falls b c = 0, b d = 0, c d = 0. Dann ist nämlich (wegen b c = 0) nach Zusatz 1: (b + c) d = b d + c d = 0 + 0 = 0 cf. Th. 21+). Deshalb also abermals nach Zusatz 1 ist: a {(b + c) + d} = a (b + c) + a d und durch Einsetzung von a (b + c) = a b + a c rechterhand ergibt sich hieraus der zu beweisende Satz.
Ebenso beweist sich leicht das Schema 28x) sofern nur a b = 0 und c d = 0. Etc.
Anmerkung 1. Dem Prinzip IIIx würde ein Satz III+ dual ent- sprechen: dass (a + b) (a + c) a + b c wenigstens dann sein müsse, wenn b + c = 1 ist. Denselben dürfen wir aber nicht auch als ein "Prinzip" bezeichnen sondern müssen ihn ein "Theorem" nennen, weil er sich nun- mehr -- selbst ohne die angegebene beschränkende Voraussetzung, näm- lich verallgemeinert zu 26+) und 27+) -- auf Grund von IIIx beweisen lassen wird.
Indessen braucht auf dieses Theorem hier überhaupt nicht Bezug ge- nommen zu werden.
Anmerkung 2. Ein spezieller Fall des Prinzips IIIx, also ein noch speziellerer Fall der Subsumtion 26x) würde der folgende Satz sein: IIIx0. Es ist a (b + c) a b + a c, soferne wenigstens b c = 0 und b + c = 1 ist, wo dann auch a (b + c) = a b + a c unter denselben Bedingungen gelten würde x ein Satz, dem wir also weiter unten die kürzere Fassung a (b + b1) = a b + a b1 oder die noch kürzere: a = a b + a b1 würden geben können.
Mit diesem noch einfacheren Satze, selbst in Verbindung mit seinem dualen Gegenstücke, gelänge es aber (wie wir sehen werden) nicht, hier auszukommen.
Da von zwei einander dual entsprechenden Sätzen hier blos der eine IIIx zum Prinzip erhoben wurde, so werden unsre ferneren Be- weisführungen eine Weile notwendig unsymmetrisch: der Dualismus ist uns zur Zeit entschlüpft, wird jedoch in Bälde wieder ein- gefangen.
Den in Kenntniss zu nehmenden Sätzen werden wir bis dahin auch nicht in der Lage sein, die ihnen dual entsprechenden immer sogleich gegenüberzustellen.
Über die anscheinende Unmöglichkeit, statt einseitig, hier doch symmetrisch vorzugehen, nämlich an Stelle von IIIx einen sich selbst
Sechste Vorlesung.
falls b c = 0, b d = 0, c d = 0. Dann ist nämlich (wegen b c = 0) nach Zusatz 1: (b + c) d = b d + c d = 0 + 0 = 0 cf. Th. 21+). Deshalb also abermals nach Zusatz 1 ist: a {(b + c) + d} = a (b + c) + a d und durch Einsetzung von a (b + c) = a b + a c rechterhand ergibt sich hieraus der zu beweisende Satz.
Ebenso beweist sich leicht das Schema 28×) sofern nur a b = 0 und c d = 0. Etc.
Anmerkung 1. Dem Prinzip III× würde ein Satz III+ dual ent- sprechen: dass (a + b) (a + c) ⋹ a + b c wenigstens dann sein müsse, wenn b + c = 1 ist. Denselben dürfen wir aber nicht auch als ein „Prinzip“ bezeichnen sondern müssen ihn ein „Theorem“ nennen, weil er sich nun- mehr — selbst ohne die angegebene beschränkende Voraussetzung, näm- lich verallgemeinert zu 26+) und 27+) — auf Grund von III× beweisen lassen wird.
Indessen braucht auf dieses Theorem hier überhaupt nicht Bezug ge- nommen zu werden.
Anmerkung 2. Ein spezieller Fall des Prinzips III×, also ein noch speziellerer Fall der Subsumtion 26×) würde der folgende Satz sein: III×0. Es ist a (b + c) ⋹ a b + a c, soferne wenigstens b c = 0 und b + c = 1 ist, wo dann auch a (b + c) = a b + a c unter denselben Bedingungen gelten würde × ein Satz, dem wir also weiter unten die kürzere Fassung a (b + b1) = a b + a b1 oder die noch kürzere: a = a b + a b1 würden geben können.
Mit diesem noch einfacheren Satze, selbst in Verbindung mit seinem dualen Gegenstücke, gelänge es aber (wie wir sehen werden) nicht, hier auszukommen.
Da von zwei einander dual entsprechenden Sätzen hier blos der eine III× zum Prinzip erhoben wurde, so werden unsre ferneren Be- weisführungen eine Weile notwendig unsymmetrisch: der Dualismus ist uns zur Zeit entschlüpft, wird jedoch in Bälde wieder ein- gefangen.
Den in Kenntniss zu nehmenden Sätzen werden wir bis dahin auch nicht in der Lage sein, die ihnen dual entsprechenden immer sogleich gegenüberzustellen.
Über die anscheinende Unmöglichkeit, statt einseitig, hier doch symmetrisch vorzugehen, nämlich an Stelle von III× einen sich selbst
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[294/0314]
Sechste Vorlesung.
falls
b c = 0, b d = 0, c d = 0.
Dann ist nämlich (wegen b c = 0) nach Zusatz 1:
(b + c) d = b d + c d = 0 + 0 = 0
cf. Th. 21+). Deshalb also abermals nach Zusatz 1 ist:
a {(b + c) + d} = a (b + c) + a d
und durch Einsetzung von a (b + c) = a b + a c rechterhand ergibt sich
hieraus der zu beweisende Satz.
Ebenso beweist sich leicht das Schema 28×) sofern nur a b = 0
und c d = 0. Etc.
Anmerkung 1. Dem Prinzip III× würde ein Satz III+ dual ent-
sprechen: dass (a + b) (a + c) ⋹ a + b c wenigstens dann sein müsse, wenn
b + c = 1 ist. Denselben dürfen wir aber nicht auch als ein „Prinzip“
bezeichnen sondern müssen ihn ein „Theorem“ nennen, weil er sich nun-
mehr — selbst ohne die angegebene beschränkende Voraussetzung, näm-
lich verallgemeinert zu 26+) und 27+) — auf Grund von III× beweisen
lassen wird.
Indessen braucht auf dieses Theorem hier überhaupt nicht Bezug ge-
nommen zu werden.
Anmerkung 2. Ein spezieller Fall des Prinzips III×, also ein noch
speziellerer Fall der Subsumtion 26×) würde der folgende Satz sein:
III×0. Es ist a (b + c) ⋹ a b + a c, soferne wenigstens b c = 0
und b + c = 1 ist,
wo dann auch a (b + c) = a b + a c unter denselben Bedingungen gelten
würde × ein Satz, dem wir also weiter unten die kürzere Fassung
a (b + b1) = a b + a b1
oder die noch kürzere: a = a b + a b1 würden geben können.
Mit diesem noch einfacheren Satze, selbst in Verbindung mit seinem
dualen Gegenstücke, gelänge es aber (wie wir sehen werden) nicht, hier
auszukommen.
Da von zwei einander dual entsprechenden Sätzen hier blos der
eine III× zum Prinzip erhoben wurde, so werden unsre ferneren Be-
weisführungen eine Weile notwendig unsymmetrisch: der Dualismus
ist uns zur Zeit entschlüpft, wird jedoch in Bälde wieder ein-
gefangen.
Den in Kenntniss zu nehmenden Sätzen werden wir bis dahin
auch nicht in der Lage sein, die ihnen dual entsprechenden immer
sogleich gegenüberzustellen.
Über die anscheinende Unmöglichkeit, statt einseitig, hier doch
symmetrisch vorzugehen, nämlich an Stelle von III× einen sich selbst
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 294. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/314>, abgerufen am 24.11.2024.
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