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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

Um den Abstand irgend zweier Glieder dieser Summe zu erfahren, setze
man sie mit den gleichstelligen Ziffern (ihrer dyadischen Ordnungszahlen)
unter einander, und setze eine Null an, wo zwei gleiche Ziffern (zwei
Nullen oder zwei Einser) unter einander stehen, eine Eins, wo zwei un-
gleiche Ziffern (0 und 1 oder 1 und 0) unter einander stehen. Der ge-
suchte Abstand ist die Ziffernsumme ("Quersumme") des so gebildeten
Ansatzes. [Den letztern könnte man als das "symbolische Produkt" der
beiden Glieder im Sinne meiner Abhandlung8 § 9 und 10 hinstellen.]

Für 0, 1, 2 Aushebungen hat man jedenfalls bezüglich 1, 1, n als
Typenzahlen. Doch schon für 3 Aushebungen ist die Typenzahl mit ihren
den Typen einzeln zugehörigen Formenzahlen nur sehr mühsam zu ge-
winnen.

Das Problem sei den Mathematikern zur Weiterführung empfohlen. --

Was die eingangs angeregte Frage nach der Gliederung einer
gegebenen Gruppe in Untergruppen, und deren Anzahl, betrifft, so ist
dieselbe noch sehr leicht empirisch für G (a) und G (a, b) zu beant-
worten.

Es enthält nämlich*) G4 (a) = (0, 1, a, a1) -- ausser sich selbst
-- nur die eine Untergruppe G2 (0) = (0, 1).

G16 (a, b) enthält als Untergruppen
erstens die Nullgruppe G2 (0);
zweitens die sieben vierelementigen Gruppen:
G4 (a), G4 (b), G4 (a b), G4 (a b1), G4 (a1 b), G4 (a1 b1), G4 (a b1 + a1 b)
drittens die sechs achtelementigen Gruppen:

G8 (a, a b) = (0, 1, a, a1, a b, a1 + b1, a b1, a1 + b),

G8 (b, a b) = (0, 1, b, b1, a b, a1 + b1, a1 b, a + b1),

G8 (a, a1 b) = (0, 1, a, a1, a1 b, a + b1, a1 b1, a + b),

G8 (b, a b1) = (0, 1, b, b1, a b1, a1 + b, a1 b1, a + b),

G8 (a b, a1 b1) = (0, 1, a b, a1 + b1, a1 b1, a + b, a b + a1 b1, a b1 + a1 b),

G8 (a b1, a1 b) = (0, 1, a b1, a1 + b, a1 b, a + b1, a b + a1 b1, a b1 + a1 b)

viertens sich selber als 16 elementige Gruppe. Zusammen enthält
G (a, b) also 1 + 7 + 6 + 1 = 15 Untergruppen.

Die Gliederung auch dieser Untergruppen wäre leicht in ähnlicher
Weise anzugeben.

Dagegen ist die analoge Aufgabe, die Untergruppen von G256 (a,
b, c) vollständig anzugeben, eine noch ungelöste und signalisirt sich

*) Der Deutlichkeit zuliebe fügen wir die Elementezahl der Gruppe dem
Buchstaben G als Suffix bei.

Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

Um den Abstand irgend zweier Glieder dieser Summe zu erfahren, setze
man sie mit den gleichstelligen Ziffern (ihrer dyadischen Ordnungszahlen)
unter einander, und setze eine Null an, wo zwei gleiche Ziffern (zwei
Nullen oder zwei Einser) unter einander stehen, eine Eins, wo zwei un-
gleiche Ziffern (0 und 1 oder 1 und 0) unter einander stehen. Der ge-
suchte Abstand ist die Ziffernsumme („Quersumme“) des so gebildeten
Ansatzes. [Den letztern könnte man als das „symbolische Produkt“ der
beiden Glieder im Sinne meiner Abhandlung8 § 9 und 10 hinstellen.]

Das Problem sei den Mathematikern zur Weiterführung empfohlen. —

Es enthält nämlich*) G4 (a) = (0, 1, a, a1) — ausser sich selbst
— nur die eine Untergruppe G2 (0) = (0, 1).

G8 (a, a b) = (0, 1, a, a1, a b, a1 + b1, a b1, a1 + b),

G8 (b, a b) = (0, 1, b, b1, a b, a1 + b1, a1 b, a + b1),

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G8 (a b1, a1 b) = (0, 1, a b1, a1 + b, a1 b, a + b1, a b + a1 b1, a b1 + a1 b)

viertens sich selber als 16 elementige Gruppe. Zusammen enthält
G (a, b) also 1 + 7 + 6 + 1 = 15 Untergruppen.

Die Gliederung auch dieser Untergruppen wäre leicht in ähnlicher
Weise anzugeben.

Dagegen ist die analoge Aufgabe, die Untergruppen von G256 (a,
b, c) vollständig anzugeben, eine noch ungelöste und signalisirt sich

*) Der Deutlichkeit zuliebe fügen wir die Elementezahl der Gruppe dem
Buchstaben G als Suffix bei.

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[683/0703] Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. Um den Abstand irgend zweier Glieder dieser Summe zu erfahren, setze man sie mit den gleichstelligen Ziffern (ihrer dyadischen Ordnungszahlen) unter einander, und setze eine Null an, wo zwei gleiche Ziffern (zwei Nullen oder zwei Einser) unter einander stehen, eine Eins, wo zwei un- gleiche Ziffern (0 und 1 oder 1 und 0) unter einander stehen. Der ge- suchte Abstand ist die Ziffernsumme („Quersumme“) des so gebildeten Ansatzes. [Den letztern könnte man als das „symbolische Produkt“ der beiden Glieder im Sinne meiner Abhandlung8 § 9 und 10 hinstellen.] Für 0, 1, 2 Aushebungen hat man jedenfalls bezüglich 1, 1, n als Typenzahlen. Doch schon für 3 Aushebungen ist die Typenzahl mit ihren den Typen einzeln zugehörigen Formenzahlen nur sehr mühsam zu ge- winnen. Das Problem sei den Mathematikern zur Weiterführung empfohlen. — Was die eingangs angeregte Frage nach der Gliederung einer gegebenen Gruppe in Untergruppen, und deren Anzahl, betrifft, so ist dieselbe noch sehr leicht empirisch für G (a) und G (a, b) zu beant- worten. Es enthält nämlich *) G4 (a) = (0, 1, a, a1) — ausser sich selbst — nur die eine Untergruppe G2 (0) = (0, 1). G16 (a, b) enthält als Untergruppen erstens die Nullgruppe G2 (0); zweitens die sieben vierelementigen Gruppen: G4 (a), G4 (b), G4 (a b), G4 (a b1), G4 (a1 b), G4 (a1 b1), G4 (a b1 + a1 b) drittens die sechs achtelementigen Gruppen: G8 (a, a b) = (0, 1, a, a1, a b, a1 + b1, a b1, a1 + b), G8 (b, a b) = (0, 1, b, b1, a b, a1 + b1, a1 b, a + b1), G8 (a, a1 b) = (0, 1, a, a1, a1 b, a + b1, a1 b1, a + b), G8 (b, a b1) = (0, 1, b, b1, a b1, a1 + b, a1 b1, a + b), G8 (a b, a1 b1) = (0, 1, a b, a1 + b1, a1 b1, a + b, a b + a1 b1, a b1 + a1 b), G8 (a b1, a1 b) = (0, 1, a b1, a1 + b, a1 b, a + b1, a b + a1 b1, a b1 + a1 b) viertens sich selber als 16 elementige Gruppe. Zusammen enthält G (a, b) also 1 + 7 + 6 + 1 = 15 Untergruppen. Die Gliederung auch dieser Untergruppen wäre leicht in ähnlicher Weise anzugeben. Dagegen ist die analoge Aufgabe, die Untergruppen von G256 (a, b, c) vollständig anzugeben, eine noch ungelöste und signalisirt sich *) Der Deutlichkeit zuliebe fügen wir die Elementezahl der Gruppe dem Buchstaben G als Suffix bei.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 683. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/703>, abgerufen am 16.02.2025.

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