Eine Mn. aller erfindlichen, (im engern Sinne) individuellen Ob- jekte des Denkens ohne die (in der suppositio realis genommenen) Urteile wird nun überall da, wo nicht von Urteilen, sondern von Dingen schlechtweg die Rede ist, von hinreichender Erstreckung sein, um beim Negiren aller in Betracht kommenden Begriffe oder Klassen einheit- lich zugrunde gelegt werden zu können, und mag solche etwa die "Mannigfaltigkeit der erdenklichen individuellen Dinge" genannt werden. Nach Bedarf kann man diese auch noch auf die Sphäre der "wirklichen" Dinge einschränken.
§ 17. Fernere Sätze für Gebiete und Klassen. Kontraposition, etc.
36) Theoreme. Allgemein ist:
36x) (a b)1 = a1 + b1
36+) (a + b)1 = a1b1
Die Negation eines Produktes ist die Summe der Negationen der Fak- toren.
Die Negation einer Summe ist das Produkt der Negationen der Glieder.
Umgekehrt auch:
Eine Summe von Negationen ist die Negation des Produktes ihrer Neganden.
Ein Produkt von Negationen ist die Negation der Summe
Beweis. Da es nur eine Negation zu einem Gebiete geben kann, so ist behuf Beweises gewissermassen nur die Probe zu machen, d. h. nachzusehen, ob die angebliche Negation
a1 + b1 von a b
a1b1 von a + b
die für dieselbe charakteristischen beiden Beziehungen des Th. 30) mit diesem Gebiete zusammen erfüllt, d. h. ob wirklich
a b (a1 + b1) = 0, a b + a1 + b1 = 1
(a + b) a1b1 = 0, a + b + a1b1 = 1
ist. Dies folgt nun in der That aus den Zusätzen zu Th. 34x) und 34+), wenn man dieselben auch noch für die Gebiete a1, b1 statt a, b mit Rücksicht auf Th. 31) in Anspruch nimmt.
Im Grunde kam hiebei wieder das Hülfstheorem 29) in Anwendung. Man hat -- z. B. links vom Mittelstrich -- nach 30) einerseits: a b · (a b)1 = 0, a b + (a b)1) = 1 und, wie eben gezeigt, andrerseits: a b · (a1 + b1) = 0, a b + (a1 + b1) = 1, folglich nach jenem: (a b)1 = a1 + b1.
Exempel für Klassen. Wer nicht adelig und Grundbesitzer zu-
Achte Vorlesung.
Eine Mn. aller erfindlichen, (im engern Sinne) individuellen Ob- jekte des Denkens ohne die (in der suppositio realis genommenen) Urteile wird nun überall da, wo nicht von Urteilen, sondern von Dingen schlechtweg die Rede ist, von hinreichender Erstreckung sein, um beim Negiren aller in Betracht kommenden Begriffe oder Klassen einheit- lich zugrunde gelegt werden zu können, und mag solche etwa die „Mannigfaltigkeit der erdenklichen individuellen Dinge“ genannt werden. Nach Bedarf kann man diese auch noch auf die Sphäre der „wirklichen“ Dinge einschränken.
§ 17. Fernere Sätze für Gebiete und Klassen. Kontraposition, etc.
36) Theoreme. Allgemein ist:
36×) (a b)1 = a1 + b1
36+) (a + b)1 = a1b1
Die Negation eines Produktes ist die Summe der Negationen der Fak- toren.
Die Negation einer Summe ist das Produkt der Negationen der Glieder.
Umgekehrt auch:
Eine Summe von Negationen ist die Negation des Produktes ihrer Neganden.
Ein Produkt von Negationen ist die Negation der Summe
Beweis. Da es nur eine Negation zu einem Gebiete geben kann, so ist behuf Beweises gewissermassen nur die Probe zu machen, d. h. nachzusehen, ob die angebliche Negation
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die für dieselbe charakteristischen beiden Beziehungen des Th. 30) mit diesem Gebiete zusammen erfüllt, d. h. ob wirklich
a b (a1 + b1) = 0, a b + a1 + b1 = 1
(a + b) a1b1 = 0, a + b + a1b1 = 1
ist. Dies folgt nun in der That aus den Zusätzen zu Th. 34×) und 34+), wenn man dieselben auch noch für die Gebiete a1, b1 statt a, b mit Rücksicht auf Th. 31) in Anspruch nimmt.
Im Grunde kam hiebei wieder das Hülfstheorem 29) in Anwendung. Man hat — z. B. links vom Mittelstrich — nach 30) einerseits: a b · (a b)1 = 0, a b + (a b)1) = 1 und, wie eben gezeigt, andrerseits: a b · (a1 + b1) = 0, a b + (a1 + b1) = 1, folglich nach jenem: (a b)1 = a1 + b1.
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Achte Vorlesung.
Eine Mn. aller erfindlichen, (im engern Sinne) individuellen Ob-
jekte des Denkens ohne die (in der suppositio realis genommenen)
Urteile wird nun überall da, wo nicht von Urteilen, sondern von Dingen
schlechtweg die Rede ist, von hinreichender Erstreckung sein, um beim
Negiren aller in Betracht kommenden Begriffe oder Klassen einheit-
lich zugrunde gelegt werden zu können, und mag solche etwa die
„Mannigfaltigkeit der erdenklichen individuellen Dinge“ genannt werden.
Nach Bedarf kann man diese auch noch auf die Sphäre der „wirklichen“
Dinge einschränken.
§ 17. Fernere Sätze für Gebiete und Klassen. Kontraposition, etc.
36) Theoreme. Allgemein ist:
36×) (a b)1 = a1 + b1 36+) (a + b)1 = a1 b1
Die Negation eines Produktes ist
die Summe der Negationen der Fak-
toren. Die Negation einer Summe ist
das Produkt der Negationen der
Glieder.
Umgekehrt auch:
Eine Summe von Negationen ist
die Negation des Produktes
ihrer Neganden. Ein Produkt von Negationen ist
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Beweis. Da es nur eine Negation zu einem Gebiete geben kann,
so ist behuf Beweises gewissermassen nur die Probe zu machen, d. h.
nachzusehen, ob die angebliche Negation
a1 + b1 von a b a1 b1 von a + b
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a b (a1 + b1) = 0, a b + a1 + b1 = 1 (a + b) a1 b1 = 0, a + b + a1 b1 = 1
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34+), wenn man dieselben auch noch für die Gebiete a1, b1 statt a, b
mit Rücksicht auf Th. 31) in Anspruch nimmt.
Im Grunde kam hiebei wieder das Hülfstheorem 29) in Anwendung.
Man hat — z. B. links vom Mittelstrich — nach 30) einerseits:
a b · (a b)1 = 0, a b + (a b)1) = 1
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folglich nach jenem: (a b)1 = a1 + b1.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 352. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/372>, abgerufen am 21.11.2024.
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