das die Bedingungen a) zutreffen, auch die Subsumtion b1) besteht, dann ist in Gestalt von c = x1 bereits ein die Forderungen der Def. (5) erfüllender Wert des c gefunden.
Gilt er diese Umkehrung nicht, so gibt es mindestens ein x -- ein solches heisse x'' -- derart, dass die Voraussetzung a) zutrifft, d. h. dass wir haben:
x'' a, x'' b
ax'', bx''
ohne dass doch für dieses x auch b1) erfüllt wäre, d. h. ohne dass wir hätten:
x'' x'
x' x''.
In diesem Falle kann nach Def.
(3+) aus x1a und x'' a
(3x) aus ax1 und ax''
gefolgert werden, dass
x1 + x'' a
ax1x''
sein muss, und analog ergibt sich, dass zugleich auch ist:
x1 + x'' b
bx1x''.
Nennen wir aber
x1 + x'' = x2
x1x'' = x2,
so ist dieses Gebiet x2 jetzt ein solches, für welches x'' bei jener Um- kehrung keine Ausnahme mehr bildet, desgleichen, nach wie vor, auch x1 keine. Wir haben nämlich nach Th.
6+) x1x1 + x'', also x1x2
6x) x1x'', x1, also x2 = x1
desgleichen:
x'' x2
x2x''.
Dieses x2 ist jetzt der den Forderungen unsrer Def. (5) genügende Wert des c selber, es ist: c = x2, wenn es jetzt überhaupt kein x mehr gibt, welches den Voraussetzungen a) genügte, ohne mit x2 die Beziehungen einzugehen: b2)
xx2
x2x.
Gibt es aber noch solche x, welche sich dem x2 -- will ich kurz sagen -- "nicht fügen", d. h. für welche zwar die Voraussetzungen a) aber nicht die Subsumtion b) erfüllt ist, so kann man ebenso weiter schliessen.
Es sei dann x''' irgend eines derselben; so haben wir:
x''' a, x''' b
ax''', bx'''
aber doch nicht
x''' x2
x2x'''.
Anhang 1.
das die Bedingungen α) zutreffen, auch die Subsumtion β1) besteht, dann ist in Gestalt von c = x1 bereits ein die Forderungen der Def. (5) erfüllender Wert des c gefunden.
Gilt er diese Umkehrung nicht, so gibt es mindestens ein x — ein solches heisse x'' — derart, dass die Voraussetzung α) zutrifft, d. h. dass wir haben:
x'' ⋹ a, x'' ⋹ b
a ⋹ x'', b ⋹ x''
ohne dass doch für dieses x auch β1) erfüllt wäre, d. h. ohne dass wir hätten:
x'' ⋹ x'
x' ⋹ x''.
In diesem Falle kann nach Def.
(3+) aus x1 ⋹ a und x'' ⋹ a
(3×) aus a ⋹ x1 und a ⋹ x''
gefolgert werden, dass
x1 + x'' ⋹ a
a ⋹ x1x''
sein muss, und analog ergibt sich, dass zugleich auch ist:
x1 + x'' ⋹ b
b ⋹ x1x''.
Nennen wir aber
x1 + x'' = x2
x1x'' = x2,
so ist dieses Gebiet x2 jetzt ein solches, für welches x'' bei jener Um- kehrung keine Ausnahme mehr bildet, desgleichen, nach wie vor, auch x1 keine. Wir haben nämlich nach Th.
6+) x1 ⋹ x1 + x'', also x1 ⋹ x2
6×) x1x'', ⋹ x1, also x2 = x1
desgleichen:
x'' ⋹ x2
x2 ⋹ x''.
Dieses x2 ist jetzt der den Forderungen unsrer Def. (5) genügende Wert des c selber, es ist: c = x2, wenn es jetzt überhaupt kein x mehr gibt, welches den Voraussetzungen α) genügte, ohne mit x2 die Beziehungen einzugehen: β2)
x ⋹ x2
x2 ⋹ x.
Gibt es aber noch solche x, welche sich dem x2 — will ich kurz sagen — „nicht fügen“, d. h. für welche zwar die Voraussetzungen α) aber nicht die Subsumtion β) erfüllt ist, so kann man ebenso weiter schliessen.
Es sei dann x''' irgend eines derselben; so haben wir:
x''' ⋹ a, x''' ⋹ b
a ⋹ x''', b ⋹ x'''
aber doch nicht
x''' ⋹ x2
x2 ⋹ x'''.
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[596/0616]
Anhang 1.
das die Bedingungen α) zutreffen, auch die Subsumtion β1) besteht, dann
ist in Gestalt von
c = x1
bereits ein die Forderungen der Def. (5) erfüllender Wert des c gefunden.
Gilt er diese Umkehrung nicht, so gibt es mindestens ein x — ein
solches heisse x'' — derart, dass die Voraussetzung α) zutrifft, d. h. dass
wir haben:
x'' ⋹ a, x'' ⋹ b a ⋹ x'', b ⋹ x''
ohne dass doch für dieses x auch β1) erfüllt wäre, d. h. ohne dass wir
hätten:
x'' ⋹ x' x' ⋹ x''.
In diesem Falle kann nach Def.
(3+) aus x1 ⋹ a und x'' ⋹ a (3×) aus a ⋹ x1 und a ⋹ x''
gefolgert werden, dass
x1 + x'' ⋹ a a ⋹ x1 x''
sein muss, und analog ergibt sich, dass zugleich auch ist:
x1 + x'' ⋹ b b ⋹ x1 x''.
Nennen wir aber
x1 + x'' = x2 x1 x'' = x2,
so ist dieses Gebiet x2 jetzt ein solches, für welches x'' bei jener Um-
kehrung keine Ausnahme mehr bildet, desgleichen, nach wie vor, auch x1
keine. Wir haben nämlich nach Th.
6+) x1 ⋹ x1 + x'', also x1 ⋹ x2 6×) x1 x'', ⋹ x1, also x2 = x1
desgleichen:
x'' ⋹ x2 x2 ⋹ x''.
Dieses x2 ist jetzt der den Forderungen unsrer Def. (5) genügende
Wert des c selber, es ist:
c = x2,
wenn es jetzt überhaupt kein x mehr gibt, welches den Voraussetzungen α)
genügte, ohne mit x2 die Beziehungen einzugehen:
β2) x ⋹ x2 x2 ⋹ x.
Gibt es aber noch solche x, welche sich dem x2 — will ich kurz
sagen — „nicht fügen“, d. h. für welche zwar die Voraussetzungen α) aber
nicht die Subsumtion β) erfüllt ist, so kann man ebenso weiter schliessen.
Es sei dann x''' irgend eines derselben; so haben wir:
x''' ⋹ a, x''' ⋹ b a ⋹ x''', b ⋹ x'''
aber doch nicht
x''' ⋹ x2 x2 ⋹ x'''.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 596. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/616>, abgerufen am 25.11.2024.
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