irgend eines Ausdrucks in seine "letzten oder Prim-Faktoren" zu be- werkstelligen.
Anmerkung 2 zu Th. 44). Als Folgerungen fliessen aus diesem Theorem durch beiderseitiges Multipliziren mit x resp. x1 die Sätze McColl's: x f (x) = x f (1) und x1f (x) = x1f (0) und macht derselbe darauf aufmerksam, dass durch Anwendung dieser Schemata manche Rechnungen sich sehr vereinfachen lassen.
Hatten wir z. B. in § 18 unter b1) auszurechnen: a b1 (a1b + a1c1 + b1c1)1, so kann dies so geschehen, dass man den Faktor hinter a b1 als eine Funktion f (a) von a, oder aber als eine solche F (b) von b betrachtet; darnach ergibt sich nach dem ersten resp. zweiten Schema das Ganze gleich a b1 (0 + 0 + b1c1)1 = a b1 (b + c) = a b1c, resp. a b1 (0 + a1c1 + c1)1 = a b1 (c1)1 = a b1c. Und dergleichen mehr.
Sind Ausdrücke, an oder mit welchen eine Rechnungsoperation des identischen Kalkuls vorzunehmen ist, nach bestimmten resp. den nämlichen Argumenten "entwickelt" -- und man vermag ja jeden Aus- druck nach gegebenen Argumenten entwickelt darzustellen -- so lassen die Rechnungsregeln ganz ausserordentliche Vereinfachungen zu, von welchen jetzt Kenntniss zu nehmen ist: wir haben mit entwickelten Funktionen nun rechnen zu lernen.
Vorbemerkung zu Th. 45+).
Schon nach dem Distributionsgesetze allein ist die Summe von nach x, y, ... entwickelten Funktionen [ganz ähnlich, wie in der Arith- metik die von Potenzreihen] zu bilden mittelst additiver Vereinigung der Koeffizienten aller gleichnamigen Glieder -- wobei wir "gleichnamig" jetzt solche Glieder zu nennen haben, welche denselben Konstituenten als Faktor enthalten, sich also höchstens durch ihren Koeffizienten unterscheiden.
So sind z. B. a x y1z und b x y1z zwei gleichnamige Terme in Hinsicht auf die Argumente x, y, z.
In der That haben wir ohne weiteres: (a x + b x1) + (a' x + b' x1) = a x + a' x + b x1 + b' x1 = (a + a') x + (b + b') x1, (a x1 + b x) + (c x1 + d x) + (e x1 + f x) = (a + c + e) x1 + (b + d + f) x, (a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1) + (a' x y + b' x y1 + c' x1y + d' x1y1) = = (a + a') x y + (b + b') x y1 + (c + c') x1y + (d + d') x1y1, und so fort. Die Summe von Funktionen, welche nach gewissen für
Zehnte Vorlesung.
irgend eines Ausdrucks in seine „letzten oder Prim-Faktoren“ zu be- werkstelligen.
Anmerkung 2 zu Th. 44). Als Folgerungen fliessen aus diesem Theorem durch beiderseitiges Multipliziren mit x resp. x1 die Sätze McColl's: x f (x) = x f (1) und x1f (x) = x1f (0) und macht derselbe darauf aufmerksam, dass durch Anwendung dieser Schemata manche Rechnungen sich sehr vereinfachen lassen.
Hatten wir z. B. in § 18 unter β1) auszurechnen: a b1 (a1b + a1c1 + b1c1)1, so kann dies so geschehen, dass man den Faktor hinter a b1 als eine Funktion f (a) von a, oder aber als eine solche F (b) von b betrachtet; darnach ergibt sich nach dem ersten resp. zweiten Schema das Ganze gleich a b1 (0 + 0 + b1c1)1 = a b1 (b + c) = a b1c, resp. a b1 (0 + a1c1 + c1)1 = a b1 (c1)1 = a b1c. Und dergleichen mehr.
Sind Ausdrücke, an oder mit welchen eine Rechnungsoperation des identischen Kalkuls vorzunehmen ist, nach bestimmten resp. den nämlichen Argumenten „entwickelt“ — und man vermag ja jeden Aus- druck nach gegebenen Argumenten entwickelt darzustellen — so lassen die Rechnungsregeln ganz ausserordentliche Vereinfachungen zu, von welchen jetzt Kenntniss zu nehmen ist: wir haben mit entwickelten Funktionen nun rechnen zu lernen.
Vorbemerkung zu Th. 45+).
Schon nach dem Distributionsgesetze allein ist die Summe von nach x, y, … entwickelten Funktionen [ganz ähnlich, wie in der Arith- metik die von Potenzreihen] zu bilden mittelst additiver Vereinigung der Koeffizienten aller gleichnamigen Glieder — wobei wir „gleichnamig“ jetzt solche Glieder zu nennen haben, welche denselben Konstituenten als Faktor enthalten, sich also höchstens durch ihren Koeffizienten unterscheiden.
So sind z. B. a x y1z und b x y1z zwei gleichnamige Terme in Hinsicht auf die Argumente x, y, z.
In der That haben wir ohne weiteres: (a x + b x1) + (a' x + b' x1) = a x + a' x + b x1 + b' x1 = (a + a') x + (b + b') x1, (a x1 + b x) + (c x1 + d x) + (e x1 + f x) = (a + c + e) x1 + (b + d + f) x, (a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1) + (a' x y + b' x y1 + c' x1y + d' x1y1) = = (a + a') x y + (b + b') x y1 + (c + c') x1y + (d + d') x1y1, und so fort. Die Summe von Funktionen, welche nach gewissen für
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Zehnte Vorlesung.
irgend eines Ausdrucks in seine „letzten oder Prim-Faktoren“ zu be-
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Theorem durch beiderseitiges Multipliziren mit x resp. x1 die Sätze
McColl's:
x f (x) = x f (1) und x1 f (x) = x1 f (0)
und macht derselbe darauf aufmerksam, dass durch Anwendung dieser
Schemata manche Rechnungen sich sehr vereinfachen lassen.
Hatten wir z. B. in § 18 unter β1) auszurechnen: a b1 (a1 b + a1 c1 + b1 c1)1,
so kann dies so geschehen, dass man den Faktor hinter a b1 als eine
Funktion f (a) von a, oder aber als eine solche F (b) von b betrachtet;
darnach ergibt sich nach dem ersten resp. zweiten Schema das Ganze gleich
a b1 (0 + 0 + b1 c1)1 = a b1 (b + c) = a b1 c,
resp.
a b1 (0 + a1 c1 + c1)1 = a b1 (c1)1 = a b1 c.
Und dergleichen mehr.
Sind Ausdrücke, an oder mit welchen eine Rechnungsoperation
des identischen Kalkuls vorzunehmen ist, nach bestimmten resp. den
nämlichen Argumenten „entwickelt“ — und man vermag ja jeden Aus-
druck nach gegebenen Argumenten entwickelt darzustellen — so lassen
die Rechnungsregeln ganz ausserordentliche Vereinfachungen zu, von
welchen jetzt Kenntniss zu nehmen ist: wir haben mit entwickelten
Funktionen nun rechnen zu lernen.
Vorbemerkung zu Th. 45+).
Schon nach dem Distributionsgesetze allein ist die Summe von
nach x, y, … entwickelten Funktionen [ganz ähnlich, wie in der Arith-
metik die von Potenzreihen] zu bilden mittelst additiver Vereinigung
der Koeffizienten aller gleichnamigen Glieder — wobei wir „gleichnamig“
jetzt solche Glieder zu nennen haben, welche denselben Konstituenten
als Faktor enthalten, sich also höchstens durch ihren Koeffizienten
unterscheiden.
So sind z. B. a x y1 z und b x y1 z zwei gleichnamige Terme in Hinsicht
auf die Argumente x, y, z.
In der That haben wir ohne weiteres:
(a x + b x1) + (a' x + b' x1) = a x + a' x + b x1 + b' x1 = (a + a') x + (b + b') x1,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 420. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/440>, abgerufen am 22.11.2024.
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