Geometrisch-kombinatorisches Problem von Clifford.
auszuhebenden von den 2n Konstituenten (der Entwickelung der identischen 1 nach jenen) a priori bekannt, indem sie sein muss: die Anzahl der (addi- tiven) Kombinationen ohne Wiederholungen zur lten Klasse von diesen 2n Konstituenten (oder Entwickelungsgliedern) als "Elementen". Sie ist mit- hin der Binominalkoeffizient: (2n)l, wofern wir uns für den Binominalkoeffizienten zum Exponenten m und vom Index l der bekannten Schlömilch'schen Bezeichnungsweise bedienen:
[Formel 1]
.
Wir hatten für n = 1, mithin bei G (a), zu 0, 1, 2 Aushebungen (resp. -facher Aussage, -fold statement): 1, 1, 1Typen, mit zusammen 1, 2, 1 oder (2)0, (2)1, (2)2Formen (Repräsentanten oder Elementen der Gruppe), dabei 1 + 1 = 2 Haupttypen.
Desgleichen hatten wir für n = 2, also bei G (a, b), zu 0, 1, 2, 3, 4 Aushebungen: 1, 1, 2, 1, 1Typen, mit zusammen bezüglich 1, 4, 6, 4, 1 oder (4)0, (4)1, (4)2, (4)3, (4)4Formen, somit 1 + 1 + 2 = 4 Haupttypen. Ferner für n = 3, also bei G (a, b, c), zu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Aushebungen: 1, 1, 3, 3, 6, 3, 3, 1, 1Typen mit zusammen 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 oder (8)0, (8)1, (8)2, (8)3, (8)4, (8)5, (8)6, (8)7, (8)8Formen, was 1 + 1 + 3 + 3 + 6 = 14 Haupttyen gab.
Endlich für n = 4, mithin bei G (a, b, c, d), gibt es bei 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 Aushebungen: 1, 1, 4, 6, 19, 27, 47, 55, 78, 55, 47, 27, 19, 6, 4, 1, 1 Typen mit 1, 16, 120, 560, 1820, 4368, 8008, 11440, 12870, 11440, 8008, 4368, 1820, 560, 120, 16, 1 oder (16)0, (16)1, (16)2, (16)3, (16)4, (16)5, (16)6, (16)7, (16)8, (16)9, (16)10, (16)11, (16)12, (16)13, (16)14, (16)15, (16)16Formen und beträgt die Zahl der Haupttypen: 1 + 1 + 4 + 6 + 19 + 27 + 47 + 55 + 78 = 238.
In Summa haben wir also für n = 1, 2, 3, 4: 3, 6, 22, 398 Typen und 2, 4, 14, 238 Haupttypen.
Geometrisch-kombinatorisches Problem von Clifford.
auszuhebenden von den 2n Konstituenten (der Entwickelung der identischen 1 nach jenen) a priori bekannt, indem sie sein muss: die Anzahl der (addi- tiven) Kombinationen ohne Wiederholungen zur λten Klasse von diesen 2n Konstituenten (oder Entwickelungsgliedern) als „Elementen“. Sie ist mit- hin der Binominalkoeffizient: (2n)λ, wofern wir uns für den Binominalkoeffizienten zum Exponenten m und vom Index λ der bekannten Schlömilch'schen Bezeichnungsweise bedienen:
[Formel 1]
.
Wir hatten für n = 1, mithin bei G (a), zu 0, 1, 2 Aushebungen (resp. -facher Aussage, -fold statement): 1, 1, 1Typen, mit zusammen 1, 2, 1 oder (2)0, (2)1, (2)2Formen (Repräsentanten oder Elementen der Gruppe), dabei 1 + 1 = 2 Haupttypen.
Desgleichen hatten wir für n = 2, also bei G (a, b), zu 0, 1, 2, 3, 4 Aushebungen: 1, 1, 2, 1, 1Typen, mit zusammen bezüglich 1, 4, 6, 4, 1 oder (4)0, (4)1, (4)2, (4)3, (4)4Formen, somit 1 + 1 + 2 = 4 Haupttypen. Ferner für n = 3, also bei G (a, b, c), zu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Aushebungen: 1, 1, 3, 3, 6, 3, 3, 1, 1Typen mit zusammen 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 oder (8)0, (8)1, (8)2, (8)3, (8)4, (8)5, (8)6, (8)7, (8)8Formen, was 1 + 1 + 3 + 3 + 6 = 14 Haupttyen gab.
Endlich für n = 4, mithin bei G (a, b, c, d), gibt es bei 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 Aushebungen: 1, 1, 4, 6, 19, 27, 47, 55, 78, 55, 47, 27, 19, 6, 4, 1, 1 Typen mit 1, 16, 120, 560, 1820, 4368, 8008, 11440, 12870, 11440, 8008, 4368, 1820, 560, 120, 16, 1 oder (16)0, (16)1, (16)2, (16)3, (16)4, (16)5, (16)6, (16)7, (16)8, (16)9, (16)10, (16)11, (16)12, (16)13, (16)14, (16)15, (16)16Formen und beträgt die Zahl der Haupttypen: 1 + 1 + 4 + 6 + 19 + 27 + 47 + 55 + 78 = 238.
In Summa haben wir also für n = 1, 2, 3, 4: 3, 6, 22, 398 Typen und 2, 4, 14, 238 Haupttypen.
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[681/0701]
Geometrisch-kombinatorisches Problem von Clifford.
auszuhebenden von den 2n Konstituenten (der Entwickelung der identischen 1
nach jenen) a priori bekannt, indem sie sein muss: die Anzahl der (addi-
tiven) Kombinationen ohne Wiederholungen zur λten Klasse von diesen 2n
Konstituenten (oder Entwickelungsgliedern) als „Elementen“. Sie ist mit-
hin der Binominalkoeffizient:
(2n)λ,
wofern wir uns für den Binominalkoeffizienten zum Exponenten m und vom
Index λ der bekannten Schlömilch'schen Bezeichnungsweise bedienen:
[FORMEL].
Wir hatten für n = 1, mithin bei G (a), zu
0, 1, 2 Aushebungen (resp. -facher Aussage, -fold statement):
1, 1, 1 Typen, mit zusammen
1, 2, 1 oder
(2)0, (2)1, (2)2 Formen (Repräsentanten oder Elementen der Gruppe),
dabei 1 + 1 = 2 Haupttypen.
Desgleichen hatten wir für n = 2, also bei G (a, b), zu
0, 1, 2, 3, 4 Aushebungen:
1, 1, 2, 1, 1 Typen, mit zusammen bezüglich
1, 4, 6, 4, 1 oder
(4)0, (4)1, (4)2, (4)3, (4)4 Formen, somit
1 + 1 + 2 = 4 Haupttypen.
Ferner für n = 3, also bei G (a, b, c), zu
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1, 1, 3, 3, 6, 3, 3, 1, 1 Typen mit zusammen
1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 oder
(8)0, (8)1, (8)2, (8)3, (8)4, (8)5, (8)6, (8)7, (8)8 Formen,
was 1 + 1 + 3 + 3 + 6 = 14 Haupttyen gab.
Endlich für n = 4, mithin bei G (a, b, c, d), gibt es bei
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 Aushebungen:
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und beträgt die Zahl der Haupttypen:
1 + 1 + 4 + 6 + 19 + 27 + 47 + 55 + 78 = 238.
In Summa haben wir also für
n = 1, 2, 3, 4:
3, 6, 22, 398 Typen und
2, 4, 14, 238 Haupttypen.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 681. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/701>, abgerufen am 21.11.2024.
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