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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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einer die Negation des andern ist,
verschwindet das Produkt.		als die Negation eines andern Gliedes
erscheint, so hat die Summe den
Wert 1.

So ist z. B.

a b c · a b1 c d1 = 0.a + b + c1 + a + c + d1 = 1.

Man kann nämlich wegen der Kommutativität der Operationen
die Operationsglieder so umordnen, dass das gedachte neben seine
Negation zu stehen kommt; diese beiden kann man dann wegen der
Associativität zu einem einzigen Operationsglied zusammenfassen (des-
gleichen die übrigen Operationsglieder) und nach Th. 19) Zusatz 2
durch seinen Wert 0 resp. 1 ersetzen, worauf das Th. 22) in Wirksam-
keit tritt. In unsern Beispielen haben wir als Wert des Ausdrucks:

a c d1 · b b1 = (a c d1) · 0 = 0.(a + b + d1) + (c + c1) = (a + b + d1) + 1 = 1.

31) Theorem. Es ist allgemein:
(a1)1 = a.

Die Negation der Negation der Negation eines Gebietes ist dies Gebiet selbst, oder:
Doppelte Verneinung "bejaht", hebt sich auf.

Beweis 1. Nach Th. 30) hat man unter Anwendung des Kom-
mutationsgesetzes:
a1 · a = 0, a1 + a = 1,
und andrerseits, wenn Th. 30) für a1 statt a (so, wie es ist) in An-
spruch genommen wird:
a1 · (a1)1 = 0, a1 + (a1)1 = 1.

Vergleicht man diese vier Gleichungen mit dem Schema der Vor-
aussetzungen des Hülfstheorems 29), so nimmt man dessen Anwendbar-
keit wahr, und erhält die Folgerung:
a = (a1)1,
die zu gewinnen war.

Beweis 2. Man kann auch einfach bemerken, dass die beiden
Voraussetzungen der Def. (6) kraft Th. 12) unverändert gültig bleiben,
wenn man die Symbole a und a1 mit einander vertauscht. Da nun
die Def. (6) eine allgemeine Festsetzung sein sollte, so muss auch die
an jene Voraussetzung konventionell geknüpfte Folgerung in Kraft
bleiben, wenn man a und a1 vertauscht. -- Die Sache wird deutlicher,
wenn man in Def. (6) den Namen a1 vermeidet, denselben durch irgend
einen andern, etwa durch b ersetzt. Es wird ausgemacht: b die Nega-
tion von a zu nennen, wenn a b = 0 und a + b = 1 ist. In diesem
Falle ist aber auch b a = 0 und b + a = 1 nach Th. 12). Folglich ist

Schröder, Algebra der Logik. 20

einer die Negation des andern ist,
verschwindet das Produkt.		als die Negation eines andern Gliedes
erscheint, so hat die Summe den
Wert 1.

So ist z. B.

a b c · a b1 c d1 = 0.a + b + c1 + a + c + d1 = 1.

Man kann nämlich wegen der Kommutativität der Operationen
die Operationsglieder so umordnen, dass das gedachte neben seine
Negation zu stehen kommt; diese beiden kann man dann wegen der
Associativität zu einem einzigen Operationsglied zusammenfassen (des-
gleichen die übrigen Operationsglieder) und nach Th. 19) Zusatz 2
durch seinen Wert 0 resp. 1 ersetzen, worauf das Th. 22) in Wirksam-
keit tritt. In unsern Beispielen haben wir als Wert des Ausdrucks:

a c d1 · b b1 = (a c d1) · 0 = 0.(a + b + d1) + (c + c1) = (a + b + d1) + 1 = 1.

31) Theorem. Es ist allgemein:
(a1)1 = a.

Die Negation der Negation der Negation eines Gebietes ist dies Gebiet selbst, oder:
Doppelte Verneinung „bejaht“, hebt sich auf.

Beweis 1. Nach Th. 30) hat man unter Anwendung des Kom-
mutationsgesetzes:
a1 · a = 0, a1 + a = 1,
und andrerseits, wenn Th. 30) für a1 statt a (so, wie es ist) in An-
spruch genommen wird:
a1 · (a1)1 = 0, a1 + (a1)1 = 1.

Vergleicht man diese vier Gleichungen mit dem Schema der Vor-
aussetzungen des Hülfstheorems 29), so nimmt man dessen Anwendbar-
keit wahr, und erhält die Folgerung:
a = (a1)1,
die zu gewinnen war.

Beweis 2. Man kann auch einfach bemerken, dass die beiden
Voraussetzungen der Def. (6) kraft Th. 12) unverändert gültig bleiben,
wenn man die Symbole a und a1 mit einander vertauscht. Da nun
die Def. (6) eine allgemeine Festsetzung sein sollte, so muss auch die
an jene Voraussetzung konventionell geknüpfte Folgerung in Kraft
bleiben, wenn man a und a1 vertauscht. — Die Sache wird deutlicher,
wenn man in Def. (6) den Namen a1 vermeidet, denselben durch irgend
einen andern, etwa durch b ersetzt. Es wird ausgemacht: b die Nega-
tion von a zu nennen, wenn a b = 0 und a + b = 1 ist. In diesem
Falle ist aber auch b a = 0 und b + a = 1 nach Th. 12). Folglich ist

Schröder, Algebra der Logik. 20
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[305/0325] § 13. Negation (mit Postulat) und darauf zu gründende Sätze. einer die Negation des andern ist, verschwindet das Produkt. als die Negation eines andern Gliedes erscheint, so hat die Summe den Wert 1. So ist z. B. a b c · a b1 c d1 = 0. a + b + c1 + a + c + d1 = 1. Man kann nämlich wegen der Kommutativität der Operationen die Operationsglieder so umordnen, dass das gedachte neben seine Negation zu stehen kommt; diese beiden kann man dann wegen der Associativität zu einem einzigen Operationsglied zusammenfassen (des- gleichen die übrigen Operationsglieder) und nach Th. 19) Zusatz 2 durch seinen Wert 0 resp. 1 ersetzen, worauf das Th. 22) in Wirksam- keit tritt. In unsern Beispielen haben wir als Wert des Ausdrucks: a c d1 · b b1 = (a c d1) · 0 = 0. (a + b + d1) + (c + c1) = (a + b + d1) + 1 = 1. 31) Theorem. Es ist allgemein: (a1)1 = a. Die Negation der Negation der Negation eines Gebietes ist dies Gebiet selbst, oder: Doppelte Verneinung „bejaht“, hebt sich auf. Beweis 1. Nach Th. 30) hat man unter Anwendung des Kom- mutationsgesetzes: a1 · a = 0, a1 + a = 1, und andrerseits, wenn Th. 30) für a1 statt a (so, wie es ist) in An- spruch genommen wird: a1 · (a1)1 = 0, a1 + (a1)1 = 1. Vergleicht man diese vier Gleichungen mit dem Schema der Vor- aussetzungen des Hülfstheorems 29), so nimmt man dessen Anwendbar- keit wahr, und erhält die Folgerung: a = (a1)1, die zu gewinnen war. Beweis 2. Man kann auch einfach bemerken, dass die beiden Voraussetzungen der Def. (6) kraft Th. 12) unverändert gültig bleiben, wenn man die Symbole a und a1 mit einander vertauscht. Da nun die Def. (6) eine allgemeine Festsetzung sein sollte, so muss auch die an jene Voraussetzung konventionell geknüpfte Folgerung in Kraft bleiben, wenn man a und a1 vertauscht. — Die Sache wird deutlicher, wenn man in Def. (6) den Namen a1 vermeidet, denselben durch irgend einen andern, etwa durch b ersetzt. Es wird ausgemacht: b die Nega- tion von a zu nennen, wenn a b = 0 und a + b = 1 ist. In diesem Falle ist aber auch b a = 0 und b + a = 1 nach Th. 12). Folglich ist Schröder, Algebra der Logik. 20

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 305. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/325>, abgerufen am 25.11.2024.