folgt ferner nach (3x)': aa · 1; womit der Satz kraft (1) bewiesen ist.
a + 0 a. Dazu ist nach 6+): aa + 0, somit nach Def. (1) der Satz er- wiesen.
Beweis von 22x). Nach (2x) ist: 0 a · 0; nach 6x) aber auch a · 0 0, also nach (1) der Satz erwiesen.
Beweis von 22+). Nach (2+) ist, gleichwie jedes Gebiet, so auch das a + 1 1. Dazu nach 6+) 1 a + 1, somit besteht die Gleichheit.
Für den Gebietekalkul ist die Gültigkeit der Sätze im Hinblick auf die Bedeutung von Produkt, Summe, 0 und 1 auch unmittelbar evident:
Was ein Gebiet der Mannigfaltig- keit mit der ganzen Mannigfaltig- keit gemein hat, ist ebendieses Ge- biet selbst.
Dasjenige, wozu ein Gebiet von weiter nichts ergänzt wird, ist dies Gebiet selber.
Was ein Gebiet mit nichts gemein hat, ist nichts.
Dasjenige, wozu ein Gebiet der Mannigfaltigkeit durch die ganze Mannigfaltigkeit ergänzt wird, ist offenbar ebendiese.
Anmerkung 1 zu den Theoremen 21) und 22).
Nach 21+) kann man jeden Ausdruck darstellen als eine Summe, deren eines Glied er selber, und dessen anderes Glied 0 ist. Auch einen Ausdruck, der gar nicht in Form einer Summe erscheint, ein beliebiges Symbol, kann man hienach jederzeit als eine Summe gelten lassen, dafür ausgeben, als eine solche behandeln, ansehen, betrachten. Insofern man aber den Summand 0 nicht ausdrücklich zu schreiben pflegt, nennt man in solchem Falle den Ausdruck, das Symbol, auch schlechtweg eine eingliedrige Summe, ein "Monom". Dies gewährt den erheblichen Vorteil, dass man nun Regeln, die sich auf die Verknüpfung von Summen ebenso beziehen, wie auf diejenige von andern Symbolen (die keine Summen sind) einheitlich zusammenzufassen, für beide Fälle auf einmal darzustellen vermag, worauf wir gelegentlich bereits hin- wiesen.
Nach 21x) kann man ebenso jedes Symbol als ein Produkt hin- stellen, dessen andrer Faktor 1 wäre, und da man letztern nicht zu schreiben pflegt, dasselbe als ein einfaktoriges Produkt bezeichnen.
Zusatz zu ebendiesen Theoremen 21, 22).
Kommen in einem Ausdruck die Symbole 0 und 1 irgendwieoft als multiplikative oder additive Operationsglieder vor, verknüpft mit irgendwelchen andern durch Buchstaben dargestellten Gebiets- oder Klassensymbolen, so wird allemal eine Vereinfachung des Ausdruckes
folgt ferner nach (3×)': a ⋹ a · 1; womit der Satz kraft (1) bewiesen ist.
a + 0 ⋹ a. Dazu ist nach 6+): a ⋹ a + 0, somit nach Def. (1) der Satz er- wiesen.
Beweis von 22×). Nach (2×) ist: 0 ⋹ a · 0; nach 6×) aber auch a · 0 ⋹ 0, also nach (1) der Satz erwiesen.
Beweis von 22+). Nach (2+) ist, gleichwie jedes Gebiet, so auch das a + 1 ⋹ 1. Dazu nach 6+) 1 ⋹ a + 1, somit besteht die Gleichheit.
Für den Gebietekalkul ist die Gültigkeit der Sätze im Hinblick auf die Bedeutung von Produkt, Summe, 0 und 1 auch unmittelbar evident:
Was ein Gebiet der Mannigfaltig- keit mit der ganzen Mannigfaltig- keit gemein hat, ist ebendieses Ge- biet selbst.
Dasjenige, wozu ein Gebiet von weiter nichts ergänzt wird, ist dies Gebiet selber.
Was ein Gebiet mit nichts gemein hat, ist nichts.
Dasjenige, wozu ein Gebiet der Mannigfaltigkeit durch die ganze Mannigfaltigkeit ergänzt wird, ist offenbar ebendiese.
Anmerkung 1 zu den Theoremen 21) und 22).
Nach 21+) kann man jeden Ausdruck darstellen als eine Summe, deren eines Glied er selber, und dessen anderes Glied 0 ist. Auch einen Ausdruck, der gar nicht in Form einer Summe erscheint, ein beliebiges Symbol, kann man hienach jederzeit als eine Summe gelten lassen, dafür ausgeben, als eine solche behandeln, ansehen, betrachten. Insofern man aber den Summand 0 nicht ausdrücklich zu schreiben pflegt, nennt man in solchem Falle den Ausdruck, das Symbol, auch schlechtweg eine eingliedrige Summe, ein „Monom“. Dies gewährt den erheblichen Vorteil, dass man nun Regeln, die sich auf die Verknüpfung von Summen ebenso beziehen, wie auf diejenige von andern Symbolen (die keine Summen sind) einheitlich zusammenzufassen, für beide Fälle auf einmal darzustellen vermag, worauf wir gelegentlich bereits hin- wiesen.
Nach 21×) kann man ebenso jedes Symbol als ein Produkt hin- stellen, dessen andrer Faktor 1 wäre, und da man letztern nicht zu schreiben pflegt, dasselbe als ein einfaktoriges Produkt bezeichnen.
Zusatz zu ebendiesen Theoremen 21, 22).
Kommen in einem Ausdruck die Symbole 0 und 1 irgendwieoft als multiplikative oder additive Operationsglieder vor, verknüpft mit irgendwelchen andern durch Buchstaben dargestellten Gebiets- oder Klassensymbolen, so wird allemal eine Vereinfachung des Ausdruckes
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Fünfte Vorlesung.
folgt ferner nach (3×)': a ⋹ a · 1;
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wiesen.
Beweis von 22×). Nach (2×) ist:
0 ⋹ a · 0; nach 6×) aber auch a · 0 ⋹ 0,
also nach (1) der Satz erwiesen. Beweis von 22+). Nach (2+) ist,
gleichwie jedes Gebiet, so auch das
a + 1 ⋹ 1. Dazu nach 6+) 1 ⋹ a + 1,
somit besteht die Gleichheit.
Für den Gebietekalkul ist die Gültigkeit der Sätze im Hinblick
auf die Bedeutung von Produkt, Summe, 0 und 1 auch unmittelbar
evident:
Was ein Gebiet der Mannigfaltig-
keit mit der ganzen Mannigfaltig-
keit gemein hat, ist ebendieses Ge-
biet selbst. Dasjenige, wozu ein Gebiet von
weiter nichts ergänzt wird, ist dies
Gebiet selber.
Was ein Gebiet mit nichts gemein
hat, ist nichts. Dasjenige, wozu ein Gebiet der
Mannigfaltigkeit durch die ganze
Mannigfaltigkeit ergänzt wird, ist
offenbar ebendiese.
Anmerkung 1 zu den Theoremen 21) und 22).
Nach 21+) kann man jeden Ausdruck darstellen als eine Summe,
deren eines Glied er selber, und dessen anderes Glied 0 ist. Auch
einen Ausdruck, der gar nicht in Form einer Summe erscheint, ein
beliebiges Symbol, kann man hienach jederzeit als eine Summe gelten
lassen, dafür ausgeben, als eine solche behandeln, ansehen, betrachten.
Insofern man aber den Summand 0 nicht ausdrücklich zu schreiben
pflegt, nennt man in solchem Falle den Ausdruck, das Symbol, auch
schlechtweg eine eingliedrige Summe, ein „Monom“. Dies gewährt den
erheblichen Vorteil, dass man nun Regeln, die sich auf die Verknüpfung
von Summen ebenso beziehen, wie auf diejenige von andern Symbolen
(die keine Summen sind) einheitlich zusammenzufassen, für beide Fälle
auf einmal darzustellen vermag, worauf wir gelegentlich bereits hin-
wiesen.
Nach 21×) kann man ebenso jedes Symbol als ein Produkt hin-
stellen, dessen andrer Faktor 1 wäre, und da man letztern nicht zu
schreiben pflegt, dasselbe als ein einfaktoriges Produkt bezeichnen.
Zusatz zu ebendiesen Theoremen 21, 22).
Kommen in einem Ausdruck die Symbole 0 und 1 irgendwieoft
als multiplikative oder additive Operationsglieder vor, verknüpft mit
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 272. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/292>, abgerufen am 21.11.2024.
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