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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Geometrisch-kombinatorisches Problem von Jevons.

Vierter Typus mit den 12 Repräsentanten:
14, 23, 58, 67, 16, 25, 38, 47, 17, 35, 28, 46.

Fünfter Typus mit den 4 Repräsentanten:
18, 27, 36, 45.

Oder wir haben drei Aushebungen ("threefold" statement) Auch diese
lassen sich auf drei Arten bewerkstelligen und liefern drei weitere Typen.

Entweder nämlich: zwei von den drei auszuhebenden Ecken sind be-
nachbarte; dann mögen wir 1 und 2 als diese nehmen. Alsdann kann auch
die dritte auszuhebende Ecke einer von diesen beiden benachbart sein (aber
nicht beiden zugleich, weil sonst der Würfel ein Dreieck zur Seitenfläche
haben müsste), gleichviel welcher -- wie z. B. 3 der 1, und die drei
Ecken bestimmen eine rechtwinklig gebrochene Linie: 213, ein "Knie"; dies
gibt den

Sechsten Typus mit den 24 Repräsentanten:
312, 124, 243, 431, 657, 578, 786, 865,
215, 156, 562, 621, 734, 348, 487, 873,
513, 137, 375, 751, 426, 268, 684, 842.
Andernfalles wird die dritte neben 1 und 2 auszuwählende Ecke keiner
von diesen beiden benachbart sein; dann fallen die Ecken 3, 4, 5, 6
ausser Betracht, und kann jene nur einer von den beiden Endpunkten 7
und 8 der Gegenkante von 12 sein, gleichviel welcher von diesen. Diese
Aushebung verknüpft also die Endpunkte einer Kante je mit einem End-
punkt ihrer Gegenkante und gibt den

Siebenten Typus mit den 24 Repräsentanten:
127, 128, 781, 782, 345, 346, 563, 564,
136, 138, 681, 683, 245, 247, 572, 574,
154, 158, 481, 485, 263, 267, 372, 376.

Oder unter den auszuhebenden Ecken sind keine zwei benachbarte.
Beginnen wir mit 1, so werden also die drei anliegenden 2, 3 und 5 zu
verwerfen sein. Nun kann aber auch die Gegenecke 8 nicht genommen
werden, weil dieser die drei noch übrigen Ecken 4, 6 und 7 benachbart
sind und dann keine nicht benachbarte Ecke mehr vorhanden wäre, die für
die dritte sich nehmen liesse. Folglich müssen in diesem Falle die beiden
andern Ecken unter den der ersten abliegenden 4, 7, 8 ausgewählt werden,
gleichviel auf welche Weise. Wie 147 bestimmen dann die gewählten
Ecken ein gleichseitiges Dreieck, welches von Diagonalen dreier Seiten-
flächen des Würfels gebildet wird, und auf welchem als Grundfläche je
eine Ecke des Würfels pyramidenförmig steht. Dies ist der

Achte Typus mit den 8 Repräsentanten:
523, 641, 714, 832, 176, 258, 385, 467. --

Geometrisch-kombinatorisches Problem von Jevons.

Vierter Typus mit den 12 Repräsentanten:
14, 23, 58, 67, 16, 25, 38, 47, 17, 35, 28, 46.

Fünfter Typus mit den 4 Repräsentanten:
18, 27, 36, 45.

Oder wir haben drei Aushebungen („threefold“ statement) Auch diese
lassen sich auf drei Arten bewerkstelligen und liefern drei weitere Typen.

Entweder nämlich: zwei von den drei auszuhebenden Ecken sind be-
nachbarte; dann mögen wir 1 und 2 als diese nehmen. Alsdann kann auch
die dritte auszuhebende Ecke einer von diesen beiden benachbart sein (aber
nicht beiden zugleich, weil sonst der Würfel ein Dreieck zur Seitenfläche
haben müsste), gleichviel welcher — wie z. B. 3 der 1, und die drei
Ecken bestimmen eine rechtwinklig gebrochene Linie: 213, ein „Knie“; dies
gibt den

Sechsten Typus mit den 24 Repräsentanten:
312, 124, 243, 431, 657, 578, 786, 865,
215, 156, 562, 621, 734, 348, 487, 873,
513, 137, 375, 751, 426, 268, 684, 842.
Andernfalles wird die dritte neben 1 und 2 auszuwählende Ecke keiner
von diesen beiden benachbart sein; dann fallen die Ecken 3, 4, 5, 6
ausser Betracht, und kann jene nur einer von den beiden Endpunkten 7
und 8 der Gegenkante von 12 sein, gleichviel welcher von diesen. Diese
Aushebung verknüpft also die Endpunkte einer Kante je mit einem End-
punkt ihrer Gegenkante und gibt den

Siebenten Typus mit den 24 Repräsentanten:
127, 128, 781, 782, 345, 346, 563, 564,
136, 138, 681, 683, 245, 247, 572, 574,
154, 158, 481, 485, 263, 267, 372, 376.

Oder unter den auszuhebenden Ecken sind keine zwei benachbarte.
Beginnen wir mit 1, so werden also die drei anliegenden 2, 3 und 5 zu
verwerfen sein. Nun kann aber auch die Gegenecke 8 nicht genommen
werden, weil dieser die drei noch übrigen Ecken 4, 6 und 7 benachbart
sind und dann keine nicht benachbarte Ecke mehr vorhanden wäre, die für
die dritte sich nehmen liesse. Folglich müssen in diesem Falle die beiden
andern Ecken unter den der ersten abliegenden 4, 7, 8 ausgewählt werden,
gleichviel auf welche Weise. Wie 147 bestimmen dann die gewählten
Ecken ein gleichseitiges Dreieck, welches von Diagonalen dreier Seiten-
flächen des Würfels gebildet wird, und auf welchem als Grundfläche je
eine Ecke des Würfels pyramidenförmig steht. Dies ist der

Achte Typus mit den 8 Repräsentanten:
523, 641, 714, 832, 176, 258, 385, 467. —

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[667/0687] Geometrisch-kombinatorisches Problem von Jevons. Vierter Typus mit den 12 Repräsentanten: 14, 23, 58, 67, 16, 25, 38, 47, 17, 35, 28, 46. Fünfter Typus mit den 4 Repräsentanten: 18, 27, 36, 45. Oder wir haben drei Aushebungen („threefold“ statement) Auch diese lassen sich auf drei Arten bewerkstelligen und liefern drei weitere Typen. Entweder nämlich: zwei von den drei auszuhebenden Ecken sind be- nachbarte; dann mögen wir 1 und 2 als diese nehmen. Alsdann kann auch die dritte auszuhebende Ecke einer von diesen beiden benachbart sein (aber nicht beiden zugleich, weil sonst der Würfel ein Dreieck zur Seitenfläche haben müsste), gleichviel welcher — wie z. B. 3 der 1, und die drei Ecken bestimmen eine rechtwinklig gebrochene Linie: 213, ein „Knie“; dies gibt den Sechsten Typus mit den 24 Repräsentanten: 312, 124, 243, 431, 657, 578, 786, 865, 215, 156, 562, 621, 734, 348, 487, 873, 513, 137, 375, 751, 426, 268, 684, 842. Andernfalles wird die dritte neben 1 und 2 auszuwählende Ecke keiner von diesen beiden benachbart sein; dann fallen die Ecken 3, 4, 5, 6 ausser Betracht, und kann jene nur einer von den beiden Endpunkten 7 und 8 der Gegenkante von 12 sein, gleichviel welcher von diesen. Diese Aushebung verknüpft also die Endpunkte einer Kante je mit einem End- punkt ihrer Gegenkante und gibt den Siebenten Typus mit den 24 Repräsentanten: 127, 128, 781, 782, 345, 346, 563, 564, 136, 138, 681, 683, 245, 247, 572, 574, 154, 158, 481, 485, 263, 267, 372, 376. Oder unter den auszuhebenden Ecken sind keine zwei benachbarte. Beginnen wir mit 1, so werden also die drei anliegenden 2, 3 und 5 zu verwerfen sein. Nun kann aber auch die Gegenecke 8 nicht genommen werden, weil dieser die drei noch übrigen Ecken 4, 6 und 7 benachbart sind und dann keine nicht benachbarte Ecke mehr vorhanden wäre, die für die dritte sich nehmen liesse. Folglich müssen in diesem Falle die beiden andern Ecken unter den der ersten abliegenden 4, 7, 8 ausgewählt werden, gleichviel auf welche Weise. Wie 147 bestimmen dann die gewählten Ecken ein gleichseitiges Dreieck, welches von Diagonalen dreier Seiten- flächen des Würfels gebildet wird, und auf welchem als Grundfläche je eine Ecke des Würfels pyramidenförmig steht. Dies ist der Achte Typus mit den 8 Repräsentanten: 523, 641, 714, 832, 176, 258, 385, 467. —

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 667. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/687>, abgerufen am 24.11.2024.