Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.

Aufgabe 1. Es soll die Gleichung
x y = 0
"symmetrisch allgemein" nach den Unbekannten x und y aufgelöst werden.

Die Auflösung wird dargestellt durch die Gleichungen:
x = a b1 o1 + a1 b o, y = a1 b o1 + a b1 o,
worin, wie vorbemerkt, a, b und o ganz beliebige Gebiete bedeuten.

Aufgabe 2. Ebenso nach x, y, z die Gleichung
x y z = 0
symmetrisch allgemein zu lösen.

Auflösung:
x = a (b1 + g1) o1 + a1 (b + g) o,
y = b (g1 + a1) o1 + b1 (g + a) o,
z = g (a1 + b1) o1 + g1 (a + b) o.

Aufgabe 3. Desgleichen nach x, y, z, w aufzulösen die Gleichung:
x y z w = 0.

Auflösung:
x = a (b1 + g1 + d1) o1 + a1 (b + g + d) o,
y = b (a1 + g1 + d1) o1 + b1 (a + g + d) o,
z = g (a1 + b1 + d1) o1 + g1 (a + b + d) o,
w = d (a1 + b1 + g1) o1 + d1 (a + b + g) o.
Und so weiter: das Bildungsgesetz für beliebig viele Faktoren des
zum Verschwinden zu bringenden Produktes ist ersichtlich.

Beweis. Erstens stimmt bei ganz unbestimmt gelassenen will-
kürlichen Gebieten o, a, b, g, d, ... für die angegebenen Wurzelwerte
die Probe der Auflösung -- wie dies leicht nachzurechnen ist.

Die Auflösungen sind also jedenfalls richtige.

Zweitens sind sie aber auch die allgemeinsten, wie ich für Auf-
gabe 3 näher nachweisen will (ganz analog ist es auch für die vor-
hergehenden beiden Aufgaben zu leisten, etc.).

Ist x, y, z, w irgend ein Wertsystem oder System von gegebenen
Gebieten, welche die Anforderung x y z w = 0 erfüllen, so kann man
immer unsre Parameter o, a, b, g, d so bestimmen, dass unsre Aus-
drücke für die Wurzeln gerade dieses Wertsystem liefern. In der That
genügt es, zu diesem Zwecke etwa:
o = 0 und a = x, b = y, g = z, d = w
selbst zu denken.

32*

§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.

Aufgabe 1. Es soll die Gleichung
x y = 0
„symmetrisch allgemein“ nach den Unbekannten x und y aufgelöst werden.

Die Auflösung wird dargestellt durch die Gleichungen:
x = α β1 ω1 + α1 β ω, y = α1 β ω1 + α β1 ω,
worin, wie vorbemerkt, α, β und ω ganz beliebige Gebiete bedeuten.

Aufgabe 2. Ebenso nach x, y, z die Gleichung
x y z = 0
symmetrisch allgemein zu lösen.

Auflösung:
x = α (β1 + γ1) ω1 + α1 (β + γ) ω,
y = β (γ1 + α1) ω1 + β1 (γ + α) ω,
z = γ (α1 + β1) ω1 + γ1 (α + β) ω.

Aufgabe 3. Desgleichen nach x, y, z, w aufzulösen die Gleichung:
x y z w = 0.

Auflösung:
x = α (β1 + γ1 + δ1) ω1 + α1 (β + γ + δ) ω,
y = β (α1 + γ1 + δ1) ω1 + β1 (α + γ + δ) ω,
z = γ (α1 + β1 + δ1) ω1 + γ1 (α + β + δ) ω,
w = δ (α1 + β1 + γ1) ω1 + δ1 (α + β + γ) ω.
Und so weiter: das Bildungsgesetz für beliebig viele Faktoren des
zum Verschwinden zu bringenden Produktes ist ersichtlich.

Beweis. Erstens stimmt bei ganz unbestimmt gelassenen will-
kürlichen Gebieten ω, α, β, γ, δ, … für die angegebenen Wurzelwerte
die Probe der Auflösung — wie dies leicht nachzurechnen ist.

Die Auflösungen sind also jedenfalls richtige.

Zweitens sind sie aber auch die allgemeinsten, wie ich für Auf-
gabe 3 näher nachweisen will (ganz analog ist es auch für die vor-
hergehenden beiden Aufgaben zu leisten, etc.).

Ist x, y, z, w irgend ein Wertsystem oder System von gegebenen
Gebieten, welche die Anforderung x y z w = 0 erfüllen, so kann man
immer unsre Parameter ω, α, β, γ, δ so bestimmen, dass unsre Aus-
drücke für die Wurzeln gerade dieses Wertsystem liefern. In der That
genügt es, zu diesem Zwecke etwa:
ω = 0 und α = x, β = y, γ = z, δ = w
selbst zu denken.

32*

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <pb facs="#f0519" n="499"/>
          <fw place="top" type="header">§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.</fw><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Aufgabe</hi> 1. <hi rendition="#i">Es soll die Gleichung</hi><lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x y</hi> = 0</hi><lb/>
&#x201E;<hi rendition="#i">symmetrisch allgemein</hi>&#x201C; <hi rendition="#i">nach den Unbekannten x und y aufgelöst werden.</hi></p><lb/>
          <p>Die <hi rendition="#g">Auflösung</hi> wird dargestellt durch die Gleichungen:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B2; &#x03C9;</hi>, <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B2; &#x03C9;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B1; &#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>,</hi><lb/>
worin, wie vorbemerkt, <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> und <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> ganz beliebige Gebiete bedeuten.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Aufgabe</hi> 2. <hi rendition="#i">Ebenso nach x, y, z die Gleichung</hi><lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x y z</hi> = 0</hi><lb/><hi rendition="#i">symmetrisch allgemein zu lösen.</hi></p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Auflösung</hi>:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>,<lb/><hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>,<lb/><hi rendition="#i">z</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>.</hi></p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Aufgabe</hi> 3. <hi rendition="#i">Desgleichen nach x, y, z, w aufzulösen die Gleichung:</hi><lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x y z w</hi> = 0.</hi></p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Auflösung</hi>:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>,<lb/><hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>,<lb/><hi rendition="#i">z</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>,<lb/><hi rendition="#i">w</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi>) <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>.</hi><lb/>
Und so weiter: das Bildungsgesetz für beliebig viele Faktoren des<lb/>
zum Verschwinden zu bringenden Produktes ist ersichtlich.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Beweis</hi>. Erstens <hi rendition="#i">stimmt</hi> bei ganz unbestimmt gelassenen will-<lb/>
kürlichen Gebieten <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi>, &#x2026; für die angegebenen Wurzelwerte<lb/>
die <hi rendition="#i">Probe der Auflösung</hi> &#x2014; wie dies leicht nachzurechnen ist.</p><lb/>
          <p>Die Auflösungen sind also jedenfalls <hi rendition="#i">richtige</hi>.</p><lb/>
          <p>Zweitens sind sie aber auch die <hi rendition="#i">allgemeinsten</hi>, wie ich für Auf-<lb/>
gabe 3 näher nachweisen will (ganz analog ist es auch für die vor-<lb/>
hergehenden beiden Aufgaben zu leisten, etc.).</p><lb/>
          <p>Ist <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>, <hi rendition="#i">z</hi>, <hi rendition="#i">w irgend ein</hi> Wertsystem oder System von gegebenen<lb/>
Gebieten, welche die Anforderung <hi rendition="#i">x y z w</hi> = 0 erfüllen, so kann man<lb/>
immer unsre Parameter <hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi> so bestimmen, dass unsre Aus-<lb/>
drücke für die Wurzeln <hi rendition="#i">gerade dieses</hi> Wertsystem liefern. In der That<lb/>
genügt es, zu diesem Zwecke etwa:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">&#x03C9;</hi> = 0 und <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> = <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> = <hi rendition="#i">y</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> = <hi rendition="#i">z</hi>, <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi> = <hi rendition="#i">w</hi></hi><lb/>
selbst zu denken.</p><lb/>
          <fw place="bottom" type="sig">32*</fw><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[499/0519] § 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen. Aufgabe 1. Es soll die Gleichung x y = 0 „symmetrisch allgemein“ nach den Unbekannten x und y aufgelöst werden. Die Auflösung wird dargestellt durch die Gleichungen: x = α β1 ω1 + α1 β ω, y = α1 β ω1 + α β1 ω, worin, wie vorbemerkt, α, β und ω ganz beliebige Gebiete bedeuten. Aufgabe 2. Ebenso nach x, y, z die Gleichung x y z = 0 symmetrisch allgemein zu lösen. Auflösung: x = α (β1 + γ1) ω1 + α1 (β + γ) ω, y = β (γ1 + α1) ω1 + β1 (γ + α) ω, z = γ (α1 + β1) ω1 + γ1 (α + β) ω. Aufgabe 3. Desgleichen nach x, y, z, w aufzulösen die Gleichung: x y z w = 0. Auflösung: x = α (β1 + γ1 + δ1) ω1 + α1 (β + γ + δ) ω, y = β (α1 + γ1 + δ1) ω1 + β1 (α + γ + δ) ω, z = γ (α1 + β1 + δ1) ω1 + γ1 (α + β + δ) ω, w = δ (α1 + β1 + γ1) ω1 + δ1 (α + β + γ) ω. Und so weiter: das Bildungsgesetz für beliebig viele Faktoren des zum Verschwinden zu bringenden Produktes ist ersichtlich. Beweis. Erstens stimmt bei ganz unbestimmt gelassenen will- kürlichen Gebieten ω, α, β, γ, δ, … für die angegebenen Wurzelwerte die Probe der Auflösung — wie dies leicht nachzurechnen ist. Die Auflösungen sind also jedenfalls richtige. Zweitens sind sie aber auch die allgemeinsten, wie ich für Auf- gabe 3 näher nachweisen will (ganz analog ist es auch für die vor- hergehenden beiden Aufgaben zu leisten, etc.). Ist x, y, z, w irgend ein Wertsystem oder System von gegebenen Gebieten, welche die Anforderung x y z w = 0 erfüllen, so kann man immer unsre Parameter ω, α, β, γ, δ so bestimmen, dass unsre Aus- drücke für die Wurzeln gerade dieses Wertsystem liefern. In der That genügt es, zu diesem Zwecke etwa: ω = 0 und α = x, β = y, γ = z, δ = w selbst zu denken. 32*

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/519
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 499. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/519>, abgerufen am 22.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.