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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Dreizehnte Vorlesung.

also
a b1 c d1 + a b1 (c1 d + c1 d1 + c d) + c d1 (a1 b + a1 b1 + a b) = 0.
[Hätte man statt dessen jedes ihrer beiden Glieder mit der Entwickelung
von 1 nach den beiden andern im betreffenden Glied nicht vorkommenden
Symbolen gemäss Th. 34+) multiplizirt, so wäre der Term a b1 c d1 unnötig
zweimal angesetzt worden.] Versammelt man nun hieraus diejenigen
Glieder, deren Verschwinden durch die Prämisse nicht ohnehin garantirt
ist, so bemerkt man dass es die folgenden dreie sind: a b1 c d1, a b1 c1 d1 und
a1 b c d1. Darnach ist b1 d1 (a c + a c1 + a1 c) = 0 oder b1 d1 (a + c) = 0,
das heisst:
a + c b + d
die notwendige Bedingung dafür, dass ein Wert von a : : b nur überhaupt
mit einem solchen von c : : d übereinstimmen könne. Da schon diese
Bedingung im allgemeinen nicht erfüllt ist, und, wie erkannt, ganz und
gar nicht in der Voraussetzung liegt, so wird die gestellte Frage für jeg-
liche Auffassung derselben zu verneinen sein.

Nehmen wir nun aber ausser der Prämisse a d = b c auch noch diese
Forderung a + c b + d als erfüllt an, so ist uns nicht nur letztere,
sondern sind auch die Valenzbedingungen a b und c d selbst ge-
sichert, und ausser diesen stipulirt die Prämisse nur noch, dass
b d (a c1 + a1 c) = 0 oder b d (a + c) a c
sei. Die so erweiterte Prämisse läuft also auf die drei Voraussetzungen:
a b, c d, (a + c) b d a c
hinaus, deren vereinigte Gleichung das Verschwinden von neunen jener sech-
zehn Konstituenten festsetzt -- die im bisherigen sich auch angegeben finden.

Unter dieser Annahme können wir nun weiter fragen, ob, oder unter
welchen ferneren Bedingungen auch jeder Wert von a : : b mit jedem Werte
von c : : d übereinstimmen wird?

Dies ist nur möglich, wenn diese beiden Ausdrücke eindeutig ausfallen,
nämlich selbst nicht schon mehrere unter sich verschiedene Werte umfassen.

Für den Generalwert des Quotienten von a und b hatten wir in § 23,
e) den Ausdruck:
a : : b = a u1 + (a + b1) u
und soll dieser von u unabhängig ausfallen, so muss für beliebige u, v sein:
a u1 + (a + b1) u = a v1 + (a + b1) v,
was rechts auf 0 gebracht: a1 b1 (u v1 + u1 v) = 0 gibt und für jedes Worte-
paar u, v nur bestehen kann, wenn selber a1 b1 = 0 ist -- vergl. unten
Studie 21. Da nun ohnehin a b1 = 0 nach der Valenzbedingung war, so
haben wir alsdann a b1 + a1 b1 = 0 oder b1 = 0, d. h. b = 1 und wird
a : : b = a : : 1 = a sein müssen. Analog d = 1 und c : : d = c.

Die obige Frage wird demnach sich nur bejahen lassen, wenn
a = c und b = d = 1
ist; mithin war hier Herrn Venn's Entscheidung, bei welcher b = d noch
unbestimmt blieb, nicht ausreichend.

Dreizehnte Vorlesung.

also
a b1 c d1 + a b1 (c1 d + c1 d1 + c d) + c d1 (a1 b + a1 b1 + a b) = 0.
[Hätte man statt dessen jedes ihrer beiden Glieder mit der Entwickelung
von 1 nach den beiden andern im betreffenden Glied nicht vorkommenden
Symbolen gemäss Th. 34+) multiplizirt, so wäre der Term a b1 c d1 unnötig
zweimal angesetzt worden.] Versammelt man nun hieraus diejenigen
Glieder, deren Verschwinden durch die Prämisse nicht ohnehin garantirt
ist, so bemerkt man dass es die folgenden dreie sind: a b1 c d1, a b1 c1 d1 und
a1 b c d1. Darnach ist b1 d1 (a c + a c1 + a1 c) = 0 oder b1 d1 (a + c) = 0,
das heisst:
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die notwendige Bedingung dafür, dass ein Wert von a : : b nur überhaupt
mit einem solchen von c : : d übereinstimmen könne. Da schon diese
Bedingung im allgemeinen nicht erfüllt ist, und, wie erkannt, ganz und
gar nicht in der Voraussetzung liegt, so wird die gestellte Frage für jeg-
liche Auffassung derselben zu verneinen sein.

Nehmen wir nun aber ausser der Prämisse a d = b c auch noch diese
Forderung a + c ⋹ b + d als erfüllt an, so ist uns nicht nur letztere,
sondern sind auch die Valenzbedingungen a ⋹ b und c ⋹ d selbst ge-
sichert, und ausser diesen stipulirt die Prämisse nur noch, dass
b d (a c1 + a1 c) = 0 oder b d (a + c) ⋹ a c
sei. Die so erweiterte Prämisse läuft also auf die drei Voraussetzungen:
a ⋹ b, c ⋹ d, (a + c) b d ⋹ a c
hinaus, deren vereinigte Gleichung das Verschwinden von neunen jener sech-
zehn Konstituenten festsetzt — die im bisherigen sich auch angegeben finden.

Unter dieser Annahme können wir nun weiter fragen, ob, oder unter
welchen ferneren Bedingungen auch jeder Wert von a : : b mit jedem Werte
von c : : d übereinstimmen wird?

Dies ist nur möglich, wenn diese beiden Ausdrücke eindeutig ausfallen,
nämlich selbst nicht schon mehrere unter sich verschiedene Werte umfassen.

Für den Generalwert des Quotienten von a und b hatten wir in § 23,
η) den Ausdruck:
a : : b = a u1 + (a + b1) u
und soll dieser von u unabhängig ausfallen, so muss für beliebige u, v sein:
a u1 + (a + b1) u = a v1 + (a + b1) v,
was rechts auf 0 gebracht: a1 b1 (u v1 + u1 v) = 0 gibt und für jedes Worte-
paar u, v nur bestehen kann, wenn selber a1 b1 = 0 ist — vergl. unten
Studie 21. Da nun ohnehin a b1 = 0 nach der Valenzbedingung war, so
haben wir alsdann a b1 + a1 b1 = 0 oder b1 = 0, d. h. b = 1 und wird
a : : b = a : : 1 = a sein müssen. Analog d = 1 und c : : d = c.

Die obige Frage wird demnach sich nur bejahen lassen, wenn
a = c und b = d = 1
ist; mithin war hier Herrn Venn's Entscheidung, bei welcher b = d noch
unbestimmt blieb, nicht ausreichend.

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[534/0554] Dreizehnte Vorlesung. also a b1 c d1 + a b1 (c1 d + c1 d1 + c d) + c d1 (a1 b + a1 b1 + a b) = 0. [Hätte man statt dessen jedes ihrer beiden Glieder mit der Entwickelung von 1 nach den beiden andern im betreffenden Glied nicht vorkommenden Symbolen gemäss Th. 34+) multiplizirt, so wäre der Term a b1 c d1 unnötig zweimal angesetzt worden.] Versammelt man nun hieraus diejenigen Glieder, deren Verschwinden durch die Prämisse nicht ohnehin garantirt ist, so bemerkt man dass es die folgenden dreie sind: a b1 c d1, a b1 c1 d1 und a1 b c d1. Darnach ist b1 d1 (a c + a c1 + a1 c) = 0 oder b1 d1 (a + c) = 0, das heisst: a + c ⋹ b + d die notwendige Bedingung dafür, dass ein Wert von a : : b nur überhaupt mit einem solchen von c : : d übereinstimmen könne. Da schon diese Bedingung im allgemeinen nicht erfüllt ist, und, wie erkannt, ganz und gar nicht in der Voraussetzung liegt, so wird die gestellte Frage für jeg- liche Auffassung derselben zu verneinen sein. Nehmen wir nun aber ausser der Prämisse a d = b c auch noch diese Forderung a + c ⋹ b + d als erfüllt an, so ist uns nicht nur letztere, sondern sind auch die Valenzbedingungen a ⋹ b und c ⋹ d selbst ge- sichert, und ausser diesen stipulirt die Prämisse nur noch, dass b d (a c1 + a1 c) = 0 oder b d (a + c) ⋹ a c sei. Die so erweiterte Prämisse läuft also auf die drei Voraussetzungen: a ⋹ b, c ⋹ d, (a + c) b d ⋹ a c hinaus, deren vereinigte Gleichung das Verschwinden von neunen jener sech- zehn Konstituenten festsetzt — die im bisherigen sich auch angegeben finden. Unter dieser Annahme können wir nun weiter fragen, ob, oder unter welchen ferneren Bedingungen auch jeder Wert von a : : b mit jedem Werte von c : : d übereinstimmen wird? Dies ist nur möglich, wenn diese beiden Ausdrücke eindeutig ausfallen, nämlich selbst nicht schon mehrere unter sich verschiedene Werte umfassen. Für den Generalwert des Quotienten von a und b hatten wir in § 23, η) den Ausdruck: a : : b = a u1 + (a + b1) u und soll dieser von u unabhängig ausfallen, so muss für beliebige u, v sein: a u1 + (a + b1) u = a v1 + (a + b1) v, was rechts auf 0 gebracht: a1 b1 (u v1 + u1 v) = 0 gibt und für jedes Worte- paar u, v nur bestehen kann, wenn selber a1 b1 = 0 ist — vergl. unten Studie 21. Da nun ohnehin a b1 = 0 nach der Valenzbedingung war, so haben wir alsdann a b1 + a1 b1 = 0 oder b1 = 0, d. h. b = 1 und wird a : : b = a : : 1 = a sein müssen. Analog d = 1 und c : : d = c. Die obige Frage wird demnach sich nur bejahen lassen, wenn a = c und b = d = 1 ist; mithin war hier Herrn Venn's Entscheidung, bei welcher b = d noch unbestimmt blieb, nicht ausreichend.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 534. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/554>, abgerufen am 22.11.2024.

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