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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Anhang 6.

Da C aus B hervorgeht, indem man b und c vertauscht, so braucht
die Probe auf Vollständigkeit blos bei den Gruppen A, B und D aus-
geführt zu werden: für diese aber ist sie von erster Wichtigkeit, da
auf der konstatirten Vollständigkeit die Beweiskraft der Überlegungen
beruht. [Man müsste sich hier also der nicht unerheblichen Mühe des
systematischen Intermultiplizirens und Interaddirens unterziehen.]

Nach dem aufgestellten Begriffe der logischen Summe von Gruppen
haben wir nun:
B + C = D,
weil G (a b, a c, b c) die Bestimmungselemente von G (a b, b c) und
G (a c, b c) in sich vereinigt. Daher ist:
A · (B + C) = A · D = A
-- nach Th. 20x), weil ja A D, wie oben erwähnt, sein musste.

Andrerseits ist es leicht, die Produkte A · B und A · C der ersten
Gruppe in die beiden auf sie folgenden zu ermitteln.

Sucht man die Elemente auf, welche die Gruppen A und B, nämlich
ihre Elementensysteme, gemein haben, so bildet deren System not-
wendig wieder eine Gruppe. Diese möge E heissen; so lehrt der blosse
Anblick von A und B, dass
E = G4 (a b c) = {0, 1, a b c, a1 + b1 + c1}
ist, und haben wir also:
A · B = E.

Ebenso zeigt sich aber auch, dass
A · C = E
ist (wie zum Überfluss auch schon aus der Symmetrie von E bezüg-
lich a, b, c hervorgeht).

Darnach wird sein müssen:
A · B + A · C = E + E = E.

Nun deckt aber E sich keineswegs mit A, es ist sonach auch
A B + A C verschieden von, jedenfalls ungleich A (B + C), welches
gleich A erwiesen. Man bemerkt, dass E nur eine (d. i. eine "echte")
Untergruppe von A ist; wir haben:
E A
und folglich auch (durch beiderseitige Einsetzung des Gleichen):
A B + A C A (B + C)
womit nachgewiesen ist, dass es im logischen Kalkul mit Gruppen
Fälle gibt, in welchen die Formel des Distributionsgesetzes nur ein-
seitig als eine Unterordnung gilt.

Anhang 6.

Da C aus B hervorgeht, indem man b und c vertauscht, so braucht
die Probe auf Vollständigkeit blos bei den Gruppen A, B und D aus-
geführt zu werden: für diese aber ist sie von erster Wichtigkeit, da
auf der konstatirten Vollständigkeit die Beweiskraft der Überlegungen
beruht. [Man müsste sich hier also der nicht unerheblichen Mühe des
systematischen Intermultiplizirens und Interaddirens unterziehen.]

Nach dem aufgestellten Begriffe der logischen Summe von Gruppen
haben wir nun:
B + C = D,
weil G (a b, a c, b c) die Bestimmungselemente von G (a b, b c) und
G (a c, b c) in sich vereinigt. Daher ist:
A · (B + C) = A · D = A
— nach Th. 20×), weil ja A ⋹ D, wie oben erwähnt, sein musste.

Andrerseits ist es leicht, die Produkte A · B und A · C der ersten
Gruppe in die beiden auf sie folgenden zu ermitteln.

Sucht man die Elemente auf, welche die Gruppen A und B, nämlich
ihre Elementensysteme, gemein haben, so bildet deren System not-
wendig wieder eine Gruppe. Diese möge E heissen; so lehrt der blosse
Anblick von A und B, dass
E = G4 (a b c) = {0, 1, a b c, a1 + b1 + c1}
ist, und haben wir also:
A · B = E.

Ebenso zeigt sich aber auch, dass
A · C = E
ist (wie zum Überfluss auch schon aus der Symmetrie von E bezüg-
lich a, b, c hervorgeht).

Darnach wird sein müssen:
A · B + A · C = E + E = E.

Nun deckt aber E sich keineswegs mit A, es ist sonach auch
A B + A C verschieden von, jedenfalls ungleich A (B + C), welches
gleich A erwiesen. Man bemerkt, dass E nur eine (d. i. eine „echte“)
Untergruppe von A ist; wir haben:
E ⊂ A
und folglich auch (durch beiderseitige Einsetzung des Gleichen):
A B + A C ⊂ A (B + C)
womit nachgewiesen ist, dass es im logischen Kalkul mit Gruppen
Fälle gibt, in welchen die Formel des Distributionsgesetzes nur ein-
seitig als eine Unterordnung gilt.

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[686/0706] Anhang 6. Da C aus B hervorgeht, indem man b und c vertauscht, so braucht die Probe auf Vollständigkeit blos bei den Gruppen A, B und D aus- geführt zu werden: für diese aber ist sie von erster Wichtigkeit, da auf der konstatirten Vollständigkeit die Beweiskraft der Überlegungen beruht. [Man müsste sich hier also der nicht unerheblichen Mühe des systematischen Intermultiplizirens und Interaddirens unterziehen.] Nach dem aufgestellten Begriffe der logischen Summe von Gruppen haben wir nun: B + C = D, weil G (a b, a c, b c) die Bestimmungselemente von G (a b, b c) und G (a c, b c) in sich vereinigt. Daher ist: A · (B + C) = A · D = A — nach Th. 20×), weil ja A ⋹ D, wie oben erwähnt, sein musste. Andrerseits ist es leicht, die Produkte A · B und A · C der ersten Gruppe in die beiden auf sie folgenden zu ermitteln. Sucht man die Elemente auf, welche die Gruppen A und B, nämlich ihre Elementensysteme, gemein haben, so bildet deren System not- wendig wieder eine Gruppe. Diese möge E heissen; so lehrt der blosse Anblick von A und B, dass E = G4 (a b c) = {0, 1, a b c, a1 + b1 + c1} ist, und haben wir also: A · B = E. Ebenso zeigt sich aber auch, dass A · C = E ist (wie zum Überfluss auch schon aus der Symmetrie von E bezüg- lich a, b, c hervorgeht). Darnach wird sein müssen: A · B + A · C = E + E = E. Nun deckt aber E sich keineswegs mit A, es ist sonach auch A B + A C verschieden von, jedenfalls ungleich A (B + C), welches gleich A erwiesen. Man bemerkt, dass E nur eine (d. i. eine „echte“) Untergruppe von A ist; wir haben: E ⊂ A und folglich auch (durch beiderseitige Einsetzung des Gleichen): A B + A C ⊂ A (B + C) womit nachgewiesen ist, dass es im logischen Kalkul mit Gruppen Fälle gibt, in welchen die Formel des Distributionsgesetzes nur ein- seitig als eine Unterordnung gilt.

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Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 686. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/706>, abgerufen am 18.12.2024.