Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

§ 34. Elementar- und Grundbeziehungen, anschaulich eingeführt.
musste, um die identische Multiplikation A · B zu einer allgemein an-
wendbaren oder unbedingt ausführbaren Operation zu machen.

Wir sind nämlich bereits verpflichtet, die Gleichung
0 = 0
als richtig anzuerkennen, das Beziehungszeichen der Gleichheit also
als ein auch anwendbares gelten zu lassen, mit auszudehnen auf den
Fall, wo eines der beiden verglichenen Gebiete und dann also auch
das andre in 0 ausartet, degenerirt. Da für A = B = 0 auch
A B = 0 ist, so gehört dieser Fall aber gar nicht zu a1 (und folglich
auch nicht zu a100 oder d), sondern zu a.

Ebenso finden wir für die Zulassung des Falles A = 0 bei f und
des Falles B = 0 bei e Bestimmungsgründe vor.

Beim Studium der Subsumtion kamen wir ja dazu, auch die Pro-
positionen
0 B, A 0
aufzustellen -- cf. Def. (2x) -- und sollte eine solche Subsumtion
0 B nach § 1 uns ausdrücken, dass entweder 0 = B oder aber
0 B sei. Sooft nun also nicht gerade B = 0, das heisst, sooft
B 0 ist, müssen wir auch:
0 B, entsprechend desgleichen A 0
für ein von 0 verschiedenes A, stets gelten lassen. In diesen beiden
Fällen ist nun aber wiederum A B [ = 0 · B resp. A · 0] = 0, sodass
sie unter a, nicht aber unter a1 und g, resp. b, fallen.

Die Zeichen =, , wurden schon in § 1 beschrieben, motivirt
und gerechtfertigt. Das Zeichen , in dessen Wahl ich mit Wundt zu-
sammentreffe, spricht für sich selbst, insofern es erstens zunächst nicht un-
geeignet erscheint, vor allem nämlich gebührend symmetrisch ist -- nicht
nur, was minder wichtig, in Bezug auf oben und unten, wo die Symmetrie
angezeigt erscheint in Ermangelung jeden Grundes, es nach diesen Rich-
tungen verschieden zu gestalten -- sondern auch, was erheblicher, in Be-
zug auf links und rechts, wie es denn auch eine symmetrische Beziehung
zwischen den durch dasselbe als linke und rechte Seite zu verknüpfenden
Ausdrücken darzustellen hat: sooft A B, wird auch B A sich als
gültig erweisen, sodass man die Propositionen dieser Art nun ohne weiteres,
wird rückwärts lesen können. Zweitens aber empfiehlt sich jenes Zeichen
als das allergeeignetste dadurch, dass es die wirkliche, zwischen den Gebieten
A und B bestehende Beziehung in sich abbildet, den wesentlichen Teil der
Figur 16 kopirt: man braucht die divergirenden Äste eines jeden der
beiden in unserm Zeichen einander durchsetzenden Bögen nur fortgesetzt
zu denken, sei es in's Unbegrenzte, sei es -- noch besser -- so, dass sie
etwa je zu einem Ovale sich zusammenschliessen, so wird man die Kon-
turen der Gebiete A und B vollständig in dem Zeichen erblicken, und

Schröder, Algebra der Logik. II. 7

§ 34. Elementar- und Grundbeziehungen, anschaulich eingeführt.
musste, um die identische Multiplikation A · B zu einer allgemein an-
wendbaren oder unbedingt ausführbaren Operation zu machen.

Wir sind nämlich bereits verpflichtet, die Gleichung
0 = 0
als richtig anzuerkennen, das Beziehungszeichen der Gleichheit also
als ein auch anwendbares gelten zu lassen, mit auszudehnen auf den
Fall, wo eines der beiden verglichenen Gebiete und dann also auch
das andre in 0 ausartet, degenerirt. Da für A = B = 0 auch
A B = 0 ist, so gehört dieser Fall aber gar nicht zu a1 (und folglich
auch nicht zu a100 oder δ), sondern zu a.

Ebenso finden wir für die Zulassung des Falles A = 0 bei f und
des Falles B = 0 bei e Bestimmungsgründe vor.

Beim Studium der Subsumtion kamen wir ja dazu, auch die Pro-
positionen
0 ⊆ B, A ⊆ 0
aufzustellen — cf. Def. (2×) — und sollte eine solche Subsumtion
0 ⊆ B nach § 1 uns ausdrücken, dass entweder 0 = B oder aber
0 ⊂ B sei. Sooft nun also nicht gerade B = 0, das heisst, sooft
B ≠ 0 ist, müssen wir auch:
0 ⊂ B, entsprechend desgleichen A ⊃ 0
für ein von 0 verschiedenes A, stets gelten lassen. In diesen beiden
Fällen ist nun aber wiederum A B [ = 0 · B resp. A · 0] = 0, sodass
sie unter a, nicht aber unter a1 und γ, resp. β, fallen.

Die Zeichen =, ⊂ , ⊃ wurden schon in § 1 beschrieben, motivirt
und gerechtfertigt. Das Zeichen ⊆ , in dessen Wahl ich mit Wundt zu-
sammentreffe, spricht für sich selbst, insofern es erstens zunächst nicht un-
geeignet erscheint, vor allem nämlich gebührend symmetrisch ist — nicht
nur, was minder wichtig, in Bezug auf oben und unten, wo die Symmetrie
angezeigt erscheint in Ermangelung jeden Grundes, es nach diesen Rich-
tungen verschieden zu gestalten — sondern auch, was erheblicher, in Be-
zug auf links und rechts, wie es denn auch eine symmetrische Beziehung
zwischen den durch dasselbe als linke und rechte Seite zu verknüpfenden
Ausdrücken darzustellen hat: sooft A ⊆ B, wird auch B ⊆ A sich als
gültig erweisen, sodass man die Propositionen dieser Art nun ohne weiteres,
wird rückwärts lesen können. Zweitens aber empfiehlt sich jenes Zeichen
als das allergeeignetste dadurch, dass es die wirkliche, zwischen den Gebieten
A und B bestehende Beziehung in sich abbildet, den wesentlichen Teil der
Figur 16 kopirt: man braucht die divergirenden Äste eines jeden der
beiden in unserm Zeichen einander durchsetzenden Bögen nur fortgesetzt
zu denken, sei es in’s Unbegrenzte, sei es — noch besser — so, dass sie
etwa je zu einem Ovale sich zusammenschliessen, so wird man die Kon-
turen der Gebiete A und B vollständig in dem Zeichen erblicken, und

Schröder, Algebra der Logik. II. 7
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <p><pb facs="#f0121" n="97"/><fw place="top" type="header">§ 34. Elementar- und Grundbeziehungen, anschaulich eingeführt.</fw><lb/><hi rendition="#i">musste</hi>, um die identische Multiplikation <hi rendition="#i">A</hi> · <hi rendition="#i">B</hi> zu einer allgemein an-<lb/>
wendbaren oder unbedingt ausführbaren Operation zu machen.</p><lb/>
            <p>Wir sind nämlich bereits verpflichtet, die Gleichung<lb/><hi rendition="#c">0 = 0</hi><lb/>
als richtig anzuerkennen, das Beziehungszeichen der Gleichheit also<lb/>
als ein auch anwendbares gelten zu lassen, mit auszudehnen auf den<lb/>
Fall, wo eines der beiden verglichenen Gebiete und dann also auch<lb/>
das andre in 0 ausartet, degenerirt. Da für <hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">B</hi> = 0 auch<lb/><hi rendition="#i">A B</hi> = 0 ist, so gehört dieser Fall aber gar nicht zu <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (und folglich<lb/>
auch nicht zu <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#sup">00</hi> oder <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi>), sondern zu <hi rendition="#i">a</hi>.</p><lb/>
            <p>Ebenso finden wir für die Zulassung des Falles <hi rendition="#i">A</hi> = 0 bei <hi rendition="#i">f</hi> und<lb/>
des Falles <hi rendition="#i">B</hi> = 0 bei <hi rendition="#i">e</hi> Bestimmungsgründe vor.</p><lb/>
            <p>Beim Studium der Subsumtion kamen wir ja dazu, auch die Pro-<lb/>
positionen<lb/><hi rendition="#c">0 <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi>, <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice>   0</hi><lb/>
aufzustellen &#x2014; cf. Def. (2<hi rendition="#sub">×</hi>) &#x2014; und sollte eine solche Subsumtion<lb/>
0 <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi> nach § 1 uns ausdrücken, dass entweder 0 = <hi rendition="#i">B</hi> oder aber<lb/>
0 &#x2282; <hi rendition="#i">B</hi> sei. Sooft nun also nicht gerade <hi rendition="#i">B</hi> = 0, das heisst, sooft<lb/><hi rendition="#i">B</hi> &#x2260; 0 ist, müssen wir auch:<lb/><hi rendition="#c">0 &#x2282; <hi rendition="#i">B</hi>, entsprechend desgleichen <hi rendition="#i">A</hi> &#x2283; 0</hi><lb/>
für ein von 0 verschiedenes <hi rendition="#i">A</hi>, stets gelten lassen. In diesen beiden<lb/>
Fällen ist nun aber wiederum <hi rendition="#i">A B</hi> [ = 0 · <hi rendition="#i">B</hi> resp. <hi rendition="#i">A</hi> · 0] = 0, sodass<lb/>
sie unter <hi rendition="#i">a</hi>, nicht aber unter <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi>, resp. <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>, fallen.</p><lb/>
            <p>Die Zeichen =, &#x2282; , &#x2283; wurden schon in § 1 beschrieben, motivirt<lb/>
und gerechtfertigt. Das Zeichen <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice>  , in dessen Wahl ich mit <hi rendition="#g">Wundt</hi> zu-<lb/>
sammentreffe, spricht für sich selbst, insofern es erstens zunächst <hi rendition="#i">nicht un-<lb/>
geeignet</hi> erscheint, vor allem nämlich gebührend symmetrisch ist &#x2014; nicht<lb/>
nur, was minder wichtig, in Bezug auf oben und unten, wo die Symmetrie<lb/>
angezeigt erscheint in Ermangelung jeden Grundes, es nach diesen Rich-<lb/>
tungen verschieden zu gestalten &#x2014; sondern auch, was erheblicher, in Be-<lb/>
zug auf links und rechts, wie es denn auch eine symmetrische Beziehung<lb/>
zwischen den durch dasselbe als linke und rechte Seite zu verknüpfenden<lb/>
Ausdrücken darzustellen hat: sooft <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi>, wird auch <hi rendition="#i">B</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">A</hi> sich als<lb/>
gültig erweisen, sodass man die Propositionen dieser Art nun ohne weiteres,<lb/>
wird rückwärts lesen können. Zweitens aber empfiehlt sich jenes Zeichen<lb/>
als <hi rendition="#i">das allergeeignetste</hi> dadurch, dass es die wirkliche, zwischen den Gebieten<lb/><hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> bestehende Beziehung in sich <hi rendition="#i">abbildet, den wesentlichen Teil der<lb/>
Figur 16 kopirt:</hi> man braucht die divergirenden Äste eines jeden der<lb/>
beiden in unserm Zeichen einander durchsetzenden Bögen nur fortgesetzt<lb/>
zu denken, sei es in&#x2019;s Unbegrenzte, sei es &#x2014; noch besser &#x2014; so, dass sie<lb/>
etwa je zu einem Ovale sich zusammenschliessen, so wird man die Kon-<lb/>
turen der Gebiete <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">B</hi> vollständig in dem Zeichen erblicken, und<lb/>
<fw place="bottom" type="sig"><hi rendition="#k">Schröder</hi>, Algebra der Logik. II. 7</fw><lb/></p>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[97/0121] § 34. Elementar- und Grundbeziehungen, anschaulich eingeführt. musste, um die identische Multiplikation A · B zu einer allgemein an- wendbaren oder unbedingt ausführbaren Operation zu machen. Wir sind nämlich bereits verpflichtet, die Gleichung 0 = 0 als richtig anzuerkennen, das Beziehungszeichen der Gleichheit also als ein auch anwendbares gelten zu lassen, mit auszudehnen auf den Fall, wo eines der beiden verglichenen Gebiete und dann also auch das andre in 0 ausartet, degenerirt. Da für A = B = 0 auch A B = 0 ist, so gehört dieser Fall aber gar nicht zu a1 (und folglich auch nicht zu a100 oder δ), sondern zu a. Ebenso finden wir für die Zulassung des Falles A = 0 bei f und des Falles B = 0 bei e Bestimmungsgründe vor. Beim Studium der Subsumtion kamen wir ja dazu, auch die Pro- positionen 0  B, A  0 aufzustellen — cf. Def. (2×) — und sollte eine solche Subsumtion 0  B nach § 1 uns ausdrücken, dass entweder 0 = B oder aber 0 ⊂ B sei. Sooft nun also nicht gerade B = 0, das heisst, sooft B ≠ 0 ist, müssen wir auch: 0 ⊂ B, entsprechend desgleichen A ⊃ 0 für ein von 0 verschiedenes A, stets gelten lassen. In diesen beiden Fällen ist nun aber wiederum A B [ = 0 · B resp. A · 0] = 0, sodass sie unter a, nicht aber unter a1 und γ, resp. β, fallen. Die Zeichen =, ⊂ , ⊃ wurden schon in § 1 beschrieben, motivirt und gerechtfertigt. Das Zeichen  , in dessen Wahl ich mit Wundt zu- sammentreffe, spricht für sich selbst, insofern es erstens zunächst nicht un- geeignet erscheint, vor allem nämlich gebührend symmetrisch ist — nicht nur, was minder wichtig, in Bezug auf oben und unten, wo die Symmetrie angezeigt erscheint in Ermangelung jeden Grundes, es nach diesen Rich- tungen verschieden zu gestalten — sondern auch, was erheblicher, in Be- zug auf links und rechts, wie es denn auch eine symmetrische Beziehung zwischen den durch dasselbe als linke und rechte Seite zu verknüpfenden Ausdrücken darzustellen hat: sooft A  B, wird auch B  A sich als gültig erweisen, sodass man die Propositionen dieser Art nun ohne weiteres, wird rückwärts lesen können. Zweitens aber empfiehlt sich jenes Zeichen als das allergeeignetste dadurch, dass es die wirkliche, zwischen den Gebieten A und B bestehende Beziehung in sich abbildet, den wesentlichen Teil der Figur 16 kopirt: man braucht die divergirenden Äste eines jeden der beiden in unserm Zeichen einander durchsetzenden Bögen nur fortgesetzt zu denken, sei es in’s Unbegrenzte, sei es — noch besser — so, dass sie etwa je zu einem Ovale sich zusammenschliessen, so wird man die Kon- turen der Gebiete A und B vollständig in dem Zeichen erblicken, und Schröder, Algebra der Logik. II. 7

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/121
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 97. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/121>, abgerufen am 23.11.2024.