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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Achtzehnte Vorlesung.
wären, mithin die Behauptung: f (h, m) gilt, also f (h, m) = i, auf die
Absurdität 0 = i hinauslaufen würde. Die gesuchte Anzahl muss
darnach gleich 8 -- 1 oder 7 sein.

Dies war ein zweiter und vielleicht der direkteste Weg, zu Peano's
Anzahl zu gelangen -- womit sich der erste Unterfall des allgemeinen
Problems erledigte.

Für n = 2 erhalten wir nach Peano's Formel:
[Formel 1] als die Anzahl der über zwei Begriffe A, B abgebbaren Aussagen --
in Übereinstimmung mit dem schon oben von uns Gefundenen.

Um dieses Ergebniss nunmehr auch auf dem kürzesten Wege ab-
zuleiten, will ich bei dem hohen Interesse, welches das Problem zu
bieten scheint, über dasselbe gewissermassen einen selbständigen Vor-
trag halten (ohne auf früheres dabei Bezug zu nehmen).

Als Ausdrucksmittel, über welche wir Verfügung haben, setze ich
die gewöhnlichen voraus, aus welchen die schulmässige Logik die
Prämissen und Konklusionen ihrer (einfachen kategorischen) Syllogis-
men schmiedet. Diese Ausdrucksmittel erscheinen sämtlich in dem
Satzfragmente vertreten:
"Alle oder einige A sind nicht B, und ... "

Wir verfügen über die Kopula "sind" (oder "ist"), über die Binde-
wörter, Konjunktionen "und" und "oder", und über die Verneinungs-
partikel "nicht", endlich über die unbestimmten (adjektivischen) Zahl-
wörter oder numeralen Adjektive "alle" sowie "einige".

Bestimmte Zahlwörter hingegen sind natürlich auszuschliessen, ansonst
wir ja in Gestalt von:

Nur ein A ist B, Gerade zwei A sind B, Drei A sind B, etc.
ersichtlich eine unbegrenzte Menge von Aussagen oder Urteilen abzugeben
vermöchten.

Es sind mithin nur die obigen sechs Worte, auf deren Gebrauch
wir bei den in Frage kommenden Urteilen sollen angewiesen sein.

Nach Bd. 1, S. 353 sq. könnte sogar von den beiden Konjunktionen
irgend eine entbehrt werden, sodass wir zur Not schon mit fünf Worten
auskämen.

Sicherlich, wenn ein Unbefangener veranlasst würde, eine Vermutung
darüber niederzulegen, wie vielerlei Urteile sich mit diesem einfachen Wort-
vorrate über A und B wol fällen lassen möchten, so würde derselbe un-
geachtet vorgängiger Warnung die Zahl noch immer viel zu niedrig greifen!

Achtzehnte Vorlesung.
wären, mithin die Behauptung: f (h, m) gilt, also f (h, m) = i, auf die
Absurdität 0 = i hinauslaufen würde. Die gesuchte Anzahl muss
darnach gleich 8 — 1 oder 7 sein.

Dies war ein zweiter und vielleicht der direkteste Weg, zu Peano’s
Anzahl zu gelangen — womit sich der erste Unterfall des allgemeinen
Problems erledigte.

Für n = 2 erhalten wir nach Peano’s Formel:
[Formel 1] als die Anzahl der über zwei Begriffe A, B abgebbaren Aussagen —
in Übereinstimmung mit dem schon oben von uns Gefundenen.

Um dieses Ergebniss nunmehr auch auf dem kürzesten Wege ab-
zuleiten, will ich bei dem hohen Interesse, welches das Problem zu
bieten scheint, über dasselbe gewissermassen einen selbständigen Vor-
trag halten (ohne auf früheres dabei Bezug zu nehmen).

Als Ausdrucksmittel, über welche wir Verfügung haben, setze ich
die gewöhnlichen voraus, aus welchen die schulmässige Logik die
Prämissen und Konklusionen ihrer (einfachen kategorischen) Syllogis-
men schmiedet. Diese Ausdrucksmittel erscheinen sämtlich in dem
Satzfragmente vertreten:
„Alle oder einige A sind nicht B, und … “

Wir verfügen über die Kopula „sind“ (oder „ist“), über die Binde-
wörter, Konjunktionen „und“ und „oder“, und über die Verneinungs-
partikel „nicht“, endlich über die unbestimmten (adjektivischen) Zahl-
wörter oder numeralen Adjektive „alle“ sowie „einige“.

Bestimmte Zahlwörter hingegen sind natürlich auszuschliessen, ansonst
wir ja in Gestalt von:

Nur ein A ist B, Gerade zwei A sind B, Drei A sind B, etc.
ersichtlich eine unbegrenzte Menge von Aussagen oder Urteilen abzugeben
vermöchten.

Es sind mithin nur die obigen sechs Worte, auf deren Gebrauch
wir bei den in Frage kommenden Urteilen sollen angewiesen sein.

Nach Bd. 1, S. 353 sq. könnte sogar von den beiden Konjunktionen
irgend eine entbehrt werden, sodass wir zur Not schon mit fünf Worten
auskämen.

Sicherlich, wenn ein Unbefangener veranlasst würde, eine Vermutung
darüber niederzulegen, wie vielerlei Urteile sich mit diesem einfachen Wort-
vorrate über A und B wol fällen lassen möchten, so würde derselbe un-
geachtet vorgängiger Warnung die Zahl noch immer viel zu niedrig greifen!

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[170/0194] Achtzehnte Vorlesung. wären, mithin die Behauptung: f (h, m) gilt, also f (h, m) = i, auf die Absurdität 0 = i hinauslaufen würde. Die gesuchte Anzahl muss darnach gleich 8 — 1 oder 7 sein. Dies war ein zweiter und vielleicht der direkteste Weg, zu Peano’s Anzahl zu gelangen — womit sich der erste Unterfall des allgemeinen Problems erledigte. Für n = 2 erhalten wir nach Peano’s Formel: [FORMEL] als die Anzahl der über zwei Begriffe A, B abgebbaren Aussagen — in Übereinstimmung mit dem schon oben von uns Gefundenen. Um dieses Ergebniss nunmehr auch auf dem kürzesten Wege ab- zuleiten, will ich bei dem hohen Interesse, welches das Problem zu bieten scheint, über dasselbe gewissermassen einen selbständigen Vor- trag halten (ohne auf früheres dabei Bezug zu nehmen). Als Ausdrucksmittel, über welche wir Verfügung haben, setze ich die gewöhnlichen voraus, aus welchen die schulmässige Logik die Prämissen und Konklusionen ihrer (einfachen kategorischen) Syllogis- men schmiedet. Diese Ausdrucksmittel erscheinen sämtlich in dem Satzfragmente vertreten: „Alle oder einige A sind nicht B, und … “ Wir verfügen über die Kopula „sind“ (oder „ist“), über die Binde- wörter, Konjunktionen „und“ und „oder“, und über die Verneinungs- partikel „nicht“, endlich über die unbestimmten (adjektivischen) Zahl- wörter oder numeralen Adjektive „alle“ sowie „einige“. Bestimmte Zahlwörter hingegen sind natürlich auszuschliessen, ansonst wir ja in Gestalt von: Nur ein A ist B, Gerade zwei A sind B, Drei A sind B, etc. ersichtlich eine unbegrenzte Menge von Aussagen oder Urteilen abzugeben vermöchten. Es sind mithin nur die obigen sechs Worte, auf deren Gebrauch wir bei den in Frage kommenden Urteilen sollen angewiesen sein. Nach Bd. 1, S. 353 sq. könnte sogar von den beiden Konjunktionen irgend eine entbehrt werden, sodass wir zur Not schon mit fünf Worten auskämen. Sicherlich, wenn ein Unbefangener veranlasst würde, eine Vermutung darüber niederzulegen, wie vielerlei Urteile sich mit diesem einfachen Wort- vorrate über A und B wol fällen lassen möchten, so würde derselbe un- geachtet vorgängiger Warnung die Zahl noch immer viel zu niedrig greifen!

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 170. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/194>, abgerufen am 27.11.2024.