Geometrisch-kombinatorisches Problem von Clifford.
desgleichen der Würfel mit seinem Ecken- und Kantensystem in eine Ebene, wofern man nur sich gestattet, einzelne Seiten resp. Kanten desselben zu verbiegen, dieselben kürzend oder dehnend. Für das Quadrat soll dies Fig. 40, für den Würfel Fig. 41 erläutern; in beiden haben wir auch die Nummern der Ecken eingetragen (bezogen auf die Glieder
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Fig. 40.
unsrer Entwickelung der identischen Eins nach a, b resp. a, b, c).
Zwei Seiten des Quadrates sowie zwei Seitenflächen des Würfels er- blickt man unverzerrt.
Nichts hinderte, beim Quadrat die beiden andern Seiten gerad- linig anzunehmen; jedoch geschähe dies auf Kosten der Übersichtlich- keit, indem die vier Seiten dann in- und über- einander fallen würden. Nun kann man aber doch von den Verzerrungen absehen, und deren ungeachtet die Seiten resp. Kanten für gleich- wertig gelten lassen. Indem man die Qua- dratseiten den Deformationen geschmeidig folgen lässt, kann man z. B. auch in der Anschauung das soit-disant "Quadrat" Fig. 40 in sich selbst herumschwingen, sodass die Ecke 1 nach 2, 2 nach 4, 4 nach 3 und 3 nach 1 rückt. Ebenso kann man den -- sit venia verbo! -- "Würfel" Fig. 41 in sich selbst verschieben, sodass er stets mit seiner Anfangslage in Deckung bleibt, aber z. B. die Ecken 3, 1 nach 4, 2, die 4, 2 nach 8, 6, letztere nach 7, 5 und diese nach 3, 1 rücken, etc. Kurz man kann alle am wirklichen Quadrat resp. Würfel ausführbaren Prozesse oder Opera-
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Fig. 41.
tionen im Geiste auch zur Ausführung bringen an den vorstehenden Ab- bildern dieser Gebilde, welche eine Dimension weniger als das Gebilde selbst besitzen und -- nach Analogie eines Herbariums -- füglich als "ge- presstes" Quadrat, "gepresster" Würfel zu bezeichnen wären.
Analog bietet nun der vierdimen- sionale Oktokub im dreidimensional ge- pressten Zustande (gepresst natürlich unter Verbiegung und Zerrung von einzelnen seiner Kanten) sich in einer Gestalt dar, die wir nebenstehend in einer annähernd perspektiven, nämlich orthogonalen Projektion in der Ebene der Zeichnung darstellen, die 16 Num- mern an die Ecken setzend.
Vier von den Würfeln haben, wie man sieht, jetzt eine wiegenförmige Gestalt gewonnen, welche an gewisse
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Fig. 42.
Geometrisch-kombinatorisches Problem von Clifford.
desgleichen der Würfel mit seinem Ecken- und Kantensystem in eine Ebene, wofern man nur sich gestattet, einzelne Seiten resp. Kanten desselben zu verbiegen, dieselben kürzend oder dehnend. Für das Quadrat soll dies Fig. 40, für den Würfel Fig. 41 erläutern; in beiden haben wir auch die Nummern der Ecken eingetragen (bezogen auf die Glieder
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Fig. 40.
unsrer Entwickelung der identischen Eins nach a, b resp. a, b, c).
Zwei Seiten des Quadrates sowie zwei Seitenflächen des Würfels er- blickt man unverzerrt.
Nichts hinderte, beim Quadrat die beiden andern Seiten gerad- linig anzunehmen; jedoch geschähe dies auf Kosten der Übersichtlich- keit, indem die vier Seiten dann in- und über- einander fallen würden. Nun kann man aber doch von den Verzerrungen absehen, und deren ungeachtet die Seiten resp. Kanten für gleich- wertig gelten lassen. Indem man die Qua- dratseiten den Deformationen geschmeidig folgen lässt, kann man z. B. auch in der Anschauung das soit-disant „Quadrat“ Fig. 40 in sich selbst herumschwingen, sodass die Ecke 1 nach 2, 2 nach 4, 4 nach 3 und 3 nach 1 rückt. Ebenso kann man den — sit venia verbo! — „Würfel“ Fig. 41 in sich selbst verschieben, sodass er stets mit seiner Anfangslage in Deckung bleibt, aber z. B. die Ecken 3, 1 nach 4, 2, die 4, 2 nach 8, 6, letztere nach 7, 5 und diese nach 3, 1 rücken, etc. Kurz man kann alle am wirklichen Quadrat resp. Würfel ausführbaren Prozesse oder Opera-
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Fig. 41.
tionen im Geiste auch zur Ausführung bringen an den vorstehenden Ab- bildern dieser Gebilde, welche eine Dimension weniger als das Gebilde selbst besitzen und — nach Analogie eines Herbariums — füglich als „ge- presstes“ Quadrat, „gepresster“ Würfel zu bezeichnen wären.
Analog bietet nun der vierdimen- sionale Oktokub im dreidimensional ge- pressten Zustande (gepresst natürlich unter Verbiegung und Zerrung von einzelnen seiner Kanten) sich in einer Gestalt dar, die wir nebenstehend in einer annähernd perspektiven, nämlich orthogonalen Projektion in der Ebene der Zeichnung darstellen, die 16 Num- mern an die Ecken setzend.
Vier von den Würfeln haben, wie man sieht, jetzt eine wiegenförmige Gestalt gewonnen, welche an gewisse
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Fig. 42.
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Geometrisch-kombinatorisches Problem von Clifford.
desgleichen der Würfel mit seinem Ecken- und Kantensystem in eine Ebene,
wofern man nur sich gestattet, einzelne Seiten resp. Kanten desselben zu
verbiegen, dieselben kürzend oder dehnend.
Für das Quadrat soll dies Fig. 40, für
den Würfel Fig. 41 erläutern; in beiden
haben wir auch die Nummern der Ecken
eingetragen (bezogen auf die Glieder
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[Abbildung Fig. 40.]
unsrer Entwickelung der identischen Eins nach a, b resp. a, b, c).
Zwei Seiten des Quadrates sowie zwei Seitenflächen des Würfels er-
blickt man unverzerrt.
Nichts hinderte, beim Quadrat die beiden andern Seiten gerad-
linig anzunehmen; jedoch geschähe dies auf Kosten der Übersichtlich-
keit, indem die vier Seiten dann in- und über-
einander fallen würden. Nun kann man aber
doch von den Verzerrungen absehen, und deren
ungeachtet die Seiten resp. Kanten für gleich-
wertig gelten lassen. Indem man die Qua-
dratseiten den Deformationen geschmeidig folgen
lässt, kann man z. B. auch in der Anschauung
das soit-disant „Quadrat“ Fig. 40 in sich selbst
herumschwingen, sodass die Ecke 1 nach 2, 2
nach 4, 4 nach 3 und 3 nach 1 rückt. Ebenso
kann man den — sit venia verbo! — „Würfel“
Fig. 41 in sich selbst verschieben, sodass er stets
mit seiner Anfangslage in Deckung bleibt, aber
z. B. die Ecken 3, 1 nach 4, 2, die 4, 2 nach 8,
6, letztere nach 7, 5 und diese nach 3, 1 rücken,
etc. Kurz man kann alle am wirklichen Quadrat
resp. Würfel ausführbaren Prozesse oder Opera-
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[Abbildung Fig. 41.]
tionen im Geiste auch zur Ausführung bringen an den vorstehenden Ab-
bildern dieser Gebilde, welche eine Dimension weniger als das Gebilde
selbst besitzen und — nach Analogie
eines Herbariums — füglich als „ge-
presstes“ Quadrat, „gepresster“ Würfel
zu bezeichnen wären.
Analog bietet nun der vierdimen-
sionale Oktokub im dreidimensional ge-
pressten Zustande (gepresst natürlich
unter Verbiegung und Zerrung von
einzelnen seiner Kanten) sich in einer
Gestalt dar, die wir nebenstehend in
einer annähernd perspektiven, nämlich
orthogonalen Projektion in der Ebene
der Zeichnung darstellen, die 16 Num-
mern an die Ecken setzend.
Vier von den Würfeln haben, wie
man sieht, jetzt eine wiegenförmige
Gestalt gewonnen, welche an gewisse
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 677. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/697>, abgerufen am 22.11.2024.
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