zu unsern Prämissen hinzu, so -- aber erst dann -- erweist sich (leicht) die völlige Übereinstimmung der beiderseitigen Ergebnisse.
Indem bei Boole sogar x + x = 2x, etc. gilt, so treten überhaupt, wie vorstehend, bei seinem Verfahren in den Gliedern des Resultates oft Zahlenfaktoren, wie
[Formel 1]
,
[Formel 2]
, etc. als Koeffizienten auf, die er schliess- lich als belanglose, nicht interpretable, über Bord wirft, die Konstituenten, mit denen sie behaftet erscheinen, gleich 0 setzend.
Ähnlich mag endlich zur Vergleichung herangezogen werden eine von den zahlreichen Aufgaben, die Boole knüpft an Senior's Defi- nition von "wealth" (wörtlich des Reichtums, genauer wol dem volks- wirtschaftlichen Begriffe des "Gutes" entsprechend). Prämisse ist: w = s t (p + r), wo w = Gut, s = Dinge, die nur in begrenztem Vorrat verfügbar (limi- ted in supply), t = übertragbar (transferable), p = Genuss verschaffend (productive of pleasure) und r = Leid vorbeugend (preventive of pain) bedeutet. Cf. 4 p. 106, sq.
Verlangt ist ein Ausdruck für w ohne Rücksicht auf r.
Wir würden systematisch aus der Gleichung: w1s t (p + r) + w (s1 + t1 + p1r1) = 0 erst r eliminiren, die Resultante: w1s t p + w (s1 + t1) = 0 sodann nach w auflösen und finden: w = s t (p + u) oder s t pws t -- ein Ergebniss, das aber hier schon unmittelbar zu gewinnen war, indem man den Namen r des Eliminanden durch den u einer unbestimmten Klasse ersetzte!
Boole hingegen, welcher natürlich die Prämisse, da p und r sich gegenseitig nicht ausschliessen, in der Form ansetzen muss: w = s t (p + r p1) operirt, p1 durch 1 -- p ersetzend, wie folgt. Er schreibt die Gleichung: w -- s t (p + r -- r p) = 0, bemerkt, dass das Polynom derselben für r = 1 in w -- s t und für r = 0 in w -- s t p übergeht, mithin (w -- s t) (w -- s t p) = 0 die Resultante der Elimination von r ist. Ausmultiplizirt gibt dies (wegen w w = w, etc.) eine Gleichung: w -- w s t p -- w s t + s t p = 0 aus der sich:
[Formel 3]
§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
zu unsern Prämissen hinzu, so — aber erst dann — erweist sich (leicht) die völlige Übereinstimmung der beiderseitigen Ergebnisse.
Indem bei Boole sogar x + x = 2x, etc. gilt, so treten überhaupt, wie vorstehend, bei seinem Verfahren in den Gliedern des Resultates oft Zahlenfaktoren, wie
[Formel 1]
,
[Formel 2]
, etc. als Koeffizienten auf, die er schliess- lich als belanglose, nicht interpretable, über Bord wirft, die Konstituenten, mit denen sie behaftet erscheinen, gleich 0 setzend.
Ähnlich mag endlich zur Vergleichung herangezogen werden eine von den zahlreichen Aufgaben, die Boole knüpft an Senior's Defi- nition von „wealth“ (wörtlich des Reichtums, genauer wol dem volks- wirtschaftlichen Begriffe des „Gutes“ entsprechend). Prämisse ist: w = s t (p + r), wo w = Gut, s = Dinge, die nur in begrenztem Vorrat verfügbar (limi- ted in supply), t = übertragbar (transferable), p = Genuss verschaffend (productive of pleasure) und r = Leid vorbeugend (preventive of pain) bedeutet. Cf. 4 p. 106, sq.
Verlangt ist ein Ausdruck für w ohne Rücksicht auf r.
Wir würden systematisch aus der Gleichung: w1s t (p + r) + w (s1 + t1 + p1r1) = 0 erst r eliminiren, die Resultante: w1s t p + w (s1 + t1) = 0 sodann nach w auflösen und finden: w = s t (p + u) oder s t p ⋹ w ⋹ s t — ein Ergebniss, das aber hier schon unmittelbar zu gewinnen war, indem man den Namen r des Eliminanden durch den u einer unbestimmten Klasse ersetzte!
Boole hingegen, welcher natürlich die Prämisse, da p und r sich gegenseitig nicht ausschliessen, in der Form ansetzen muss: w = s t (p + r p1) operirt, p1 durch 1 — p ersetzend, wie folgt. Er schreibt die Gleichung: w — s t (p + r — r p) = 0, bemerkt, dass das Polynom derselben für r = 1 in w — s t und für r = 0 in w — s t p übergeht, mithin (w — s t) (w — s t p) = 0 die Resultante der Elimination von r ist. Ausmultiplizirt gibt dies (wegen w w = w, etc.) eine Gleichung: w — w s t p — w s t + s t p = 0 aus der sich:
[Formel 3]
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[557/0577]
§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
zu unsern Prämissen hinzu, so — aber erst dann — erweist sich (leicht)
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Indem bei Boole sogar x + x = 2x, etc. gilt, so treten überhaupt,
wie vorstehend, bei seinem Verfahren in den Gliedern des Resultates oft
Zahlenfaktoren, wie [FORMEL], [FORMEL], etc. als Koeffizienten auf, die er schliess-
lich als belanglose, nicht interpretable, über Bord wirft, die Konstituenten,
mit denen sie behaftet erscheinen, gleich 0 setzend.
Ähnlich mag endlich zur Vergleichung herangezogen werden eine
von den zahlreichen Aufgaben, die Boole knüpft an Senior's Defi-
nition von „wealth“ (wörtlich des Reichtums, genauer wol dem volks-
wirtschaftlichen Begriffe des „Gutes“ entsprechend). Prämisse ist:
w = s t (p + r),
wo w = Gut, s = Dinge, die nur in begrenztem Vorrat verfügbar (limi-
ted in supply), t = übertragbar (transferable), p = Genuss verschaffend
(productive of pleasure) und r = Leid vorbeugend (preventive of pain)
bedeutet. Cf. 4 p. 106, sq.
Verlangt ist ein Ausdruck für w ohne Rücksicht auf r.
Wir würden systematisch aus der Gleichung:
w1 s t (p + r) + w (s1 + t1 + p1 r1) = 0
erst r eliminiren, die Resultante: w1 s t p + w (s1 + t1) = 0 sodann nach w
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— ein Ergebniss, das aber hier schon unmittelbar zu gewinnen war, indem
man den Namen r des Eliminanden durch den u einer unbestimmten Klasse
ersetzte!
Boole hingegen, welcher natürlich die Prämisse, da p und r sich
gegenseitig nicht ausschliessen, in der Form ansetzen muss:
w = s t (p + r p1)
operirt, p1 durch 1 — p ersetzend, wie folgt. Er schreibt die Gleichung:
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aus der sich:
[FORMEL]
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 557. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/577>, abgerufen am 24.11.2024.
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