und von den Ausdrücken eines zu sich selbst komplementären Typus nur die eine Hälfte.
Ist beispielsweise R4 als Resultante zu x = a1b c + a b1c1 ermittelt, so muss R4' die Resultante sein zu dem Ansatze x = (a + b1 + c1) (a1 + b + c) = a b + a1c1 + b1c. Und -- in Illustration zu den vorhergehenden Be- merkungen -- ist R3' die Resultante zu dem Ansatze x = a + b c1, so muss es auch die Resultante sein zu dem x = a + b1c, der durch Ver- tauschung von b und c aus ihm hervorgeht.
Ist R5 die Resultante zu x = a (b c1 + b1c), so muss es auch die zu x = a1 (b c1 + b1c) sein, weil letzteres Gleichungensystem durch Vertauschung von a, b, c mit a1, b1, c1 in das vorige übergeht. Etc.
Hiernach ist es nur mehr eine kleine Geduldsprobe, die Vollständigkeit unsrer Resultantentafel nachzuweisen.
Mühsam bleibt aber die Ableitung von 19 der zusammengestellten 44 Resultanten selbst, von welchen 20 direkt abgeleitet werden mussten (was nur bei dem Ansatze: x = a sich auf den ersten Blick erledigt -- und wobei die ebenso selbstverständlich auf R7 führenden Fälle nicht ein- gerechnet sind). Ich habe nach schon erläuterten und auch noch nicht er- läuterten Methoden das Eliminationsverfahren auf die mannigfaltigste Weise variirt, dasselbe aber immer als ein mühsam anzuwendendes gefunden; und wer mir auch nur einen Teil der Resultanten nachrechnet, wird sicherlich gleich mir den Wunsch nicht unterdrücken können, dass hierbei eine Art von Denkrechenmaschine die mechanische Arbeit abnehmen möchte! --
Versuchen wir jetzt noch den rückständigen Beweis des sehr plausibeln Satzes zu leisten, den auch die Erfahrung in den vorstehenden Aufgaben bestätigte: dass die Resultante R (x, y, z) = 0 der Elimination von a, b, c aus den drei Gleichungen: x = ph (a, b, c), y = ph (b, c, a), z = ph (c, a, b) eine symmetrische Funktion von x, y, z sein müsse, so sollte man meinen, dieser Beweis müsste a priori gelingen: es müsste gelingen, zu zeigen, dass wenn man irgend zwei Argumente von R, wie etwa y und z, in den vor- liegenden Gleichungen vertauscht, die nämliche Resultante herauskommen wird. Gelänge dies, so wäre in der That der Beweis der Symmetrie von R erbracht, indem sich durch eventuell wiederholtes Vertauschen ("Trans- position") von immer nur zweien der Argumente x, y, z bekanntlich jede erdenkliche Anordnung derselben würde herstellen lassen. Auffallender- weise ist es nun aber auf keine Weise möglich, die drei Gleichungen: x = ph (a, b, c), z = ph (b, c, a), y = ph (c, a, b) durch was immer für Vertauschungen unter den Parametern a, b, c in die vorigen dreie zu transformiren, wie es der Leser leichtlich nachweisen wird. Und die Versuche einer Beweisführung auf dem angedeuteten Wege scheinen fehlzuschlagen, auch wenn man etwa noch in Berücksichtigung zieht, dass es von vornherein gleichgültig gewesen, in welcher Reihenfolge man die Argumente der Funktion ph ansetzen mochte. Die Funktion ph (a, b, c) hätte man ja z. B. auch Ph (a, c, b) nennen können. Allerdings, wenn man b
Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.
und von den Ausdrücken eines zu sich selbst komplementären Typus nur die eine Hälfte.
Ist beispielsweise R4 als Resultante zu x = a1b c + a b1c1 ermittelt, so muss R4' die Resultante sein zu dem Ansatze x = (a + b1 + c1) (a1 + b + c) = a b + a1c1 + b1c. Und — in Illustration zu den vorhergehenden Be- merkungen — ist R3' die Resultante zu dem Ansatze x = a + b c1, so muss es auch die Resultante sein zu dem x = a + b1c, der durch Ver- tauschung von b und c aus ihm hervorgeht.
Ist R5 die Resultante zu x = a (b c1 + b1c), so muss es auch die zu x = a1 (b c1 + b1c) sein, weil letzteres Gleichungensystem durch Vertauschung von a, b, c mit a1, b1, c1 in das vorige übergeht. Etc.
Hiernach ist es nur mehr eine kleine Geduldsprobe, die Vollständigkeit unsrer Resultantentafel nachzuweisen.
Mühsam bleibt aber die Ableitung von 19 der zusammengestellten 44 Resultanten selbst, von welchen 20 direkt abgeleitet werden mussten (was nur bei dem Ansatze: x = a sich auf den ersten Blick erledigt — und wobei die ebenso selbstverständlich auf R7 führenden Fälle nicht ein- gerechnet sind). Ich habe nach schon erläuterten und auch noch nicht er- läuterten Methoden das Eliminationsverfahren auf die mannigfaltigste Weise variirt, dasselbe aber immer als ein mühsam anzuwendendes gefunden; und wer mir auch nur einen Teil der Resultanten nachrechnet, wird sicherlich gleich mir den Wunsch nicht unterdrücken können, dass hierbei eine Art von Denkrechenmaschine die mechanische Arbeit abnehmen möchte! —
Versuchen wir jetzt noch den rückständigen Beweis des sehr plausibeln Satzes zu leisten, den auch die Erfahrung in den vorstehenden Aufgaben bestätigte: dass die Resultante R (x, y, z) = 0 der Elimination von a, b, c aus den drei Gleichungen: x = φ (a, b, c), y = φ (b, c, a), z = φ (c, a, b) eine symmetrische Funktion von x, y, z sein müsse, so sollte man meinen, dieser Beweis müsste a priori gelingen: es müsste gelingen, zu zeigen, dass wenn man irgend zwei Argumente von R, wie etwa y und z, in den vor- liegenden Gleichungen vertauscht, die nämliche Resultante herauskommen wird. Gelänge dies, so wäre in der That der Beweis der Symmetrie von R erbracht, indem sich durch eventuell wiederholtes Vertauschen („Trans- position“) von immer nur zweien der Argumente x, y, z bekanntlich jede erdenkliche Anordnung derselben würde herstellen lassen. Auffallender- weise ist es nun aber auf keine Weise möglich, die drei Gleichungen: x = φ (a, b, c), z = φ (b, c, a), y = φ (c, a, b) durch was immer für Vertauschungen unter den Parametern a, b, c in die vorigen dreie zu transformiren, wie es der Leser leichtlich nachweisen wird. Und die Versuche einer Beweisführung auf dem angedeuteten Wege scheinen fehlzuschlagen, auch wenn man etwa noch in Berücksichtigung zieht, dass es von vornherein gleichgültig gewesen, in welcher Reihenfolge man die Argumente der Funktion φ ansetzen mochte. Die Funktion φ (a, b, c) hätte man ja z. B. auch Φ (a, c, b) nennen können. Allerdings, wenn man b
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[695/0715]
Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.
und von den Ausdrücken eines zu sich selbst komplementären Typus nur
die eine Hälfte.
Ist beispielsweise R4 als Resultante zu x = a1 b c + a b1 c1 ermittelt, so
muss R4' die Resultante sein zu dem Ansatze x = (a + b1 + c1) (a1 + b + c)
= a b + a1 c1 + b1 c. Und — in Illustration zu den vorhergehenden Be-
merkungen — ist R3' die Resultante zu dem Ansatze x = a + b c1, so
muss es auch die Resultante sein zu dem x = a + b1 c, der durch Ver-
tauschung von b und c aus ihm hervorgeht.
Ist R5 die Resultante zu x = a (b c1 + b1 c), so muss es auch die zu
x = a1 (b c1 + b1 c) sein, weil letzteres Gleichungensystem durch Vertauschung
von a, b, c mit a1, b1, c1 in das vorige übergeht. Etc.
Hiernach ist es nur mehr eine kleine Geduldsprobe, die Vollständigkeit
unsrer Resultantentafel nachzuweisen.
Mühsam bleibt aber die Ableitung von 19 der zusammengestellten 44
Resultanten selbst, von welchen 20 direkt abgeleitet werden mussten (was
nur bei dem Ansatze: x = a sich auf den ersten Blick erledigt — und
wobei die ebenso selbstverständlich auf R7 führenden Fälle nicht ein-
gerechnet sind). Ich habe nach schon erläuterten und auch noch nicht er-
läuterten Methoden das Eliminationsverfahren auf die mannigfaltigste Weise
variirt, dasselbe aber immer als ein mühsam anzuwendendes gefunden; und
wer mir auch nur einen Teil der Resultanten nachrechnet, wird sicherlich
gleich mir den Wunsch nicht unterdrücken können, dass hierbei eine Art
von Denkrechenmaschine die mechanische Arbeit abnehmen möchte! —
Versuchen wir jetzt noch den rückständigen Beweis des sehr plausibeln
Satzes zu leisten, den auch die Erfahrung in den vorstehenden Aufgaben
bestätigte: dass die Resultante R (x, y, z) = 0 der Elimination von a, b, c
aus den drei Gleichungen:
x = φ (a, b, c), y = φ (b, c, a), z = φ (c, a, b)
eine symmetrische Funktion von x, y, z sein müsse, so sollte man meinen,
dieser Beweis müsste a priori gelingen: es müsste gelingen, zu zeigen, dass
wenn man irgend zwei Argumente von R, wie etwa y und z, in den vor-
liegenden Gleichungen vertauscht, die nämliche Resultante herauskommen
wird. Gelänge dies, so wäre in der That der Beweis der Symmetrie von
R erbracht, indem sich durch eventuell wiederholtes Vertauschen („Trans-
position“) von immer nur zweien der Argumente x, y, z bekanntlich jede
erdenkliche Anordnung derselben würde herstellen lassen. Auffallender-
weise ist es nun aber auf keine Weise möglich, die drei Gleichungen:
x = φ (a, b, c), z = φ (b, c, a), y = φ (c, a, b)
durch was immer für Vertauschungen unter den Parametern a, b, c in die
vorigen dreie zu transformiren, wie es der Leser leichtlich nachweisen wird.
Und die Versuche einer Beweisführung auf dem angedeuteten Wege scheinen
fehlzuschlagen, auch wenn man etwa noch in Berücksichtigung zieht, dass
es von vornherein gleichgültig gewesen, in welcher Reihenfolge man die
Argumente der Funktion φ ansetzen mochte. Die Funktion φ (a, b, c) hätte
man ja z. B. auch Φ (a, c, b) nennen können. Allerdings, wenn man b
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 695. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/715>, abgerufen am 18.12.2024.
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