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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Anhang 6.

a durch b1, somit a1 durch b,
b durch c1, " b1 durch c,
c durch a, (" c1 durch a1).

Bringt man sich aber zum Bewusstsein, dass gleichzeitig a1 durch b und b
durch c1 (desgleichen b1 durch c und c durch a) ersetzt werden solle (im
ersten Ausdrucke), so liegt das Missverständniss, der Wahn, nahe, als ob
etwa a1 durch c1 (desgl. b1 durch a) zu ersetzen wäre. Dies ist nicht der
Fall, denn das b (des ersten Ausdruckes) welches durch c1 daselbst ersetzt
werden soll, ist ein ganz anderes Gebietsymbol, als das b (des zweiten
Ausdruckes), durch welches das a1 (im ersten) zu ersetzen war.

Dem Missverständniss wird vorgebeugt, wenn man sich die Buchstaben
des zweiten Ausdruckes mit Accenten versieht, wo dann zu sagen ist, dass
man a durch b1', b durch c1', c durch a', somit auch zugleich a1 durch b',
b1 durch c', (c1 durch a1') zu ersetzen habe.

Jedenfalls wird man bei Beachtung dieser einfachen Vorsichtsmassregel
leichter und sicherer diejenigen (oder solche) Vertauschungen ausfindig
machen, welche den einen Ausdruck in den andern überführen, sofern es
deren gibt -- und andernfalles wird man ebenso die Unmöglichkeit solcher
Verwandlung bequemer erkennen.

In vielen Fällen freilich -- wo Vertauschungen von immer nur zwei
Buchstaben auf einmal, sogenannte "Transpositionen" schon hinreichen, die
beabsichtigte Überführung zustande zu bringen, und zwar solche Trans-
positionen, die nie einen Buchstaben als Vertauschungselement miteinander
gemein haben -- braucht man nicht zu solcher Weitläufigkeit (der Ein-
führung und Wiederfortlassung von Accenten) seine Zuflucht zu nehmen.

Man erkennt z. B. augenblicklich, dass von den beiden Ausdrücken:
a b + a c + a1 b1 c1 und a b + b c1 + a1 b1 c
der eine aus dem andern durch Vertauschung von a mit b und zugleich
von c mit c1 hervorgeht, mithin auch diese von einerlei Art sein werden.

[Wo dagegen sog. "cyklische" Vertauschungen von höherer Ordnung,
Vertauschungen im Ringe herum erforderlich werden, wie beim vorher-
gehenden Beispiel die Ersetzung von a durch b1, von b1 durch c und von
c durch a, da möchte die kleine Weitläufigkeit sich für den Anfänger
lohnen.]

Nicht vom selben Typus sind z. B. die beiden Ausdrücke:
a b + a1 b1 und a b + a b1
deren zweiter sich auf a reduzirt. Was für unabhängig beliebige Gebiete
man auch für a und b einsetzen möge, nie wird derselbe hier in den
zweiten übergehen, wie leicht durchzuprobiren wäre.

Die "Gruppe von a und b" besteht aus 16 Elementen, als da sind:
G (a, b) = {0, 1, a, b, a1, b1, a b, a b1, a1 b, a1 b1, a + b, a + b1,
a1 + b, a1 + b1, a b + a1 b1, a b1 + a1 b}

Dass diese Ausdrücke in der That durch die identischen Spezies
aus a und b "ableitbar", nämlich abgeleitet sind, ist augenscheinlich.

Anhang 6.

a durch b1, somit a1 durch b,
b durch c1, „ b1 durch c,
c durch a, („ c1 durch a1).

Jedenfalls wird man bei Beachtung dieser einfachen Vorsichtsmassregel
leichter und sicherer diejenigen (oder solche) Vertauschungen ausfindig
machen, welche den einen Ausdruck in den andern überführen, sofern es
deren gibt — und andernfalles wird man ebenso die Unmöglichkeit solcher
Verwandlung bequemer erkennen.

In vielen Fällen freilich — wo Vertauschungen von immer nur zwei
Buchstaben auf einmal, sogenannte „Transpositionen“ schon hinreichen, die
beabsichtigte Überführung zustande zu bringen, und zwar solche Trans-
positionen, die nie einen Buchstaben als Vertauschungselement miteinander
gemein haben — braucht man nicht zu solcher Weitläufigkeit (der Ein-
führung und Wiederfortlassung von Accenten) seine Zuflucht zu nehmen.

[Wo dagegen sog. „cyklische“ Vertauschungen von höherer Ordnung,
Vertauschungen im Ringe herum erforderlich werden, wie beim vorher-
gehenden Beispiel die Ersetzung von a durch b1, von b1 durch c und von
c durch a, da möchte die kleine Weitläufigkeit sich für den Anfänger
lohnen.]

Die „Gruppe von a und b“ besteht aus 16 Elementen, als da sind:
G (a, b) = {0, 1, a, b, a1, b1, a b, a b1, a1 b, a1 b1, a + b, a + b1,
a1 + b, a1 + b1, a b + a1 b1, a b1 + a1 b}

Dass diese Ausdrücke in der That durch die identischen Spezies
aus a und b „ableitbar“, nämlich abgeleitet sind, ist augenscheinlich.

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[652/0672] Anhang 6. a durch b1, somit a1 durch b, b durch c1, „ b1 durch c, c durch a, („ c1 durch a1). Bringt man sich aber zum Bewusstsein, dass gleichzeitig a1 durch b und b durch c1 (desgleichen b1 durch c und c durch a) ersetzt werden solle (im ersten Ausdrucke), so liegt das Missverständniss, der Wahn, nahe, als ob etwa a1 durch c1 (desgl. b1 durch a) zu ersetzen wäre. Dies ist nicht der Fall, denn das b (des ersten Ausdruckes) welches durch c1 daselbst ersetzt werden soll, ist ein ganz anderes Gebietsymbol, als das b (des zweiten Ausdruckes), durch welches das a1 (im ersten) zu ersetzen war. Dem Missverständniss wird vorgebeugt, wenn man sich die Buchstaben des zweiten Ausdruckes mit Accenten versieht, wo dann zu sagen ist, dass man a durch b1', b durch c1', c durch a', somit auch zugleich a1 durch b', b1 durch c', (c1 durch a1') zu ersetzen habe. Jedenfalls wird man bei Beachtung dieser einfachen Vorsichtsmassregel leichter und sicherer diejenigen (oder solche) Vertauschungen ausfindig machen, welche den einen Ausdruck in den andern überführen, sofern es deren gibt — und andernfalles wird man ebenso die Unmöglichkeit solcher Verwandlung bequemer erkennen. In vielen Fällen freilich — wo Vertauschungen von immer nur zwei Buchstaben auf einmal, sogenannte „Transpositionen“ schon hinreichen, die beabsichtigte Überführung zustande zu bringen, und zwar solche Trans- positionen, die nie einen Buchstaben als Vertauschungselement miteinander gemein haben — braucht man nicht zu solcher Weitläufigkeit (der Ein- führung und Wiederfortlassung von Accenten) seine Zuflucht zu nehmen. Man erkennt z. B. augenblicklich, dass von den beiden Ausdrücken: a b + a c + a1 b1 c1 und a b + b c1 + a1 b1 c der eine aus dem andern durch Vertauschung von a mit b und zugleich von c mit c1 hervorgeht, mithin auch diese von einerlei Art sein werden. [Wo dagegen sog. „cyklische“ Vertauschungen von höherer Ordnung, Vertauschungen im Ringe herum erforderlich werden, wie beim vorher- gehenden Beispiel die Ersetzung von a durch b1, von b1 durch c und von c durch a, da möchte die kleine Weitläufigkeit sich für den Anfänger lohnen.] Nicht vom selben Typus sind z. B. die beiden Ausdrücke: a b + a1 b1 und a b + a b1 deren zweiter sich auf a reduzirt. Was für unabhängig beliebige Gebiete man auch für a und b einsetzen möge, nie wird derselbe hier in den zweiten übergehen, wie leicht durchzuprobiren wäre. Die „Gruppe von a und b“ besteht aus 16 Elementen, als da sind: G (a, b) = {0, 1, a, b, a1, b1, a b, a b1, a1 b, a1 b1, a + b, a + b1, a1 + b, a1 + b1, a b + a1 b1, a b1 + a1 b} Dass diese Ausdrücke in der That durch die identischen Spezies aus a und b „ableitbar“, nämlich abgeleitet sind, ist augenscheinlich.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 652. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/672>, abgerufen am 25.11.2024.

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