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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
eben erfüllt ist, denn durch die Einsetzung verwandelte sich die Glei-
chung zunächst in jene Resultante.

Ohne Rücksicht auf das Erfülltsein oder Nichterfülltsein dieser
letzteren könnte man daher mit Herrn Voigt definiren:

"Lösung" (oder "Wurzel") einer Gleichung nennen wir einen Aus-
druck, welcher, für die Unbekannte in die Gleichung eingesetzt, dieselbe
auf ihre Resultante reduzirt (genauer: auf die Resultante der Elimina-
tion jener Unbekannten aus ihr).

g) Umbekehrt lässt aber auch jedes die (erste) Gleichung
a x + b x1 = 0
erfüllende x sich durch den Ausdruck bu1 + a1u darstellen, indem es
z. B. genügt, unter u sich x selbst vorzustellen, um die Gleichung
x = b u1 + a1 u
zu einer analytischen oder richtigen Identität zu machen.

Alsdann wird auch u1 durch x1 zu ersetzen sein. Nach der An-
nahme ist aber, wie unter Th. 49+) bereits erwähnt, auch schon für
sich: a x = 0 und b x1 = 0; sonach folgt, wenn für b x1 erst 0, für 0
dann a x geschrieben wird (mit ähnlichem Kunstgriff, wie S. 425):
b u1 + a1 u = b x1 + a1 x = 0 + a1 x = a x + a1 x = (a + a1) x = 1 · x = x,
was zu zeigen war und auch nach Th. 49+) mittelst Buchstaben-
vertauschung auf das Hülfstheorem zu Th. 47+) hätte zurückgeführt
werden können.

Wir sind hienach berechtigt den Ausdruck, welchen die dritte
Gleichung x = b u1 + a1 u
für die Unbekannte liefert (oder auch diese Gleichung selber) als "die
allgemeine Lösung" der Gleichung hinzustellen.

Hiermit ist dargethan, dass wenn die erste Gleichung gilt, dann
auch die zweite gelten muss (vergl. a) und die dritte wenigstens für
ein gewisses u (vergl. g), woneben unter b) gezeigt ist, dass wenn die
zweite Gleichung nebst der dritten (für irgend ein u) gilt, dann auch
die erste Gleichung gelten muss.

D. h. das ganze Theorem ist bewiesen, und mag man merken:
Die Gleichung ist stets äquivalent ihrer allgemeinen Lösung nebst der
Resultante.

Jener Satz ist das Haupttheorem der bisherigen Theorie. Er
lehrt (noch unmittelbarer wie der vorige) bezüglich irgend einer Un-
bekannten x die im Titel dieses Paragraphen angedeuteten Probeleme
lösen. Bei der Wichtigkeit desselben müssen wir noch einige Zeit bei
seiner Betrachtung verweilen.

Schröder, Algebra der Logik. 29

§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
eben erfüllt ist, denn durch die Einsetzung verwandelte sich die Glei-
chung zunächst in jene Resultante.

Ohne Rücksicht auf das Erfülltsein oder Nichterfülltsein dieser
letzteren könnte man daher mit Herrn Voigt definiren:

„Lösung“ (oder „Wurzel“) einer Gleichung nennen wir einen Aus-
druck, welcher, für die Unbekannte in die Gleichung eingesetzt, dieselbe
auf ihre Resultante reduzirt (genauer: auf die Resultante der Elimina-
tion jener Unbekannten aus ihr).

γ) Umbekehrt lässt aber auch jedes die (erste) Gleichung
a x + b x1 = 0
erfüllende x sich durch den Ausdruck bu1 + a1u darstellen, indem es
z. B. genügt, unter u sich x selbst vorzustellen, um die Gleichung
x = b u1 + a1 u
zu einer analytischen oder richtigen Identität zu machen.

Alsdann wird auch u1 durch x1 zu ersetzen sein. Nach der An-
nahme ist aber, wie unter Th. 49+) bereits erwähnt, auch schon für
sich: a x = 0 und b x1 = 0; sonach folgt, wenn für b x1 erst 0, für 0
dann a x geschrieben wird (mit ähnlichem Kunstgriff, wie S. 425):
b u1 + a1 u = b x1 + a1 x = 0 + a1 x = a x + a1 x = (a + a1) x = 1 · x = x,
was zu zeigen war und auch nach Th. 49+) mittelst Buchstaben-
vertauschung auf das Hülfstheorem zu Th. 47+) hätte zurückgeführt
werden können.

Wir sind hienach berechtigt den Ausdruck, welchen die dritte
Gleichung x = b u1 + a1 u
für die Unbekannte liefert (oder auch diese Gleichung selber) als „die
allgemeine Lösung“ der Gleichung hinzustellen.

Hiermit ist dargethan, dass wenn die erste Gleichung gilt, dann
auch die zweite gelten muss (vergl. α) und die dritte wenigstens für
ein gewisses u (vergl. γ), woneben unter β) gezeigt ist, dass wenn die
zweite Gleichung nebst der dritten (für irgend ein u) gilt, dann auch
die erste Gleichung gelten muss.

D. h. das ganze Theorem ist bewiesen, und mag man merken:
Die Gleichung ist stets äquivalent ihrer allgemeinen Lösung nebst der
Resultante.

Jener Satz ist das Haupttheorem der bisherigen Theorie. Er
lehrt (noch unmittelbarer wie der vorige) bezüglich irgend einer Un-
bekannten x die im Titel dieses Paragraphen angedeuteten Probeleme
lösen. Bei der Wichtigkeit desselben müssen wir noch einige Zeit bei
seiner Betrachtung verweilen.

Schröder, Algebra der Logik. 29
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[449/0469] § 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen. eben erfüllt ist, denn durch die Einsetzung verwandelte sich die Glei- chung zunächst in jene Resultante. Ohne Rücksicht auf das Erfülltsein oder Nichterfülltsein dieser letzteren könnte man daher mit Herrn Voigt definiren: „Lösung“ (oder „Wurzel“) einer Gleichung nennen wir einen Aus- druck, welcher, für die Unbekannte in die Gleichung eingesetzt, dieselbe auf ihre Resultante reduzirt (genauer: auf die Resultante der Elimina- tion jener Unbekannten aus ihr). γ) Umbekehrt lässt aber auch jedes die (erste) Gleichung a x + b x1 = 0 erfüllende x sich durch den Ausdruck bu1 + a1u darstellen, indem es z. B. genügt, unter u sich x selbst vorzustellen, um die Gleichung x = b u1 + a1 u zu einer analytischen oder richtigen Identität zu machen. Alsdann wird auch u1 durch x1 zu ersetzen sein. Nach der An- nahme ist aber, wie unter Th. 49+) bereits erwähnt, auch schon für sich: a x = 0 und b x1 = 0; sonach folgt, wenn für b x1 erst 0, für 0 dann a x geschrieben wird (mit ähnlichem Kunstgriff, wie S. 425): b u1 + a1 u = b x1 + a1 x = 0 + a1 x = a x + a1 x = (a + a1) x = 1 · x = x, was zu zeigen war und auch nach Th. 49+) mittelst Buchstaben- vertauschung auf das Hülfstheorem zu Th. 47+) hätte zurückgeführt werden können. Wir sind hienach berechtigt den Ausdruck, welchen die dritte Gleichung x = b u1 + a1 u für die Unbekannte liefert (oder auch diese Gleichung selber) als „die allgemeine Lösung“ der Gleichung hinzustellen. Hiermit ist dargethan, dass wenn die erste Gleichung gilt, dann auch die zweite gelten muss (vergl. α) und die dritte wenigstens für ein gewisses u (vergl. γ), woneben unter β) gezeigt ist, dass wenn die zweite Gleichung nebst der dritten (für irgend ein u) gilt, dann auch die erste Gleichung gelten muss. D. h. das ganze Theorem ist bewiesen, und mag man merken: Die Gleichung ist stets äquivalent ihrer allgemeinen Lösung nebst der Resultante. Jener Satz ist das Haupttheorem der bisherigen Theorie. Er lehrt (noch unmittelbarer wie der vorige) bezüglich irgend einer Un- bekannten x die im Titel dieses Paragraphen angedeuteten Probeleme lösen. Bei der Wichtigkeit desselben müssen wir noch einige Zeit bei seiner Betrachtung verweilen. Schröder, Algebra der Logik. 29

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 449. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/469>, abgerufen am 22.11.2024.