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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.

Der erste Teil des Satzes (soweit er kursiv gedruckt) ist hienach
bewiesen, und ist klar, wie man den analogen Beweis auch bei be-
liebig vielen Argumenten leisten kann.

Nennt man nun:
a b c d + w (a + b + c + d) = ph = a b c d w1 + (a + b + c + d) w,
so gibt es zu jedem Wertepaar x, y ein Gebiet w, welches die
Gleichung
f = ph
erfüllt, zu einer identisch richtigen macht. Ein solches ist w = f
selber, wie äusserst leicht nachzurechnen.

Umgekehrt gibt es aber auch zu jedem beliebig angenommenen
oder gegebenen Werte von w (oder f) ein Wertepaar x, y, welches
diese Gleichung erfüllt. Ein solches ist z. B.:
x = (a + b) c1 d1 w + (a1 + b1) c d w1, y = (a b1 + c) d1 w + (a1 b + c1) d w1,
x1 = (a1 b1 + c + d) w + (a b + c1 + d1) w1, y1 = {(a1 + b) c1 + d} w + {(a + b1) c + d1} w1,
wie die Probe zeigt.

Um die Behauptung mit möglichst wenig Mühe zu verifiziren rechne
man nicht etwa erst die Produkte x y, x y1, x1 y, x1 y1 für sich aus, sondern
sogleich:
a x y = a x · a y, b x y1 = b x · b y1, c x1 y = c x1 · c y, d x1 y1 = d x1 · d y1;
man findet auf diese Weise unmittelbar:
a x y = a b1 c1 d1 w, b x y1 = b c1 d1 w, c x1 y = c d1 w, d x1 y1 = d w + a b c d w1,
und da nach Th. 33+) Zusatz -- vergl. auch § 18, g) -- sein muss:
a b1 c1 d1 + b c1 d1 + c d1 + d = a + b + c + d,
so stimmt die Probe.

Die Art zu schildern, wie ich vorstehende Werte von x, y systematisch
fand, würde hier noch zu weit führen und sei darüber blos im Allgemeinen
auf den § 24 verwiesen.

Da nun nach Th. 47+) ph jeden denkbaren Wert zwischen a b c d
und a + b + c + d vorstellt, so ist erkannt, dass auch f jeden solchen
Wert wirklich annehmen kann.

Das Entsprechende analog bei drei und mehr Variablen darzuthun,
ist nicht ganz einfach (Problem!) und wollen wir auf den independenten
Beweis des nicht kursiv gedruckten Teils des Th. 48+) für diesen Fall
nicht eingehen. --

Man kann jedoch diesen Beweis auch rekurrirend führen, nämlich,
nachdem er für irgend eine bestimmte Anzahl von Argumenten bereits
geleistet ist, darthun, dass er auch für die nächst höhere Anzahl

§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.

Der erste Teil des Satzes (soweit er kursiv gedruckt) ist hienach
bewiesen, und ist klar, wie man den analogen Beweis auch bei be-
liebig vielen Argumenten leisten kann.

Nennt man nun:
a b c d + w (a + b + c + d) = φ = a b c d w1 + (a + b + c + d) w,
so gibt es zu jedem Wertepaar x, y ein Gebiet w, welches die
Gleichung
f = φ
erfüllt, zu einer identisch richtigen macht. Ein solches ist w = f
selber, wie äusserst leicht nachzurechnen.

Umgekehrt gibt es aber auch zu jedem beliebig angenommenen
oder gegebenen Werte von w (oder f) ein Wertepaar x, y, welches
diese Gleichung erfüllt. Ein solches ist z. B.:
x = (a + b) c1 d1 w + (a1 + b1) c d w1, y = (a b1 + c) d1 w + (a1 b + c1) d w1,
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wie die Probe zeigt.

Um die Behauptung mit möglichst wenig Mühe zu verifiziren rechne
man nicht etwa erst die Produkte x y, x y1, x1 y, x1 y1 für sich aus, sondern
sogleich:
a x y = a x · a y, b x y1 = b x · b y1, c x1 y = c x1 · c y, d x1 y1 = d x1 · d y1;
man findet auf diese Weise unmittelbar:
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und da nach Th. 33+) Zusatz — vergl. auch § 18, γ) — sein muss:
a b1 c1 d1 + b c1 d1 + c d1 + d = a + b + c + d,
so stimmt die Probe.

Die Art zu schildern, wie ich vorstehende Werte von x, y systematisch
fand, würde hier noch zu weit führen und sei darüber blos im Allgemeinen
auf den § 24 verwiesen.

Da nun nach Th. 47+) φ jeden denkbaren Wert zwischen a b c d
und a + b + c + d vorstellt, so ist erkannt, dass auch f jeden solchen
Wert wirklich annehmen kann.

Das Entsprechende analog bei drei und mehr Variablen darzuthun,
ist nicht ganz einfach (Problem!) und wollen wir auf den independenten
Beweis des nicht kursiv gedruckten Teils des Th. 48+) für diesen Fall
nicht eingehen. —

Man kann jedoch diesen Beweis auch rekurrirend führen, nämlich,
nachdem er für irgend eine bestimmte Anzahl von Argumenten bereits
geleistet ist, darthun, dass er auch für die nächst höhere Anzahl

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[429/0449] § 19. Funktionen und deren Entwickelung. Der erste Teil des Satzes (soweit er kursiv gedruckt) ist hienach bewiesen, und ist klar, wie man den analogen Beweis auch bei be- liebig vielen Argumenten leisten kann. Nennt man nun: a b c d + w (a + b + c + d) = φ = a b c d w1 + (a + b + c + d) w, so gibt es zu jedem Wertepaar x, y ein Gebiet w, welches die Gleichung f = φ erfüllt, zu einer identisch richtigen macht. Ein solches ist w = f selber, wie äusserst leicht nachzurechnen. Umgekehrt gibt es aber auch zu jedem beliebig angenommenen oder gegebenen Werte von w (oder f) ein Wertepaar x, y, welches diese Gleichung erfüllt. Ein solches ist z. B.: x = (a + b) c1 d1 w + (a1 + b1) c d w1, y = (a b1 + c) d1 w + (a1 b + c1) d w1, x1 = (a1 b1 + c + d) w + (a b + c1 + d1) w1, y1 = {(a1 + b) c1 + d} w + {(a + b1) c + d1} w1, wie die Probe zeigt. Um die Behauptung mit möglichst wenig Mühe zu verifiziren rechne man nicht etwa erst die Produkte x y, x y1, x1 y, x1 y1 für sich aus, sondern sogleich: a x y = a x · a y, b x y1 = b x · b y1, c x1 y = c x1 · c y, d x1 y1 = d x1 · d y1; man findet auf diese Weise unmittelbar: a x y = a b1 c1 d1 w, b x y1 = b c1 d1 w, c x1 y = c d1 w, d x1 y1 = d w + a b c d w1, und da nach Th. 33+) Zusatz — vergl. auch § 18, γ) — sein muss: a b1 c1 d1 + b c1 d1 + c d1 + d = a + b + c + d, so stimmt die Probe. Die Art zu schildern, wie ich vorstehende Werte von x, y systematisch fand, würde hier noch zu weit führen und sei darüber blos im Allgemeinen auf den § 24 verwiesen. Da nun nach Th. 47+) φ jeden denkbaren Wert zwischen a b c d und a + b + c + d vorstellt, so ist erkannt, dass auch f jeden solchen Wert wirklich annehmen kann. Das Entsprechende analog bei drei und mehr Variablen darzuthun, ist nicht ganz einfach (Problem!) und wollen wir auf den independenten Beweis des nicht kursiv gedruckten Teils des Th. 48+) für diesen Fall nicht eingehen. — Man kann jedoch diesen Beweis auch rekurrirend führen, nämlich, nachdem er für irgend eine bestimmte Anzahl von Argumenten bereits geleistet ist, darthun, dass er auch für die nächst höhere Anzahl

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 429. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/449>, abgerufen am 22.11.2024.