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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Achtzehnte Vorlesung.
oder Parameter des Funktionsausdrucks vorkamen, sondern auch schon
aus dem Grunde, weil im Aussagenkalkul bekanntlich alle Symbole
lediglich der Werte 0 oder i fähig sind, können als Koeffizienten in
der Entwickelung von F nur die beiden 0 und i auftreten. D. h.
jeder unsrer r Konstituenten ist in dieser Entwickelung entweder gar
nicht, oder ganz, als Summand vertreten; wir haben für jeden dieser
Konstituenten zwei Möglichkeiten, und können daher im Ganzen auf:
[Formel 1] Arten die Funktion F zusammengesetzt denken.

Von diesen läuft aber eine auf die Aussagenabsurdität i = 0
hinaus, diejenige nämlich bei welcher alle unsre r Konstituenten un-
vertreten blieben, zum Koeffizienten 0 erhielten. Dann müsste näm-
lich auch F als deren Summe den Wert 0 haben; soferne aber F
ausgesagt, statuirt, als gültig hingestellt wird, hätten wir F = i an-
zuerkennen und gelangten so zu einem Widerspruche.

Die gesuchte Anzahl der zulässigen Aussagen ist hiermit:
2r -- 1
und dies geht in Peano's Ergebniss über*), wenn in den Ausdruck
die obigen Werte von r und m rückwärts eingesetzt, restituirt
werden; q. e. d.

Bei n = 3 ist m = 23 = 8 und:
i = a b g d e z e th1 + a b g d e z e1 th + a b g d e z e1 th1 + ... + a1 b1 g1 d1 e1 z1 e1 th1
mit r = 28 -- 1 = 255 Gliedern, und lassen sich
2255 -- 1 = (rund) 57 896 x 1072
zulässige Bildungsweisen von F denken. Mithin gibt es über drei Begriffe
A, B, C mehr als fünfzigsieben tausend Trillionen Quadrillionen (inhaltlich
verschiedene) fällbare Urteile.

Und über vier Klassen A, B, C, D lassen sich
[Formel 2] verschiedene Aussagen abgeben, das sind ihrer so viele als eine Zahl an-
gibt, die sich mit 19 729 Ziffern schreibt -- die drei ersten Ziffern sind
100 und folgt auf sie eine 2 oder 3. --

*) Herr Peano bringt auch die identische Aussage i = i, (oder 0 = 0),
bei welcher keiner von den r Konstituenten (als Glied der Alternative) fehlen
würde, hiervon noch in Abzug; er findet: 2r -- 2.

Achtzehnte Vorlesung.
oder Parameter des Funktionsausdrucks vorkamen, sondern auch schon
aus dem Grunde, weil im Aussagenkalkul bekanntlich alle Symbole
lediglich der Werte 0 oder i fähig sind, können als Koeffizienten in
der Entwickelung von F nur die beiden 0 und i auftreten. D. h.
jeder unsrer r Konstituenten ist in dieser Entwickelung entweder gar
nicht, oder ganz, als Summand vertreten; wir haben für jeden dieser
Konstituenten zwei Möglichkeiten, und können daher im Ganzen auf:
[Formel 1] Arten die Funktion F zusammengesetzt denken.

Von diesen läuft aber eine auf die Aussagenabsurdität i = 0
hinaus, diejenige nämlich bei welcher alle unsre r Konstituenten un-
vertreten blieben, zum Koeffizienten 0 erhielten. Dann müsste näm-
lich auch F als deren Summe den Wert 0 haben; soferne aber F
ausgesagt, statuirt, als gültig hingestellt wird, hätten wir F = i an-
zuerkennen und gelangten so zu einem Widerspruche.

Die gesuchte Anzahl der zulässigen Aussagen ist hiermit:
2r — 1
und dies geht in Peano’s Ergebniss über*), wenn in den Ausdruck
die obigen Werte von r und m rückwärts eingesetzt, restituirt
werden; q. e. d.

Bei n = 3 ist m = 23 = 8 und:
i = α β γ δ ε ζ η ϑ1 + α β γ δ ε ζ η1 ϑ + α β γ δ ε ζ η1 ϑ1 + … + α1 β1 γ1 δ1 ε1 ζ1 η1 ϑ1
mit r = 28 — 1 = 255 Gliedern, und lassen sich
2255 — 1 = (rund) 57 896 × 1072
zulässige Bildungsweisen von F denken. Mithin gibt es über drei Begriffe
A, B, C mehr als fünfzigsieben tausend Trillionen Quadrillionen (inhaltlich
verschiedene) fällbare Urteile.

Und über vier Klassen A, B, C, D lassen sich
[Formel 2] verschiedene Aussagen abgeben, das sind ihrer so viele als eine Zahl an-
gibt, die sich mit 19 729 Ziffern schreibt — die drei ersten Ziffern sind
100 und folgt auf sie eine 2 oder 3. —

*) Herr Peano bringt auch die identische Aussage i = i, (oder 0 = 0),
bei welcher keiner von den r Konstituenten (als Glied der Alternative) fehlen
würde, hiervon noch in Abzug; er findet: 2r — 2.
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[178/0202] Achtzehnte Vorlesung. oder Parameter des Funktionsausdrucks vorkamen, sondern auch schon aus dem Grunde, weil im Aussagenkalkul bekanntlich alle Symbole lediglich der Werte 0 oder i fähig sind, können als Koeffizienten in der Entwickelung von F nur die beiden 0 und i auftreten. D. h. jeder unsrer r Konstituenten ist in dieser Entwickelung entweder gar nicht, oder ganz, als Summand vertreten; wir haben für jeden dieser Konstituenten zwei Möglichkeiten, und können daher im Ganzen auf: [FORMEL] Arten die Funktion F zusammengesetzt denken. Von diesen läuft aber eine auf die Aussagenabsurdität i = 0 hinaus, diejenige nämlich bei welcher alle unsre r Konstituenten un- vertreten blieben, zum Koeffizienten 0 erhielten. Dann müsste näm- lich auch F als deren Summe den Wert 0 haben; soferne aber F ausgesagt, statuirt, als gültig hingestellt wird, hätten wir F = i an- zuerkennen und gelangten so zu einem Widerspruche. Die gesuchte Anzahl der zulässigen Aussagen ist hiermit: 2r — 1 und dies geht in Peano’s Ergebniss über *), wenn in den Ausdruck die obigen Werte von r und m rückwärts eingesetzt, restituirt werden; q. e. d. Bei n = 3 ist m = 23 = 8 und: i = α β γ δ ε ζ η ϑ1 + α β γ δ ε ζ η1 ϑ + α β γ δ ε ζ η1 ϑ1 + … + α1 β1 γ1 δ1 ε1 ζ1 η1 ϑ1 mit r = 28 — 1 = 255 Gliedern, und lassen sich 2255 — 1 = (rund) 57 896 × 1072 zulässige Bildungsweisen von F denken. Mithin gibt es über drei Begriffe A, B, C mehr als fünfzigsieben tausend Trillionen Quadrillionen (inhaltlich verschiedene) fällbare Urteile. Und über vier Klassen A, B, C, D lassen sich [FORMEL] verschiedene Aussagen abgeben, das sind ihrer so viele als eine Zahl an- gibt, die sich mit 19 729 Ziffern schreibt — die drei ersten Ziffern sind 100 und folgt auf sie eine 2 oder 3. — *) Herr Peano bringt auch die identische Aussage i = i, (oder 0 = 0), bei welcher keiner von den r Konstituenten (als Glied der Alternative) fehlen würde, hiervon noch in Abzug; er findet: 2r — 2.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 178. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/202>, abgerufen am 28.11.2024.