Den Forderungen der Symmetrie ist also durch unsre Lösungen durchaus Genüge geleistet.
Es ist nunmehr nur noch die Frage zu erledigen, wie etwa die Parameter k, l, o anzunehmen sind, damit unsre Formeln für die Wur- zeln ein gegebenes Wertepaar x, y darstellen, das übrigens die Glei- chung F = 0 erfüllt.
Nach dem Hülfstheorem des Paragraphen -- vergl. auch § 21, o) -- ist es zu dem Ende ausreichend m = x, n = y selbst zu machen, desgleichen o = r selbst zu nehmen, und nach dem in Aufgabe 12 Ermittelten werden die Annahmen k = m n nebst l = m n1 (oder auch m + n1) zum Ziele führen. Darnach werden wir in Gestalt von: k = x y, l = x y1 (oder auch x + y1), o = x y1 + x1y ein System von Annahmen haben, welches in einfacher Weise unsre Formeln für x, y zu solchen macht die sich als blosse Umformungen der Gleichung F = 0 herausstellen, auf Grund von dieser sich iden- tisch bewahrheiten. Die Rechnung bestätigt dies in der That direkt; man wird dazu am besten die konzisesten Ausdrücke von x, y nehmen und auch die aus F = 0 durch Elimination von x oder y sich er- gebenden beiden Relationen b'), g') des § 22 dabei berücksichtigen.
Die vorstehend gelösten Aufgaben liefern begreiflicherweise uns auch ebensoviele Eliminationsprobleme: eliminirt man aus ihren Lösun- gen, resp. den die Wurzeln darstellenden Gleichungen, sämtliche unab- hängigen Parameter (also griechischen Symbole), so kann man sich überzeugen, dass als Resultante hervorgeht die ursprünglich zur Auf- lösung vorgelegt gewesene Gleichung, und zwar gerade nur diese aber keine weitergehende Relation zwischen den Unbekannten (und Koef- fizienten) -- was als eine Kontrole für die Richtigkeit unsrer Be- trachtungen dient.
Dies auch bei Aufgabe 15 durchzuführen, ist leicht, obschon ein wenig mühsam.
Eliminirt man hier erst k und l ohne o, so zeigt sich, dass o diesmal kein Luxus-Parameter ist, wie bei den Aufgaben 1 bis 4, wo es, selbst bei gegebenen x, y, .., noch beliebig spezialisirt, gleich 0 oder 1 z. B. genommen werden konnte. Vielmehr muss diesmal o eine als Resultante der Elimination von k, l sich ergebende Relation erfüllen, welche -- mit Rücksicht auf die Endresultante F = 0 -- in der einfachen Gestalt geschrieben werden kann: (a1 + d1) (x y1 + x1y) o1 + (b1 + c1) (x y + x1y1) o = 0.
Nur insofern die Werte von x, y als erst durch die Gleichung
§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.
Den Forderungen der Symmetrie ist also durch unsre Lösungen durchaus Genüge geleistet.
Es ist nunmehr nur noch die Frage zu erledigen, wie etwa die Parameter ϰ, λ, ω anzunehmen sind, damit unsre Formeln für die Wur- zeln ein gegebenes Wertepaar x, y darstellen, das übrigens die Glei- chung F = 0 erfüllt.
Nach dem Hülfstheorem des Paragraphen — vergl. auch § 21, ω) — ist es zu dem Ende ausreichend μ = x, ν = y selbst zu machen, desgleichen ω = ϱ selbst zu nehmen, und nach dem in Aufgabe 12 Ermittelten werden die Annahmen ϰ = μ ν nebst λ = μ ν1 (oder auch μ + ν1) zum Ziele führen. Darnach werden wir in Gestalt von: ϰ = x y, λ = x y1 (oder auch x + y1), ω = x y1 + x1y ein System von Annahmen haben, welches in einfacher Weise unsre Formeln für x, y zu solchen macht die sich als blosse Umformungen der Gleichung F = 0 herausstellen, auf Grund von dieser sich iden- tisch bewahrheiten. Die Rechnung bestätigt dies in der That direkt; man wird dazu am besten die konzisesten Ausdrücke von x, y nehmen und auch die aus F = 0 durch Elimination von x oder y sich er- gebenden beiden Relationen β'), γ') des § 22 dabei berücksichtigen.
Die vorstehend gelösten Aufgaben liefern begreiflicherweise uns auch ebensoviele Eliminationsprobleme: eliminirt man aus ihren Lösun- gen, resp. den die Wurzeln darstellenden Gleichungen, sämtliche unab- hängigen Parameter (also griechischen Symbole), so kann man sich überzeugen, dass als Resultante hervorgeht die ursprünglich zur Auf- lösung vorgelegt gewesene Gleichung, und zwar gerade nur diese aber keine weitergehende Relation zwischen den Unbekannten (und Koef- fizienten) — was als eine Kontrole für die Richtigkeit unsrer Be- trachtungen dient.
Dies auch bei Aufgabe 15 durchzuführen, ist leicht, obschon ein wenig mühsam.
Eliminirt man hier erst ϰ und λ ohne ω, so zeigt sich, dass ω diesmal kein Luxus-Parameter ist, wie bei den Aufgaben 1 bis 4, wo es, selbst bei gegebenen x, y, ‥, noch beliebig spezialisirt, gleich 0 oder 1 z. B. genommen werden konnte. Vielmehr muss diesmal ω eine als Resultante der Elimination von ϰ, λ sich ergebende Relation erfüllen, welche — mit Rücksicht auf die Endresultante F = 0 — in der einfachen Gestalt geschrieben werden kann: (a1 + d1) (x y1 + x1y) ω1 + (b1 + c1) (x y + x1y1) ω = 0.
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§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.
Den Forderungen der Symmetrie ist also durch unsre Lösungen
durchaus Genüge geleistet.
Es ist nunmehr nur noch die Frage zu erledigen, wie etwa die
Parameter ϰ, λ, ω anzunehmen sind, damit unsre Formeln für die Wur-
zeln ein gegebenes Wertepaar x, y darstellen, das übrigens die Glei-
chung F = 0 erfüllt.
Nach dem Hülfstheorem des Paragraphen — vergl. auch § 21, ω)
— ist es zu dem Ende ausreichend μ = x, ν = y selbst zu machen,
desgleichen ω = ϱ selbst zu nehmen, und nach dem in Aufgabe 12
Ermittelten werden die Annahmen ϰ = μ ν nebst λ = μ ν1 (oder auch
μ + ν1) zum Ziele führen. Darnach werden wir in Gestalt von:
ϰ = x y, λ = x y1 (oder auch x + y1), ω = x y1 + x1 y
ein System von Annahmen haben, welches in einfacher Weise unsre
Formeln für x, y zu solchen macht die sich als blosse Umformungen
der Gleichung F = 0 herausstellen, auf Grund von dieser sich iden-
tisch bewahrheiten. Die Rechnung bestätigt dies in der That direkt;
man wird dazu am besten die konzisesten Ausdrücke von x, y nehmen
und auch die aus F = 0 durch Elimination von x oder y sich er-
gebenden beiden Relationen β'), γ') des § 22 dabei berücksichtigen.
Die vorstehend gelösten Aufgaben liefern begreiflicherweise uns
auch ebensoviele Eliminationsprobleme: eliminirt man aus ihren Lösun-
gen, resp. den die Wurzeln darstellenden Gleichungen, sämtliche unab-
hängigen Parameter (also griechischen Symbole), so kann man sich
überzeugen, dass als Resultante hervorgeht die ursprünglich zur Auf-
lösung vorgelegt gewesene Gleichung, und zwar gerade nur diese aber
keine weitergehende Relation zwischen den Unbekannten (und Koef-
fizienten) — was als eine Kontrole für die Richtigkeit unsrer Be-
trachtungen dient.
Dies auch bei Aufgabe 15 durchzuführen, ist leicht, obschon ein
wenig mühsam.
Eliminirt man hier erst ϰ und λ ohne ω, so zeigt sich, dass ω
diesmal kein Luxus-Parameter ist, wie bei den Aufgaben 1 bis 4, wo
es, selbst bei gegebenen x, y, ‥, noch beliebig spezialisirt, gleich 0
oder 1 z. B. genommen werden konnte. Vielmehr muss diesmal ω
eine als Resultante der Elimination von ϰ, λ sich ergebende Relation
erfüllen, welche — mit Rücksicht auf die Endresultante F = 0 — in
der einfachen Gestalt geschrieben werden kann:
(a1 + d1) (x y1 + x1 y) ω1 + (b1 + c1) (x y + x1 y1) ω = 0.
Nur insofern die Werte von x, y als erst durch die Gleichung
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 519. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/539>, abgerufen am 21.11.2024.
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