Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bei Angabe oder Aufzählung der Elemente einer Gruppe sollen natür-
lich tautologische Wiederholungen möglichst unterbleiben. Solange nur die
einfachen Gebietsymbole oder Buchstaben, welche allenfalls in den Aus-
drücken für die Elemente vorkommen, als von einander unabhängig be-
liebige Gebiete angesehen, gedeutet werden, müssen hienach auch sämtliche
Elemente einer Gruppe im Allgemeinen unter sich verschieden sein, m. a. W.
die Gleichsetzung irgend zweier Ausdrücke der Gruppe muss allemal eine
synthetische Gleichung, eine "Relation" liefern, nicht aber darf dadurch
eine "Formel" entstehen.

Diese Forderung ist stricte aufrecht zu erhalten, sobald etwa die
"Anzahl" der Elemente in Betracht gezogen werden, wenn von dem "Um-
fang" der Gruppe gesprochen werden soll -- andernfalles würde ja der
Gruppe ein bestimmter Umfang gar nicht zukommen. Ist sie erfüllt, so
mögen wir sagen, die Gruppe sei in ihrer "reduzirten" Form dargestellt,
reduzirt gegeben, ausgerechnet, ermittelt.

Im übrigen wird es aber bei den in's Auge zu fassenden Erzeugungs-
weisen der Gruppen sich empfehlen, dass man im Geiste des Tautologie-
gesetzes Wiederholung von Elementen nicht verbiete, sondern nur für belang-
los erkläre. Wo keine Veranlassung dazu vorliegt, wird man alsdann doch
sie ohnehin unterlassen -- so z. B. bei allen Endergebnissen, bei denen ja
auf grösstmögliche Einfachheit derselben für künftigen Gebrauch zu sehen ist.

Auf der andern Seite gewinnt man so die Freiheit, eine Gruppe z. B.
auch aus einer Übergruppe entstehen zu lassen dadurch, dass man zwischen
den Elementen von dieser Relationen einführt, z. B. einzelne Elemente, die
ursprünglich verschieden gedacht wurden, einander gleich werden lässt.
Nur aber indem man zulässt, dass verschiedene Buchstaben auch gleich-
wertig werden dürfen, nur dadurch wird man in der That imstande sein,
sich die volle Allgemeinheit der Betrachtungen mitsamt deren Vorteilen
zu sichern.

Ein solches System von Elementen der Gruppe aus welchem alle
übrigen Elemente derselben durch unsre Operationen (der drei Spezies)
schon vollständig ableitbar sind, nannten wir ein "(ausreichendes)
System von Bestimmungselementen" der Gruppe.

Wir bezeichnen die Gruppe kurz, indem wir hinter den Buch-
staben G ein System von Bestimmungselementen derselben -- diese
durch Kommata getrennt -- in eine Klammer schreiben.

Auch die Gruppe selbst kann als ein ausreichendes System von
Bestimmungselementen ihrerselbst hingestellt werden, insofern hier
"übrige" Elemente, die erst noch aus den angegebenen abzuleiten
wären, gar nicht vorhanden sind. In solchem Falle mögen wir das
Symbol G auch weglassen.

Sonach werden wir nun haben:

Bei Angabe oder Aufzählung der Elemente einer Gruppe sollen natür-
lich tautologische Wiederholungen möglichst unterbleiben. Solange nur die
einfachen Gebietsymbole oder Buchstaben, welche allenfalls in den Aus-
drücken für die Elemente vorkommen, als von einander unabhängig be-
liebige Gebiete angesehen, gedeutet werden, müssen hienach auch sämtliche
Elemente einer Gruppe im Allgemeinen unter sich verschieden sein, m. a. W.
die Gleichsetzung irgend zweier Ausdrücke der Gruppe muss allemal eine
synthetische Gleichung, eine „Relation“ liefern, nicht aber darf dadurch
eine „Formel“ entstehen.

Diese Forderung ist stricte aufrecht zu erhalten, sobald etwa die
„Anzahl“ der Elemente in Betracht gezogen werden, wenn von dem „Um-
fang“ der Gruppe gesprochen werden soll — andernfalles würde ja der
Gruppe ein bestimmter Umfang gar nicht zukommen. Ist sie erfüllt, so
mögen wir sagen, die Gruppe sei in ihrer „reduzirten“ Form dargestellt,
reduzirt gegeben, ausgerechnet, ermittelt.

Im übrigen wird es aber bei den in's Auge zu fassenden Erzeugungs-
weisen der Gruppen sich empfehlen, dass man im Geiste des Tautologie-
gesetzes Wiederholung von Elementen nicht verbiete, sondern nur für belang-
los erkläre. Wo keine Veranlassung dazu vorliegt, wird man alsdann doch
sie ohnehin unterlassen — so z. B. bei allen Endergebnissen, bei denen ja
auf grösstmögliche Einfachheit derselben für künftigen Gebrauch zu sehen ist.

Auf der andern Seite gewinnt man so die Freiheit, eine Gruppe z. B.
auch aus einer Übergruppe entstehen zu lassen dadurch, dass man zwischen
den Elementen von dieser Relationen einführt, z. B. einzelne Elemente, die
ursprünglich verschieden gedacht wurden, einander gleich werden lässt.
Nur aber indem man zulässt, dass verschiedene Buchstaben auch gleich-
wertig werden dürfen, nur dadurch wird man in der That imstande sein,
sich die volle Allgemeinheit der Betrachtungen mitsamt deren Vorteilen
zu sichern.

Ein solches System von Elementen der Gruppe aus welchem alle
übrigen Elemente derselben durch unsre Operationen (der drei Spezies)
schon vollständig ableitbar sind, nannten wir ein „(ausreichendes)
System von Bestimmungselementen“ der Gruppe.

Wir bezeichnen die Gruppe kurz, indem wir hinter den Buch-
staben G ein System von Bestimmungselementen derselben — diese
durch Kommata getrennt — in eine Klammer schreiben.

Auch die Gruppe selbst kann als ein ausreichendes System von
Bestimmungselementen ihrerselbst hingestellt werden, insofern hier
„übrige“ Elemente, die erst noch aus den angegebenen abzuleiten
wären, gar nicht vorhanden sind. In solchem Falle mögen wir das
Symbol G auch weglassen.

Sonach werden wir nun haben: