x = ph (a, b, ..), y = ps (a, b, ..), z = kh (a, b, ..) so kann man andrerseits auch umgekehrt, indem man jene Resultante R = 0 als gegeben, als eine von den Unbekannten x, y, z zu erfüllende Relation ansieht, diese drei Gleichungen x = ph, etc. auffassen als die Lösungen dieser Aufgabe, nämlich als die Formeln, welche die (oder gewisse) Wurzeln jener Gleichung R = 0 in unabhängigen Parametern a, b, .. ausgedrückt darstellen.
Wie von Anfang schon bei der Zahl der Unbekannten, so wollen wir jetzt auch hinsichtlich der Anzahl der Parameter uns auf die An- nahme beschränken, dass es ihrer dreie seien: a, b und c.
Die rechten Seiten unserer drei Gleichungen nämlich ph (a, b, c), ps (a, b, c), kh (a, b, c), werden alsdann ebenfalls Elemente sein der Gruppe G (a, b, c). Und sollten etwa durch cyklische Vertauschung von a, b und c diese drei Funktionen in einander übergehen, so werden wir in Gestalt von a) z = ph (a, b, c), y = ph (b, c, a), z = ph (c, a, b) symmetrische Lösungen haben für die, wie sich zeigen wird, auch hin- sichtlich der Unbekannten symmetrische Aufgabe, die Gleichung R = 0, ausführlicher R (x, y, z) = 0 aufzulösen.
Gedachte Lösungen verdienen den Beinamen von allgemeinen Lösungen allermindestens insofern, als sie bei der Willkürlichkeit der Parameter a, b, c uns unendlich viele Systeme von Wurzeln der Gleichung R = 0 ausdrücken. Sie verdienen aber sogar als "die all- gemeinen" Lösungen hingestellt zu werden, nämlich als Ausdrücke, welche jedes erdenkliche System von Wurzeln der Gleichung R = 0 schon in sich fassen werden, indem in § 22 erkannt wurde, dass (die notwendige und) eine hinreichende Bedingung für die Auflösbarkeit des Gleichungensystems x = ph, y = ps, z = kh nach den Unbekannten a, b, c die ist, dass die Resultante R = 0 der Elimination von a, b, c aus dem Systeme erfüllt sei; es werden demnach die Parameter a, b, c sich auch immer so bestimmen lassen, dass für ein (irgendwie) ge- gebenes, nur aber die Forderung R = 0 erfüllendes Wertsystem der Unbekannten x, y, z jene drei Gleichungen gerade dieses Systems von Wurzeln darstellen.
Wir haben dann also kurz "die symmetrisch allgemeinen Lösungen" der Gleichung R = 0. Der Form nach kann (und wird) es noch ver- schiedene Systeme solcher Lösungen für eine nämliche Gleichung R = 0
Anhang 6.
x = φ (a, b, ‥), y = ψ (a, b, ‥), z = χ (a, b, ‥) so kann man andrerseits auch umgekehrt, indem man jene Resultante R = 0 als gegeben, als eine von den Unbekannten x, y, z zu erfüllende Relation ansieht, diese drei Gleichungen x = φ, etc. auffassen als die Lösungen dieser Aufgabe, nämlich als die Formeln, welche die (oder gewisse) Wurzeln jener Gleichung R = 0 in unabhängigen Parametern a, b, ‥ ausgedrückt darstellen.
Wie von Anfang schon bei der Zahl der Unbekannten, so wollen wir jetzt auch hinsichtlich der Anzahl der Parameter uns auf die An- nahme beschränken, dass es ihrer dreie seien: a, b und c.
Die rechten Seiten unserer drei Gleichungen nämlich φ (a, b, c), ψ (a, b, c), χ (a, b, c), werden alsdann ebenfalls Elemente sein der Gruppe G (a, b, c). Und sollten etwa durch cyklische Vertauschung von a, b und c diese drei Funktionen in einander übergehen, so werden wir in Gestalt von α) z = φ (a, b, c), y = φ (b, c, a), z = φ (c, a, b) symmetrische Lösungen haben für die, wie sich zeigen wird, auch hin- sichtlich der Unbekannten symmetrische Aufgabe, die Gleichung R = 0, ausführlicher R (x, y, z) = 0 aufzulösen.
Gedachte Lösungen verdienen den Beinamen von allgemeinen Lösungen allermindestens insofern, als sie bei der Willkürlichkeit der Parameter a, b, c uns unendlich viele Systeme von Wurzeln der Gleichung R = 0 ausdrücken. Sie verdienen aber sogar als „die all- gemeinen“ Lösungen hingestellt zu werden, nämlich als Ausdrücke, welche jedes erdenkliche System von Wurzeln der Gleichung R = 0 schon in sich fassen werden, indem in § 22 erkannt wurde, dass (die notwendige und) eine hinreichende Bedingung für die Auflösbarkeit des Gleichungensystems x = φ, y = ψ, z = χ nach den Unbekannten a, b, c die ist, dass die Resultante R = 0 der Elimination von a, b, c aus dem Systeme erfüllt sei; es werden demnach die Parameter a, b, c sich auch immer so bestimmen lassen, dass für ein (irgendwie) ge- gebenes, nur aber die Forderung R = 0 erfüllendes Wertsystem der Unbekannten x, y, z jene drei Gleichungen gerade dieses Systems von Wurzeln darstellen.
Wir haben dann also kurz „die symmetrisch allgemeinen Lösungen“ der Gleichung R = 0. Der Form nach kann (und wird) es noch ver- schiedene Systeme solcher Lösungen für eine nämliche Gleichung R = 0
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Anhang 6.
x = φ (a, b, ‥), y = ψ (a, b, ‥), z = χ (a, b, ‥)
so kann man andrerseits auch umgekehrt, indem man jene Resultante
R = 0 als gegeben, als eine von den Unbekannten x, y, z zu erfüllende
Relation ansieht, diese drei Gleichungen x = φ, etc. auffassen als die
Lösungen dieser Aufgabe, nämlich als die Formeln, welche die (oder
gewisse) Wurzeln jener Gleichung R = 0 in unabhängigen Parametern
a, b, ‥ ausgedrückt darstellen.
Wie von Anfang schon bei der Zahl der Unbekannten, so wollen
wir jetzt auch hinsichtlich der Anzahl der Parameter uns auf die An-
nahme beschränken, dass es ihrer dreie seien: a, b und c.
Die rechten Seiten unserer drei Gleichungen nämlich
φ (a, b, c), ψ (a, b, c), χ (a, b, c),
werden alsdann ebenfalls Elemente sein der Gruppe G (a, b, c). Und
sollten etwa durch cyklische Vertauschung von a, b und c diese drei
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α) z = φ (a, b, c), y = φ (b, c, a), z = φ (c, a, b)
symmetrische Lösungen haben für die, wie sich zeigen wird, auch hin-
sichtlich der Unbekannten symmetrische Aufgabe, die Gleichung
R = 0, ausführlicher R (x, y, z) = 0
aufzulösen.
Gedachte Lösungen verdienen den Beinamen von allgemeinen
Lösungen allermindestens insofern, als sie bei der Willkürlichkeit der
Parameter a, b, c uns unendlich viele Systeme von Wurzeln der
Gleichung R = 0 ausdrücken. Sie verdienen aber sogar als „die all-
gemeinen“ Lösungen hingestellt zu werden, nämlich als Ausdrücke,
welche jedes erdenkliche System von Wurzeln der Gleichung R = 0
schon in sich fassen werden, indem in § 22 erkannt wurde, dass (die
notwendige und) eine hinreichende Bedingung für die Auflösbarkeit
des Gleichungensystems x = φ, y = ψ, z = χ nach den Unbekannten
a, b, c die ist, dass die Resultante R = 0 der Elimination von a, b, c
aus dem Systeme erfüllt sei; es werden demnach die Parameter a, b, c
sich auch immer so bestimmen lassen, dass für ein (irgendwie) ge-
gebenes, nur aber die Forderung R = 0 erfüllendes Wertsystem der
Unbekannten x, y, z jene drei Gleichungen gerade dieses Systems von
Wurzeln darstellen.
Wir haben dann also kurz „die symmetrisch allgemeinen Lösungen“
der Gleichung R = 0. Der Form nach kann (und wird) es noch ver-
schiedene Systeme solcher Lösungen für eine nämliche Gleichung R = 0
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 690. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/710>, abgerufen am 21.11.2024.
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