die Gleichung x y z w = 0 schon symmetrisch allgemein gelöst wird, wobei wir nun nicht mehr Parameter, als Unbekannte haben.
Analog auch für die übrigen Aufgaben: es wird z. B. x = a b1, y = a1b die einfachst mögliche symmetrisch allgemeine Lösung der Gleichung x y = 0 sein. Etc.
Zur Auffindung der angegebenen Lösungen kann man heuristisch sich leiten lassen durch die folgende Überlegung.
Soll x y z w = 0 sein, so müssen wir nach Th. 43) Zusatz haben: x = a (y z w)1 = a (y1 + z1 + w1) und ist damit die allgemeine Form gefunden, in welcher x sich durch vier andre Gebiete a, y, z, w aus- drücken lässt; symmetriehalber muss das Analoge in Bezug auf die übrigen Unbekannten der Fall sein, sich also y durch b, x, z, w aus- drücken lassen, etc. Würden wir aber dieses Schema zum Vorbild nehmen, so bekämen wir noch mit einer übergrossen Anzahl von Parametern zu thun (die auch nicht von einander unabhängig bleiben dürften).
Vorteilhafter ist darum die Bemerkung, dass nach bekannten Sätzen -- cf. Th. 38) Zus. und Th. 20) -- eine Gleichung ab = 0 äqui- valent ist (der Subsumtion ab1 und folglich auch) der Gleichung a = a b1 (wie dies, wegen a = a b1 + a b, auch leicht ganz direkt nach- zuweisen). Aus der Gleichung x y z w = 0 erhalten wir also: x = x (y1 + z1 + w1), y = y (z1 + w1 + x1), etc. Ersetzt man hier rechterhand die Symbole x, y, z, w selbst durch un- bestimmt gelassene Parameter a, b, g, d so erhält man jedenfalls sym- metrische Darstellungen für die vier Unbekannten, welche fähig sind jedes gegebene Wertsystem der Wurzeln bei geeigneter Bestimmung der Parameter (nämlich für die Annahme a = x, b = y, etc. der- selben) auch wirklich zu liefern, und ist mit diesen Darstellungen nur die Probe noch zu machen, ob sie auch für alle möglichen Werte dieser Parameter schon die Forderung, dass x y z w = 0 werde, erfüllen -- und siehe da: die Probe stimmt!
Die damit gewonnenen symmetrisch allgemeinen Lösungen: x = a (b1 + g1 + d1), y = b (g1 + d1 + a1), etc. bleiben jedenfalls ebensolche, wenn man sie noch mit einem weitern un- bestimmten Parameter o1 multiplizirt, und aus den Darstellungen gehen dann ebenso berechtigte hervor, indem man sämtliche Parameter mit ihren Negationen vertauscht. Aus den beiden Systemen von Ausdrücken ergeben sich endlich durch additive Vereinigung der entsprechenden neue, an- scheinend die allgemeinsten (in Wahrheit aber nur ebenso allgemeine) die
§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.
die Gleichung x y z w = 0 schon symmetrisch allgemein gelöst wird, wobei wir nun nicht mehr Parameter, als Unbekannte haben.
Analog auch für die übrigen Aufgaben: es wird z. B. x = α β1, y = α1β die einfachst mögliche symmetrisch allgemeine Lösung der Gleichung x y = 0 sein. Etc.
Zur Auffindung der angegebenen Lösungen kann man heuristisch sich leiten lassen durch die folgende Überlegung.
Soll x y z w = 0 sein, so müssen wir nach Th. 43) Zusatz haben: x = α (y z w)1 = α (y1 + z1 + w1) und ist damit die allgemeine Form gefunden, in welcher x sich durch vier andre Gebiete α, y, z, w aus- drücken lässt; symmetriehalber muss das Analoge in Bezug auf die übrigen Unbekannten der Fall sein, sich also y durch β, x, z, w aus- drücken lassen, etc. Würden wir aber dieses Schema zum Vorbild nehmen, so bekämen wir noch mit einer übergrossen Anzahl von Parametern zu thun (die auch nicht von einander unabhängig bleiben dürften).
Vorteilhafter ist darum die Bemerkung, dass nach bekannten Sätzen — cf. Th. 38) Zus. und Th. 20) — eine Gleichung ab = 0 äqui- valent ist (der Subsumtion a ⋹ b1 und folglich auch) der Gleichung a = a b1 (wie dies, wegen a = a b1 + a b, auch leicht ganz direkt nach- zuweisen). Aus der Gleichung x y z w = 0 erhalten wir also: x = x (y1 + z1 + w1), y = y (z1 + w1 + x1), etc. Ersetzt man hier rechterhand die Symbole x, y, z, w selbst durch un- bestimmt gelassene Parameter α, β, γ, δ so erhält man jedenfalls sym- metrische Darstellungen für die vier Unbekannten, welche fähig sind jedes gegebene Wertsystem der Wurzeln bei geeigneter Bestimmung der Parameter (nämlich für die Annahme α = x, β = y, etc. der- selben) auch wirklich zu liefern, und ist mit diesen Darstellungen nur die Probe noch zu machen, ob sie auch für alle möglichen Werte dieser Parameter schon die Forderung, dass x y z w = 0 werde, erfüllen — und siehe da: die Probe stimmt!
Die damit gewonnenen symmetrisch allgemeinen Lösungen: x = α (β1 + γ1 + δ1), y = β (γ1 + δ1 + α1), etc. bleiben jedenfalls ebensolche, wenn man sie noch mit einem weitern un- bestimmten Parameter ω1 multiplizirt, und aus den Darstellungen gehen dann ebenso berechtigte hervor, indem man sämtliche Parameter mit ihren Negationen vertauscht. Aus den beiden Systemen von Ausdrücken ergeben sich endlich durch additive Vereinigung der entsprechenden neue, an- scheinend die allgemeinsten (in Wahrheit aber nur ebenso allgemeine) die
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§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.
die Gleichung x y z w = 0 schon symmetrisch allgemein gelöst wird,
wobei wir nun nicht mehr Parameter, als Unbekannte haben.
Analog auch für die übrigen Aufgaben: es wird z. B.
x = α β1, y = α1 β
die einfachst mögliche symmetrisch allgemeine Lösung der Gleichung
x y = 0 sein. Etc.
Zur Auffindung der angegebenen Lösungen kann man heuristisch
sich leiten lassen durch die folgende Überlegung.
Soll x y z w = 0 sein, so müssen wir nach Th. 43) Zusatz haben:
x = α (y z w)1 = α (y1 + z1 + w1) und ist damit die allgemeine Form
gefunden, in welcher x sich durch vier andre Gebiete α, y, z, w aus-
drücken lässt; symmetriehalber muss das Analoge in Bezug auf die
übrigen Unbekannten der Fall sein, sich also y durch β, x, z, w aus-
drücken lassen, etc. Würden wir aber dieses Schema zum Vorbild
nehmen, so bekämen wir noch mit einer übergrossen Anzahl von
Parametern zu thun (die auch nicht von einander unabhängig bleiben
dürften).
Vorteilhafter ist darum die Bemerkung, dass nach bekannten
Sätzen — cf. Th. 38) Zus. und Th. 20) — eine Gleichung ab = 0 äqui-
valent ist (der Subsumtion a ⋹ b1 und folglich auch) der Gleichung
a = a b1 (wie dies, wegen a = a b1 + a b, auch leicht ganz direkt nach-
zuweisen). Aus der Gleichung x y z w = 0 erhalten wir also:
x = x (y1 + z1 + w1), y = y (z1 + w1 + x1), etc.
Ersetzt man hier rechterhand die Symbole x, y, z, w selbst durch un-
bestimmt gelassene Parameter α, β, γ, δ so erhält man jedenfalls sym-
metrische Darstellungen für die vier Unbekannten, welche fähig sind
jedes gegebene Wertsystem der Wurzeln bei geeigneter Bestimmung
der Parameter (nämlich für die Annahme α = x, β = y, etc. der-
selben) auch wirklich zu liefern, und ist mit diesen Darstellungen nur
die Probe noch zu machen, ob sie auch für alle möglichen Werte
dieser Parameter schon die Forderung, dass x y z w = 0 werde, erfüllen
— und siehe da: die Probe stimmt!
Die damit gewonnenen symmetrisch allgemeinen Lösungen:
x = α (β1 + γ1 + δ1), y = β (γ1 + δ1 + α1), etc.
bleiben jedenfalls ebensolche, wenn man sie noch mit einem weitern un-
bestimmten Parameter ω1 multiplizirt, und aus den Darstellungen gehen
dann ebenso berechtigte hervor, indem man sämtliche Parameter mit ihren
Negationen vertauscht. Aus den beiden Systemen von Ausdrücken ergeben
sich endlich durch additive Vereinigung der entsprechenden neue, an-
scheinend die allgemeinsten (in Wahrheit aber nur ebenso allgemeine) die
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 501. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/521>, abgerufen am 23.05.2024.
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