nach das Aggregat derselben auch der Summenreihe, schon unver- meidlich angehören.
Hiermit ist erkannt, dass weder durch Addiren, noch durch Multi- pliziren, noch durch Negiren aus der Summenreihe neue Elemente abgeleitet werden können. Dies ist also auch nicht möglich durch irgendwelche Verbindung dieser Operationen unter einander.
D. h. jene Summenreihe muss die gesuchte Gruppe sein. q. e. d.
So sehr die Ergänzung von Bestimmungselementen zur vollstän- digen Gruppe durch vorstehendes Verfahren auch vereinfacht erscheint, so ist sie doch immerhin noch mühsam genug.
Beispielsweise aus den Bestimmungselementen a, b ergibt sich als "erste" Reihe: 0, 1, a, b, a1, b1, sodann als zweite oder Produktenreihe bei strenger Einhaltung der vor- geschriebenen Ordnung: 0, 1, a, b, a1, b1, a b, a1b, a b1, a1b1 -- ein System, welches die Negationen der vier letzten Elemente in der That noch nicht enthält. Zur dritten oder Summenreihe treten dann zu den angegebenen noch der Reihe nach: a + b, a1 + b, a + b1, a1 + b1, a b1 + a1b, a b + a1b1 als weitere Elemente hinzu.
An ferneren beiläufig von uns angeführten Gruppen wird der Leser reichliche Gelegenheit haben, die Methode einübend zu festigen.
Ein zweiter Weg, die Vollständigkeit einer gegebenen Gruppe nachzuweisen, besteht darin, dass man die Anzahl ihrer Elemente a priori ermittelt und sich überzeugt, dass dieselbe hier vorliegt.
Zu diesem Zwecke muss man ein System von Bestimmungs- elementen der Gruppe kennen.
Ein solches ausschliesslich und auf jede mögliche Weise aus der Gruppe herauszulesen, ist eine keineswegs leichte Aufgabe, die wir einstweilen als ein systematisch erst noch zu lösendes Problem vor- merken.
Sehr häufig genügt jedoch schon die blosse Beaugenscheinigung, Okularinspektion der Gruppe, um ein System von Bestimmungs- elementen derselben zu entdecken, indem man eben wahrnimmt, dass aus gewissen als Elemente auftretenden einfachen oder Buchstaben- symbolen die übrigen Elemente alle aufgebaut sind -- als Funktions- ausdrücke des identischen Kalkuls. Diese einfachen Symbole, nach Weglassung derer, welche die Negationen von beibehaltenen sind, bil- den dann das System der Bestimmungselemente. So oben a und b.
Schröder, Algebra der Logik. 42
Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.
nach das Aggregat derselben auch der Summenreihe, schon unver- meidlich angehören.
Hiermit ist erkannt, dass weder durch Addiren, noch durch Multi- pliziren, noch durch Negiren aus der Summenreihe neue Elemente abgeleitet werden können. Dies ist also auch nicht möglich durch irgendwelche Verbindung dieser Operationen unter einander.
D. h. jene Summenreihe muss die gesuchte Gruppe sein. q. e. d.
So sehr die Ergänzung von Bestimmungselementen zur vollstän- digen Gruppe durch vorstehendes Verfahren auch vereinfacht erscheint, so ist sie doch immerhin noch mühsam genug.
Beispielsweise aus den Bestimmungselementen a, b ergibt sich als „erste“ Reihe: 0, 1, a, b, a1, b1, sodann als zweite oder Produktenreihe bei strenger Einhaltung der vor- geschriebenen Ordnung: 0, 1, a, b, a1, b1, a b, a1b, a b1, a1b1 — ein System, welches die Negationen der vier letzten Elemente in der That noch nicht enthält. Zur dritten oder Summenreihe treten dann zu den angegebenen noch der Reihe nach: a + b, a1 + b, a + b1, a1 + b1, a b1 + a1b, a b + a1b1 als weitere Elemente hinzu.
An ferneren beiläufig von uns angeführten Gruppen wird der Leser reichliche Gelegenheit haben, die Methode einübend zu festigen.
Ein zweiter Weg, die Vollständigkeit einer gegebenen Gruppe nachzuweisen, besteht darin, dass man die Anzahl ihrer Elemente a priori ermittelt und sich überzeugt, dass dieselbe hier vorliegt.
Zu diesem Zwecke muss man ein System von Bestimmungs- elementen der Gruppe kennen.
Ein solches ausschliesslich und auf jede mögliche Weise aus der Gruppe herauszulesen, ist eine keineswegs leichte Aufgabe, die wir einstweilen als ein systematisch erst noch zu lösendes Problem vor- merken.
Sehr häufig genügt jedoch schon die blosse Beaugenscheinigung, Okularinspektion der Gruppe, um ein System von Bestimmungs- elementen derselben zu entdecken, indem man eben wahrnimmt, dass aus gewissen als Elemente auftretenden einfachen oder Buchstaben- symbolen die übrigen Elemente alle aufgebaut sind — als Funktions- ausdrücke des identischen Kalkuls. Diese einfachen Symbole, nach Weglassung derer, welche die Negationen von beibehaltenen sind, bil- den dann das System der Bestimmungselemente. So oben a und b.
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Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.
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meidlich angehören.
Hiermit ist erkannt, dass weder durch Addiren, noch durch Multi-
pliziren, noch durch Negiren aus der Summenreihe neue Elemente
abgeleitet werden können. Dies ist also auch nicht möglich durch
irgendwelche Verbindung dieser Operationen unter einander.
D. h. jene Summenreihe muss die gesuchte Gruppe sein. q. e. d.
So sehr die Ergänzung von Bestimmungselementen zur vollstän-
digen Gruppe durch vorstehendes Verfahren auch vereinfacht erscheint,
so ist sie doch immerhin noch mühsam genug.
Beispielsweise aus den Bestimmungselementen a, b ergibt sich als
„erste“ Reihe:
0, 1, a, b, a1, b1,
sodann als zweite oder Produktenreihe bei strenger Einhaltung der vor-
geschriebenen Ordnung:
0, 1, a, b, a1, b1, a b, a1 b, a b1, a1 b1
— ein System, welches die Negationen der vier letzten Elemente in der
That noch nicht enthält. Zur dritten oder Summenreihe treten dann zu
den angegebenen noch der Reihe nach:
a + b, a1 + b, a + b1, a1 + b1, a b1 + a1 b, a b + a1 b1
als weitere Elemente hinzu.
An ferneren beiläufig von uns angeführten Gruppen wird der Leser
reichliche Gelegenheit haben, die Methode einübend zu festigen.
Ein zweiter Weg, die Vollständigkeit einer gegebenen Gruppe
nachzuweisen, besteht darin, dass man die Anzahl ihrer Elemente
a priori ermittelt und sich überzeugt, dass dieselbe hier vorliegt.
Zu diesem Zwecke muss man ein System von Bestimmungs-
elementen der Gruppe kennen.
Ein solches ausschliesslich und auf jede mögliche Weise aus der
Gruppe herauszulesen, ist eine keineswegs leichte Aufgabe, die wir
einstweilen als ein systematisch erst noch zu lösendes Problem vor-
merken.
Sehr häufig genügt jedoch schon die blosse Beaugenscheinigung,
Okularinspektion der Gruppe, um ein System von Bestimmungs-
elementen derselben zu entdecken, indem man eben wahrnimmt, dass
aus gewissen als Elemente auftretenden einfachen oder Buchstaben-
symbolen die übrigen Elemente alle aufgebaut sind — als Funktions-
ausdrücke des identischen Kalkuls. Diese einfachen Symbole, nach
Weglassung derer, welche die Negationen von beibehaltenen sind, bil-
den dann das System der Bestimmungselemente. So oben a und b.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 657. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/677>, abgerufen am 25.11.2024.
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