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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Achtzehnte Vorlesung.
Aussagen über A und B. Dieselbe kann aber auch nicht kleiner sein,
als diese gesuchte Anzahl, sofern sich zeigen lässt, dass jede erdenk-
liche Aussage über A oder B sich als eine Funktion
F (a, b, c, l)
des Aussagenkalkuls aus den vier primitiven De Morgan's muss zu-
sammensetzen lassen.

In der That ist ein jedes kategorische Urteil über A und B ent-
weder ein universales und dann durch eine Gleichung, oder es ist ein
partikulares und dann durch eine Ungleichung mit der rechten Seite 0
darstellbar. Und andre als kategorische Urteile können wir mit
unserm Wort-Kapitale zunächst nicht bilden; aus solchen erst, als
Elementen, werden hernach auch mittelst der Bindewörter "oder" und
"und" sich zusammengesetzte Aussagen ableiten lassen, die als dis-
junktive Urteile oder Alternativen resp. als simultane Aussagen, Aus-
sagensysteme sich hinstellen lassen.

Die Negation an Aussagen kann ausser Betracht bleiben, indem sie
an einer zusammengesetzten Aussage sich allemal "ausführen" lässt, wo-
durch Summen in Produkte, sowie umgekehrt, gemäss Th. 36) übergehen;
indem sie ferner an den als Elemente einer solchen auftretenden kategori-
schen Urteilen ausgeführt, lediglich bewirkt, dass die universalen in parti-
kulare, und diese in jene sich umwandeln.

Solche elementare Aussage nun, geschrieben als Gleichung oder
Ungleichung mit der rechten Seite 0, wird als Polynom linkerhand
einen Ausdruck aufweisen, der als eine Funktion (identischen Kalkuls)
von den Argumenten A und B, somit als f (A, B) zu bezeichnen ist,
nämlich aus diesen Argumenten ganz und gar mittelst der Partikeln
"und, oder, nicht" sich aufbaut*), m. a. W. aus A, B, A1, B1, blos mit
den beiden ersten von diesen Partikeln.

Jenes Polynom f (A, B) kann nach den Argumenten "entwickelt"
werden, und setzt sich aus irgendwelchen von den Konstituenten der 1:
1 = A B + A B1 + A1 B + A1 B1
notwendig additiv zusammen -- indess (bei Gleichung) nicht aus allen
vieren, weil die Gleichung f = 0 dann auf 1 = 0 hinausliefe (auch

*) Wird "einige A" mit A', "einige nicht-A" mit A1', und analog in B, etc.
dargestellt, so scheint bei Zulassung von Ausdrücken, wie (A' B1 + A1' B)', sich aller-
dings noch ein weiteres Feld von erdenklichen Aussagen, als dasjenige, worauf
unsre Untersuchung sich beschränkt, auf den ersten Blick zu ergeben.

Achtzehnte Vorlesung.
Aussagen über A und B. Dieselbe kann aber auch nicht kleiner sein,
als diese gesuchte Anzahl, sofern sich zeigen lässt, dass jede erdenk-
liche Aussage über A oder B sich als eine Funktion
F (a, b, c, l)
des Aussagenkalkuls aus den vier primitiven De Morgan’s muss zu-
sammensetzen lassen.

In der That ist ein jedes kategorische Urteil über A und B ent-
weder ein universales und dann durch eine Gleichung, oder es ist ein
partikulares und dann durch eine Ungleichung mit der rechten Seite 0
darstellbar. Und andre als kategorische Urteile können wir mit
unserm Wort-Kapitale zunächst nicht bilden; aus solchen erst, als
Elementen, werden hernach auch mittelst der Bindewörter „oder“ und
„und“ sich zusammengesetzte Aussagen ableiten lassen, die als dis-
junktive Urteile oder Alternativen resp. als simultane Aussagen, Aus-
sagensysteme sich hinstellen lassen.

Die Negation an Aussagen kann ausser Betracht bleiben, indem sie
an einer zusammengesetzten Aussage sich allemal „ausführen“ lässt, wo-
durch Summen in Produkte, sowie umgekehrt, gemäss Th. 36) übergehen;
indem sie ferner an den als Elemente einer solchen auftretenden kategori-
schen Urteilen ausgeführt, lediglich bewirkt, dass die universalen in parti-
kulare, und diese in jene sich umwandeln.

Solche elementare Aussage nun, geschrieben als Gleichung oder
Ungleichung mit der rechten Seite 0, wird als Polynom linkerhand
einen Ausdruck aufweisen, der als eine Funktion (identischen Kalkuls)
von den Argumenten A und B, somit als f (A, B) zu bezeichnen ist,
nämlich aus diesen Argumenten ganz und gar mittelst der Partikeln
„und, oder, nicht“ sich aufbaut*), m. a. W. aus A, B, A1, B1, blos mit
den beiden ersten von diesen Partikeln.

Jenes Polynom f (A, B) kann nach den Argumenten „entwickelt“
werden, und setzt sich aus irgendwelchen von den Konstituenten der 1:
1 = A B + A B1 + A1 B + A1 B1
notwendig additiv zusammen — indess (bei Gleichung) nicht aus allen
vieren, weil die Gleichung f = 0 dann auf 1 = 0 hinausliefe (auch

*) Wird „einige A“ mit A', „einige nicht-A“ mit A1', und analog in B, etc.
dargestellt, so scheint bei Zulassung von Ausdrücken, wie (A' B1 + A1' B)', sich aller-
dings noch ein weiteres Feld von erdenklichen Aussagen, als dasjenige, worauf
unsre Untersuchung sich beschränkt, auf den ersten Blick zu ergeben.
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[172/0196] Achtzehnte Vorlesung. Aussagen über A und B. Dieselbe kann aber auch nicht kleiner sein, als diese gesuchte Anzahl, sofern sich zeigen lässt, dass jede erdenk- liche Aussage über A oder B sich als eine Funktion F (a, b, c, l) des Aussagenkalkuls aus den vier primitiven De Morgan’s muss zu- sammensetzen lassen. In der That ist ein jedes kategorische Urteil über A und B ent- weder ein universales und dann durch eine Gleichung, oder es ist ein partikulares und dann durch eine Ungleichung mit der rechten Seite 0 darstellbar. Und andre als kategorische Urteile können wir mit unserm Wort-Kapitale zunächst nicht bilden; aus solchen erst, als Elementen, werden hernach auch mittelst der Bindewörter „oder“ und „und“ sich zusammengesetzte Aussagen ableiten lassen, die als dis- junktive Urteile oder Alternativen resp. als simultane Aussagen, Aus- sagensysteme sich hinstellen lassen. Die Negation an Aussagen kann ausser Betracht bleiben, indem sie an einer zusammengesetzten Aussage sich allemal „ausführen“ lässt, wo- durch Summen in Produkte, sowie umgekehrt, gemäss Th. 36) übergehen; indem sie ferner an den als Elemente einer solchen auftretenden kategori- schen Urteilen ausgeführt, lediglich bewirkt, dass die universalen in parti- kulare, und diese in jene sich umwandeln. Solche elementare Aussage nun, geschrieben als Gleichung oder Ungleichung mit der rechten Seite 0, wird als Polynom linkerhand einen Ausdruck aufweisen, der als eine Funktion (identischen Kalkuls) von den Argumenten A und B, somit als f (A, B) zu bezeichnen ist, nämlich aus diesen Argumenten ganz und gar mittelst der Partikeln „und, oder, nicht“ sich aufbaut *), m. a. W. aus A, B, A1, B1, blos mit den beiden ersten von diesen Partikeln. Jenes Polynom f (A, B) kann nach den Argumenten „entwickelt“ werden, und setzt sich aus irgendwelchen von den Konstituenten der 1: 1 = A B + A B1 + A1 B + A1 B1 notwendig additiv zusammen — indess (bei Gleichung) nicht aus allen vieren, weil die Gleichung f = 0 dann auf 1 = 0 hinausliefe (auch *) Wird „einige A“ mit A', „einige nicht-A“ mit A1', und analog in B, etc. dargestellt, so scheint bei Zulassung von Ausdrücken, wie (A' B1 + A1' B)', sich aller- dings noch ein weiteres Feld von erdenklichen Aussagen, als dasjenige, worauf unsre Untersuchung sich beschränkt, auf den ersten Blick zu ergeben.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 172. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/196>, abgerufen am 27.11.2024.