Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.

setzung der Spezialwerte 0, 1 für y oder y1 die beträchtlichsten Reduk-
tionen des letzteren in Aussicht stehen. Es entsteht:
f (x, 1, z) = (a b + a1 b1) c d1 x z + (a1 x1 + b1 + c1 + d) z, (= etc.)
f (x, 0, z) = a1 b1 (c d1 x z + c1 d) + a1 x1 d1 z1.

Und hieraus leiten wir ab, wie wenn wir nach z entwickeln wollten:

f (x, 1, 1) = a x + a1 x1 + b1 + c1 + d,	f (x, 1, 0) = 0,
f (x, 0, 1) = a1 b1 (c d1 x + c1 d),	f (x, 0, 0) = a1 b1 c1 d + a1 d1 x1,

worans endlich, der Entwickelung nach x entsprechend:

f (1, 1, 1) = a + b1 + c1 + d,	f (1, 1, 0) = 0,
f (1, 0, 1) = a1 b1 (c d1 + c1 d),	f (1, 0, 0) = a1 b1 c1 d,
f (0, 1, 1) = a1 + b1 + c1 + d,	f (0, 1, 0) = 0,
f (0, 0, 1) = a1 b1 c1 d,	f (0, 0, 0) = a1 (b1 c1 + d1).

Damit ist denn gefunden:
f (x, y, z) = (a + b1 + c1 + d) x y z + a1 b1 (c d1 + c1 d) x y1 z + a1 b1 c1 d x y1 z1 +
+ (a1 + b1 + c1 + d) x1 y z + a1 b1 c1 d x1 y1 z + a1 (b1 c1 + d1) x1 y1 z1
als die gesuchte Entwickelung.

Das Resultat ist das nämliche, ob man erst nach x entwickelt
und dann weiter nach y, oder ob man es erst nach y und dann nach
x thut, oder endlich nach beiden zugleich.

Auch stimmt eine Entwickelung nach dem Argumentenpaare x, y
und dem Argument z überein mit derjenigen nach dem Argument x
und dem Argumentenpaare y, z; sie ist zugleich die Entwickelung nach
dem Argumentetripel x, y, z. Man sieht:

Das Entwickeln einer Funktion ist in Hinsicht auf deren Argu-
mente eine kommutative und zugleich assoziative Operation. Reihenfolge
und Gruppirung der Argumente, nach denen einzeln oder in Gruppen
entwickelt wird, sind dabei nebensächlich; die ganze Anordnung des
Entwickelungsprozesses steht in unserm Belieben. Woferne nur alle-
mal ausmultiplizirt wird ist die nach der Gesamtheit der Argumente
entwickelte Funktion zugleich entwickelt nach jedem einzelnen dieser
Argumente und nach jeder Gruppe von solchen und umgekehrt -- ab-
gesehen natürlich von der Anordnung der resultirenden Glieder und
der Reihenfolge der zu den Konstituenten derselben zusammentretenden
Faktoren, welche Momente ja aber ohne Einfluss auf den Wert des
Ergebnisses sind.

Dies alles wird nebenher bei der Durchführung des obigen Be-
weises ersichtlich und könnte leicht noch näher dargelegt werden. Hin-
sichtlich z zum Beispiel erscheint die nach x, y, z entwickelte Funktion

Schröder, Algebra der Logik. 27

§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.

Und hieraus leiten wir ab, wie wenn wir nach z entwickeln wollten:

f (x, 1, 1) = a x + a1 x1 + b1 + c1 + d,	f (x, 1, 0) = 0,
f (x, 0, 1) = a1 b1 (c d1 x + c1 d),	f (x, 0, 0) = a1 b1 c1 d + a1 d1 x1,

worans endlich, der Entwickelung nach x entsprechend:

f (1, 1, 1) = a + b1 + c1 + d,	f (1, 1, 0) = 0,
f (1, 0, 1) = a1 b1 (c d1 + c1 d),	f (1, 0, 0) = a1 b1 c1 d,
f (0, 1, 1) = a1 + b1 + c1 + d,	f (0, 1, 0) = 0,
f (0, 0, 1) = a1 b1 c1 d,	f (0, 0, 0) = a1 (b1 c1 + d1).

Das Resultat ist das nämliche, ob man erst nach x entwickelt
und dann weiter nach y, oder ob man es erst nach y und dann nach
x thut, oder endlich nach beiden zugleich.

Das Entwickeln einer Funktion ist in Hinsicht auf deren Argu-
mente eine kommutative und zugleich assoziative Operation. Reihenfolge
und Gruppirung der Argumente, nach denen einzeln oder in Gruppen
entwickelt wird, sind dabei nebensächlich; die ganze Anordnung des
Entwickelungsprozesses steht in unserm Belieben. Woferne nur alle-
mal ausmultiplizirt wird ist die nach der Gesamtheit der Argumente
entwickelte Funktion zugleich entwickelt nach jedem einzelnen dieser
Argumente und nach jeder Gruppe von solchen und umgekehrt — ab-
gesehen natürlich von der Anordnung der resultirenden Glieder und
der Reihenfolge der zu den Konstituenten derselben zusammentretenden
Faktoren, welche Momente ja aber ohne Einfluss auf den Wert des
Ergebnisses sind.

Schröder, Algebra der Logik. 27

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0437" n="417"/><fw place="top" type="header">§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.</fw><lb/>
setzung der Spezialwerte 0, 1 für <hi rendition="#i">y</hi> oder <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> die beträchtlichsten Reduk-<lb/>
tionen des letzteren in Aussicht stehen. Es entsteht:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>, 1, <hi rendition="#i">z</hi>) = (<hi rendition="#i">a b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x z</hi> + (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">d</hi>) <hi rendition="#i">z</hi>, (= etc.)<lb/><hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>, 0, <hi rendition="#i">z</hi>) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x z</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi>) + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.</hi></p><lb/>
          <p>Und hieraus leiten wir ab, wie wenn wir nach <hi rendition="#i">z</hi> entwickeln wollten:<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>, 1, 1) = <hi rendition="#i">a x</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">d</hi>,</cell><cell><hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>, 1, 0) = 0,</cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>, 0, 1) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi>),</cell><cell><hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>, 0, 0) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,</cell></row><lb/></table> worans endlich, der Entwickelung nach <hi rendition="#i">x</hi> entsprechend:<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">f</hi> (1, 1, 1) = <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">d</hi>,</cell><cell><hi rendition="#i">f</hi> (1, 1, 0) = 0,</cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">f</hi> (1, 0, 1) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi>),</cell><cell><hi rendition="#i">f</hi> (1, 0, 0) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi>,</cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">f</hi> (0, 1, 1) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">d</hi>,</cell><cell><hi rendition="#i">f</hi> (0, 1, 0) = 0,</cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">f</hi> (0, 0, 1) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi>,</cell><cell><hi rendition="#i">f</hi> (0, 0, 0) = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi>).</cell></row><lb/></table> Damit ist denn gefunden:<lb/><hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, <hi rendition="#i">z</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">d</hi>) <hi rendition="#i">x y z</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d</hi>) <hi rendition="#i">x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi> +<lb/><hi rendition="#et">+ (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">d</hi>) <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y z</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">d x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">z</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi><lb/>
als die gesuchte Entwickelung.</p><lb/>
          <p>Das Resultat ist das nämliche, ob man erst nach <hi rendition="#i">x</hi> entwickelt<lb/>
und dann weiter nach <hi rendition="#i">y</hi>, oder ob man es erst nach <hi rendition="#i">y</hi> und dann nach<lb/><hi rendition="#i">x</hi> thut, oder endlich nach beiden zugleich.</p><lb/>
          <p>Auch stimmt eine Entwickelung nach dem Argumentenpaare <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi><lb/>
und dem Argument <hi rendition="#i">z</hi> überein mit derjenigen nach dem Argument <hi rendition="#i">x</hi><lb/>
und dem Argumentenpaare <hi rendition="#i">y</hi>, <hi rendition="#i">z</hi>; sie ist zugleich die Entwickelung nach<lb/>
dem Argumentetripel <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, <hi rendition="#i">z</hi>. Man sieht:</p><lb/>
          <p><hi rendition="#i">Das Entwickeln einer Funktion ist in Hinsicht auf deren Argu-<lb/>
mente eine kommutative und zugleich assoziative Operation.</hi> Reihenfolge<lb/>
und Gruppirung der Argumente, nach denen einzeln oder in Gruppen<lb/>
entwickelt wird, sind dabei nebensächlich; die ganze Anordnung des<lb/>
Entwickelungsprozesses steht in unserm Belieben. Woferne nur alle-<lb/>
mal ausmultiplizirt wird ist die nach der Gesamtheit der Argumente<lb/>
entwickelte Funktion zugleich entwickelt nach jedem einzelnen dieser<lb/>
Argumente und nach jeder Gruppe von solchen und umgekehrt &#x2014; ab-<lb/>
gesehen natürlich von der Anordnung der resultirenden Glieder und<lb/>
der Reihenfolge der zu den Konstituenten derselben zusammentretenden<lb/>
Faktoren, welche Momente ja aber ohne Einfluss auf den Wert des<lb/>
Ergebnisses sind.</p><lb/>
          <p>Dies alles wird nebenher bei der Durchführung des obigen Be-<lb/>
weises ersichtlich und könnte leicht noch näher dargelegt werden. Hin-<lb/>
sichtlich <hi rendition="#i">z</hi> zum Beispiel erscheint die nach <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, <hi rendition="#i">z</hi> entwickelte Funktion<lb/>
<fw place="bottom" type="sig"><hi rendition="#k">Schröder</hi>, Algebra der Logik. 27</fw><lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[417/0437] § 19. Funktionen und deren Entwickelung. setzung der Spezialwerte 0, 1 für y oder y1 die beträchtlichsten Reduk- tionen des letzteren in Aussicht stehen. Es entsteht: f (x, 1, z) = (a b + a1 b1) c d1 x z + (a1 x1 + b1 + c1 + d) z, (= etc.) f (x, 0, z) = a1 b1 (c d1 x z + c1 d) + a1 x1 d1 z1. Und hieraus leiten wir ab, wie wenn wir nach z entwickeln wollten: f (x, 1, 1) = a x + a1 x1 + b1 + c1 + d, f (x, 1, 0) = 0, f (x, 0, 1) = a1 b1 (c d1 x + c1 d), f (x, 0, 0) = a1 b1 c1 d + a1 d1 x1, worans endlich, der Entwickelung nach x entsprechend: f (1, 1, 1) = a + b1 + c1 + d, f (1, 1, 0) = 0, f (1, 0, 1) = a1 b1 (c d1 + c1 d), f (1, 0, 0) = a1 b1 c1 d, f (0, 1, 1) = a1 + b1 + c1 + d, f (0, 1, 0) = 0, f (0, 0, 1) = a1 b1 c1 d, f (0, 0, 0) = a1 (b1 c1 + d1). Damit ist denn gefunden: f (x, y, z) = (a + b1 + c1 + d) x y z + a1 b1 (c d1 + c1 d) x y1 z + a1 b1 c1 d x y1 z1 + + (a1 + b1 + c1 + d) x1 y z + a1 b1 c1 d x1 y1 z + a1 (b1 c1 + d1) x1 y1 z1 als die gesuchte Entwickelung. Das Resultat ist das nämliche, ob man erst nach x entwickelt und dann weiter nach y, oder ob man es erst nach y und dann nach x thut, oder endlich nach beiden zugleich. Auch stimmt eine Entwickelung nach dem Argumentenpaare x, y und dem Argument z überein mit derjenigen nach dem Argument x und dem Argumentenpaare y, z; sie ist zugleich die Entwickelung nach dem Argumentetripel x, y, z. Man sieht: Das Entwickeln einer Funktion ist in Hinsicht auf deren Argu- mente eine kommutative und zugleich assoziative Operation. Reihenfolge und Gruppirung der Argumente, nach denen einzeln oder in Gruppen entwickelt wird, sind dabei nebensächlich; die ganze Anordnung des Entwickelungsprozesses steht in unserm Belieben. Woferne nur alle- mal ausmultiplizirt wird ist die nach der Gesamtheit der Argumente entwickelte Funktion zugleich entwickelt nach jedem einzelnen dieser Argumente und nach jeder Gruppe von solchen und umgekehrt — ab- gesehen natürlich von der Anordnung der resultirenden Glieder und der Reihenfolge der zu den Konstituenten derselben zusammentretenden Faktoren, welche Momente ja aber ohne Einfluss auf den Wert des Ergebnisses sind. Dies alles wird nebenher bei der Durchführung des obigen Be- weises ersichtlich und könnte leicht noch näher dargelegt werden. Hin- sichtlich z zum Beispiel erscheint die nach x, y, z entwickelte Funktion Schröder, Algebra der Logik. 27

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/437
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 417. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/437>, abgerufen am 22.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.