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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 26. Besprechung noch andrer Methoden. Verfahren von Jevons.
Problem zu verwenden gewesenen Buchstaben entweder unnegirt als sol-
cher steht oder aber durch seine Negation vertreten ist.

Um beispielsweise die 7. Aufgabe des § 25 nach Jevons' Methode
zu behandeln, würde schon der Ansatz von 27 = 128 Kombinationen (welche
je aus sieben Symbolen sich zusammensetzen) erforderlich sein. Man wird
sich schwerlich dazu verstehen, für n > 6 die Operationen noch praktisch
durchzuführen.

In dieser mit wachsender Zahl n so rasch zunehmenden Weitläufigkeit
der Prozesse liegt eine erste und grosse Schwäche der Methode.

Behufs Ausführung des zweiten von der Methode geforderten Pro-
zesses muss man eine jede der angesetzten Kombinationen im Geiste
zusammenhalten oder vergleichen sowol mit der linken Seite, dem
Subjekte, als eventuell mit der rechten Seite, dem Prädikate einer
jeden in Form einer Subsumtion gegeben gedachten Prämisse des
Problemes. Man muss ja zusehen ob die Kombination mit der Prä-
misse verträglich ist, oder nicht, um -- im letztern Falle -- die Kom-
bination auszustreichen. Dieses geht genauer dargelegt in folgender
Weise vor sich.

Beide Seiten der Prämisse mögen wir als Aggregate von Mono-
men uns dargestellt denken, sodass
S + S' + .. P + P' + P'' + ...
die Form unsrer Prämisse ist, wo die Glieder S, S', .. P, .. selbst Pro-
dukte sein werden von höchstens n Symbolen (in der Regel weniger),
hervorgehoben aus der Gruppe der überhaupt im Problem vorkommen-
den (n) Klassensymbole a, b, c, ... und ihrer (n) Negationen a1, b1, c1, ...

Man hat sich nun zu erinnern, dass nach § 8, kh) die Pluszeichen
der Subsumtion links, im Subjekte, mit "und", rechts, im Prädikate
aber mit "oder" in Worte zu übersetzen sind, mithin die Prämisse
fordert, dass wo die in S vereinigte Faktorenkombination vorliegt, so-
wol, als auch wo die in S' vereinigte vorliegt, etc. da auch vorliegen
muss entweder die in P oder die in P', oder die in P'', etc. vereinigt
erscheinende Kombination von Faktoren.

In Bezug auf die mit dieser Prämisse zu vergleichende Kombi-
nation (aus der Menge der 2n angesetzten) -- K möge sie für den
Augenblick heissen -- können nun verschiedene Fälle vorliegen.

Entweder sie ist -- nach Th. 6x) oder Prinzip I -- einem der
Subjekte S, S', .. (eventuell auch gleichzeitig deren mehreren) einge-
ordnet, d. h. die sämtlichen Faktoren, aus denen sich eins dieser Sub-
jekte zusammensetzt, treten auch als Faktoren in K auf, oder nicht.

Im letztern Falle treffen schon die Voraussetzungen der Prämisse
für unsere Kombination K nicht zu, die Prämisse berührt die Kom-

Schröder, Algebra der Logik. 36

§ 26. Besprechung noch andrer Methoden. Verfahren von Jevons.
Problem zu verwenden gewesenen Buchstaben entweder unnegirt als sol-
cher steht oder aber durch seine Negation vertreten ist.

Um beispielsweise die 7. Aufgabe des § 25 nach Jevons' Methode
zu behandeln, würde schon der Ansatz von 27 = 128 Kombinationen (welche
je aus sieben Symbolen sich zusammensetzen) erforderlich sein. Man wird
sich schwerlich dazu verstehen, für n > 6 die Operationen noch praktisch
durchzuführen.

In dieser mit wachsender Zahl n so rasch zunehmenden Weitläufigkeit
der Prozesse liegt eine erste und grosse Schwäche der Methode.

Behufs Ausführung des zweiten von der Methode geforderten Pro-
zesses muss man eine jede der angesetzten Kombinationen im Geiste
zusammenhalten oder vergleichen sowol mit der linken Seite, dem
Subjekte, als eventuell mit der rechten Seite, dem Prädikate einer
jeden in Form einer Subsumtion gegeben gedachten Prämisse des
Problemes. Man muss ja zusehen ob die Kombination mit der Prä-
misse verträglich ist, oder nicht, um — im letztern Falle — die Kom-
bination auszustreichen. Dieses geht genauer dargelegt in folgender
Weise vor sich.

Beide Seiten der Prämisse mögen wir als Aggregate von Mono-
men uns dargestellt denken, sodass
S + S' + ‥ ⋹ P + P' + P'' + …
die Form unsrer Prämisse ist, wo die Glieder S, S', ‥ P, ‥ selbst Pro-
dukte sein werden von höchstens n Symbolen (in der Regel weniger),
hervorgehoben aus der Gruppe der überhaupt im Problem vorkommen-
den (n) Klassensymbole a, b, c, … und ihrer (n) Negationen a1, b1, c1, …

Man hat sich nun zu erinnern, dass nach § 8, χ) die Pluszeichen
der Subsumtion links, im Subjekte, mit „und“, rechts, im Prädikate
aber mit „oder“ in Worte zu übersetzen sind, mithin die Prämisse
fordert, dass wo die in S vereinigte Faktorenkombination vorliegt, so-
wol, als auch wo die in S' vereinigte vorliegt, etc. da auch vorliegen
muss entweder die in P oder die in P', oder die in P'', etc. vereinigt
erscheinende Kombination von Faktoren.

In Bezug auf die mit dieser Prämisse zu vergleichende Kombi-
nation (aus der Menge der 2n angesetzten) — K möge sie für den
Augenblick heissen — können nun verschiedene Fälle vorliegen.

Entweder sie ist — nach Th. 6×) oder Prinzip I — einem der
Subjekte S, S', ‥ (eventuell auch gleichzeitig deren mehreren) einge-
ordnet, d. h. die sämtlichen Faktoren, aus denen sich eins dieser Sub-
jekte zusammensetzt, treten auch als Faktoren in K auf, oder nicht.

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für unsere Kombination K nicht zu, die Prämisse berührt die Kom-

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[561/0581] § 26. Besprechung noch andrer Methoden. Verfahren von Jevons. Problem zu verwenden gewesenen Buchstaben entweder unnegirt als sol- cher steht oder aber durch seine Negation vertreten ist. Um beispielsweise die 7. Aufgabe des § 25 nach Jevons' Methode zu behandeln, würde schon der Ansatz von 27 = 128 Kombinationen (welche je aus sieben Symbolen sich zusammensetzen) erforderlich sein. Man wird sich schwerlich dazu verstehen, für n > 6 die Operationen noch praktisch durchzuführen. In dieser mit wachsender Zahl n so rasch zunehmenden Weitläufigkeit der Prozesse liegt eine erste und grosse Schwäche der Methode. Behufs Ausführung des zweiten von der Methode geforderten Pro- zesses muss man eine jede der angesetzten Kombinationen im Geiste zusammenhalten oder vergleichen sowol mit der linken Seite, dem Subjekte, als eventuell mit der rechten Seite, dem Prädikate einer jeden in Form einer Subsumtion gegeben gedachten Prämisse des Problemes. Man muss ja zusehen ob die Kombination mit der Prä- misse verträglich ist, oder nicht, um — im letztern Falle — die Kom- bination auszustreichen. Dieses geht genauer dargelegt in folgender Weise vor sich. Beide Seiten der Prämisse mögen wir als Aggregate von Mono- men uns dargestellt denken, sodass S + S' + ‥ ⋹ P + P' + P'' + … die Form unsrer Prämisse ist, wo die Glieder S, S', ‥ P, ‥ selbst Pro- dukte sein werden von höchstens n Symbolen (in der Regel weniger), hervorgehoben aus der Gruppe der überhaupt im Problem vorkommen- den (n) Klassensymbole a, b, c, … und ihrer (n) Negationen a1, b1, c1, … Man hat sich nun zu erinnern, dass nach § 8, χ) die Pluszeichen der Subsumtion links, im Subjekte, mit „und“, rechts, im Prädikate aber mit „oder“ in Worte zu übersetzen sind, mithin die Prämisse fordert, dass wo die in S vereinigte Faktorenkombination vorliegt, so- wol, als auch wo die in S' vereinigte vorliegt, etc. da auch vorliegen muss entweder die in P oder die in P', oder die in P'', etc. vereinigt erscheinende Kombination von Faktoren. In Bezug auf die mit dieser Prämisse zu vergleichende Kombi- nation (aus der Menge der 2n angesetzten) — K möge sie für den Augenblick heissen — können nun verschiedene Fälle vorliegen. Entweder sie ist — nach Th. 6×) oder Prinzip I — einem der Subjekte S, S', ‥ (eventuell auch gleichzeitig deren mehreren) einge- ordnet, d. h. die sämtlichen Faktoren, aus denen sich eins dieser Sub- jekte zusammensetzt, treten auch als Faktoren in K auf, oder nicht. Im letztern Falle treffen schon die Voraussetzungen der Prämisse für unsere Kombination K nicht zu, die Prämisse berührt die Kom- Schröder, Algebra der Logik. 36

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 561. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/581>, abgerufen am 24.11.2024.