiren. Dieselben müssen in succum et sanguinem, in Fleisch und Blut des Rechners übergegangen sein.
§ 11. Gemischte Gesetze, den Zusammenhang zwischen beiden Operationen zeigend.
20) Theorem. Eine jede von den beiden Gleichungen: a = a b , a + b = b ist nur eine Umschreibung der Subsumtion: a ⋹ b, dergestalt, dass diese drei Aussagen äquivalent sind, einander gegen- seitig bedingen: wenn irgend eine von ihnen gilt, so gelten auch die beiden andern.
Der Beweis besteht aus vier Teilen, indem zu zeigen ist, dass aus jeder der Gleichungen die Subsumtion und umgekehrt aus der Subsumtion eine jede von den Gleichungen folgt.
Ist a = a b, so folgt nach Def. (1) auch a ⋹ a b, und weil nach Th. 6×) auch a b ⋹ b ist, so folgt a fortiori:
Ist a + b = b, so haben wir auch a + b ⋹ b, und weil nach 6+) ohne- hin a ⋹ a + b ist, so folgt nach II:
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a ⋹ b.
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Fünfte Vorlesung.
standswort ersetzt werden können, und dass in der That in unserer Theorie
es geboten erscheint, in beregter Hinsicht mehr als in der Mathematik auf
korrekten Ausdruck zu halten!
Notabene: Multiplizirt man die Gleichung a' = b' beiderseits mit a = b,
so entsteht auch etwas anderes, wie wenn man die Gleichung a = b beider-
seits mit a' = b' multiplizirte. Vergl. § 33, ξ) und ο).
Zusatz 2. Kombinirte Anwendung der Theoreme 19×) und 19+)
liefert den Satz, dass es in jedem Ausdruck, welcher nur durch die
Operationen der identischen Multiplikation und Addition aufgebaut
erscheint, gestattet ist, Gleiches durch Gleiches zu ersetzen. Sicherlich
wird solche Ersetzung ohne Einfluss auf den Wert des Ausdrucks
bleiben, wenngleich die Form desselben dadurch verändert werden mag.
Exempel. Ist b + c = a, so ist auch
a (b + c) + d + (b + c) c = a a + d + a c = a + a c + d = a + d.
Wie Venn1 p. 146 und anderwärts bemerkt ist das der linkseitigen
Kolumne von Sätzen 15) ‥ 19) zugrundeliegende Th. 15×) bereits von
Leibniz gegeben (Specimen demonstrandi, Erdmann, p. 99), der auch
schon die Determination durch Nebeneinanderstellen der Symbole nach Art
der Faktoren eines Produktes ausdrückt.
Die Theoreme des gegenwärtigen Paragraphen sind von so ausser-
ordentlich häufiger Anwendung, dass es zu umständlich wäre, sie jedes-
mal zu citiren. Dieselben müssen in succum et sanguinem, in Fleisch
und Blut des Rechners übergegangen sein.
§ 11. Gemischte Gesetze, den Zusammenhang zwischen beiden
Operationen zeigend.
20) Theorem. Eine jede von den beiden Gleichungen:
a = a b , a + b = b
ist nur eine Umschreibung der Subsumtion:
a ⋹ b,
dergestalt, dass diese drei Aussagen äquivalent sind, einander gegen-
seitig bedingen: wenn irgend eine von ihnen gilt, so gelten auch die
beiden andern.
Der Beweis besteht aus vier Teilen, indem zu zeigen ist, dass
aus jeder der Gleichungen die Subsumtion und umgekehrt aus der
Subsumtion eine jede von den Gleichungen folgt.
Ist a = a b, so folgt nach Def. (1)
auch a ⋹ a b, und weil nach Th. 6×)
auch a b ⋹ b ist, so folgt a fortiori: Ist a + b = b, so haben wir auch
a + b ⋹ b, und weil nach 6+) ohne-
hin a ⋹ a + b ist, so folgt nach II:
a ⋹ b. a ⋹ b.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 270. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/290>, abgerufen am 22.11.2024.
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