Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben. {(a + c) a1 g1 + a1 c1 (a + g)} x + {(b + c) b1 g1 + b1 c1 (b + g)} x1 = 0,woraus die Resultante folgt: (a b + c) a1 b1 g1 + (a b1 a1 b + a1 b a b1) c1 g1 + a1 b1 c1 (a b + g) = 0 und die Auflösung: x = {(b + c) b1 g1 + b1 c1 (b + g)} + u (a + c + a1 g1) (a1 c1 + a + g) oder: (b + c) b1 g1 + b1 c1 (b + g) x (a + c) (a + g) + a1 c1 a1 g1. 20. Aufgabe. Die Gleichung b = x a + y a1 nach x und y auf- Auflösung. Rechts auf 0 gebracht lautet die Gleichung: 21. Studie. Soll es mindestens einen Wert von x geben, für § 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben. {(a + c) α1 γ1 + a1 c1 (α + γ)} x + {(b + c) β1 γ1 + b1 c1 (β + γ)} x1 = 0,woraus die Resultante folgt: (a b + c) α1 β1 γ1 + (a b1 α1 β + a1 b α β1) c1 γ1 + a1 b1 c1 (α β + γ) = 0 und die Auflösung: x = {(b + c) β1 γ1 + b1 c1 (β + γ)} + u (a + c + α1 γ1) (a1 c1 + α + γ) oder: (b + c) β1 γ1 + b1 c1 (β + γ) ⋹ x ⋹ (a + c) (α + γ) + a1 c1 α1 γ1. 20. Aufgabe. Die Gleichung b = x a + y a1 nach x und y auf- Auflösung. Rechts auf 0 gebracht lautet die Gleichung: 21. Studie. Soll es mindestens einen Wert von x geben, für <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0563" n="543"/><fw place="top" type="header">§ 25. 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§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
{(a + c) α1 γ1 + a1 c1 (α + γ)} x + {(b + c) β1 γ1 + b1 c1 (β + γ)} x1 = 0,
woraus die Resultante folgt:
(a b + c) α1 β1 γ1 + (a b1 α1 β + a1 b α β1) c1 γ1 + a1 b1 c1 (α β + γ) = 0
und die Auflösung:
x = {(b + c) β1 γ1 + b1 c1 (β + γ)} + u (a + c + α1 γ1) (a1 c1 + α + γ)
oder:
(b + c) β1 γ1 + b1 c1 (β + γ) ⋹ x ⋹ (a + c) (α + γ) + a1 c1 α1 γ1.
20. Aufgabe. Die Gleichung b = x a + y a1 nach x und y auf-
zulösen.
Auflösung. Rechts auf 0 gebracht lautet die Gleichung:
a (b1 x + b x1) + a1 (b1 y + b y1) = 0.
Der erste Term, gleich 0 gesetzt, ist die Resultante der Elimination
von y, ebenso der zweite, gleich 0 gesetzt, die Resultante der Elimi-
nation von x. Da Elimination beider Unbekannten auf die Identität
0 = 0 führt, so braucht zwischen a und b keinerlei Relation zu be-
stehen; vielmehr können diese beiden Gebiete völlig nach Belieben
angenommen werden. Auflösung der ersten Resultante nach x, und
der letztern nach y, gibt endlich:
x = a b + u (a1 + b) = a b + u (a1 + a b) = a b + u a1,
y = a1 b + v (a + b) = a1 b + v (a + a1 b) = a1 b + v a,
für willkürliche u, v. In der That stimmt die Probe:
b = (a b + u a1) a + (a1 b + v a) a1,
und ist damit, wenn man nur noch die Namen a, b durch x, y ersetzt,
die Formel des Th. 42) systematisch aufgefunden.
21. Studie. Soll es mindestens einen Wert von x geben, für
welchen die Gleichung besteht:
a x + b x1 = 0,
so — haben wir gesehen — muss a b = 0 sein. Welche Relation aber
die Koeffizienten a, b erfüllen müssen, wenn die Gleichung für jeden
Wert von x Geltung haben soll, ist auch nicht schwer zu sehen.
Dieselbe lautet: a = b = 0,
d. h. die Koeffizienten müssen dann beide schon einzeln gleich 0 sein.
Insbesondre muss nämlich alsdann die Gleichung auch für x = 1, so-
wie für x = 0, gelten, was als notwendig zu erfüllende Bedingung
a = 0 nebst b = 0 liefert, und das genügt auch, um die Gleichung zu
einer allgemein geltenden Formel zu machen.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 543. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/563>, abgerufen am 18.02.2025. |