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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Neunzehnte Vorlesung.
identischen Kalkul überhaupt in Betracht kommen kann -- wofern
in ihr A, B, C, D, ... als Gebietsymbole und zwar als "Funktionen"
von irgendwelchen andern Gebietsymbolen a, b, c ..., x, y, ... ge-
geben gedacht werden.

Diese Funktionen lassen aber nach § 19 -- einerlei ob sie x alle
wirklich enthalten oder nicht -- sich sämtlich nach x linear und
homogen "entwickeln", sodass unsre Gesamtaussage der Daten die
Form haben muss:
a)

S (a x + b x1 = 0) (p x + q x1 0) (r x + s x1 0) ... = i
0'

wo die Koeffizienten a, b, p, q, r, s, ... unabhängig sind von x.

Die uns noch zur Lösung verbleibende Hauptaufgabe besteht nun
darin, aus dieser Aussage a) das Symbol x zu eliminiren, d. h. aus
ihr eine andere Aussage abzuleiten, welche nicht nur mit Notwendig-
keit aus ihr folgt, sondern auch jede in a) über die übrigen Symbole
a, b, p, q, r ... enthaltene Information, jede aus a) zu schöpfende
das x unerwähnt lassende Belehrung unter sich begreift, in sich zum
Ausdruck bringt. Kurz: es ist die volle Resultante der Elimination
des x zu finden.

Herr Mitchell betrachtet die Form a) nicht. Er gibt aber einen
Teil der nachher an sie von uns zu knüpfenden Folgerungen wenigstens
implicite, nämlich eingekleidet in eine ihm eigentümliche Symbolik, deren
Verewigung, wenn sie auch mitunter eine kleine Raumersparniss ermöglicht,
mir nicht wünschenswert erscheint. Zur eigentlichen Lösung des allge-
meinen Problems hat seine Symbolik Herrn Mitchell doch nicht geführt,
und selbst wenn sie zu einer auch dazu geeigneten sich ummodeln, modi-
fiziren liesse (was mir nicht der Fall zu sein scheint), müsste ich doch
auf die hier zu verwirklichen gesuchte Befolgung einheitlicher Grundsätze
im ganzen Bezeichnungssystem unsrer Disziplin nach wie vor das grösste Ge-
wicht legen. Ich werde auf das Verhältniss der Mitchell'schen Resultate
zu den hier vorzutragenden erst bei der allgemeinen Lösung zurückkommen.

Wir lösen die Aufgabe zunächst für ein paar Spezialfälle.

Aus einer Gleichung a x + b x1 = 0 können wir schon längst das
Symbol x eliminiren, indem wir nach Th. 50+) haben:
b) (a x + b x1 = 0) (a b = 0);
und zwar ist die Aussage rechterhand als die volle Resultante der
Elimination des x aus der Gleichung linkerhand nachgewiesen.

Wie nun gestaltet sich die Resultante der Elimination des x für
eine Ungleichung p x + q x1 0?

Die Antwort auf diese Frage wird durch die Behauptung ge-
geben, dass

Neunzehnte Vorlesung.
identischen Kalkul überhaupt in Betracht kommen kann — wofern
in ihr A, B, C, D, … als Gebietsymbole und zwar als „Funktionen“
von irgendwelchen andern Gebietsymbolen a, b, c …, x, y, … ge-
geben gedacht werden.

Diese Funktionen lassen aber nach § 19 — einerlei ob sie x alle
wirklich enthalten oder nicht — sich sämtlich nach x linear und
homogen „entwickeln“, sodass unsre Gesamtaussage der Daten die
Form haben muss:
α)

Σ (a x + b x1 = 0) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) … = i
≠ 0'

wo die Koeffizienten a, b, p, q, r, s, … unabhängig sind von x.

Die uns noch zur Lösung verbleibende Hauptaufgabe besteht nun
darin, aus dieser Aussage α) das Symbol x zu eliminiren, d. h. aus
ihr eine andere Aussage abzuleiten, welche nicht nur mit Notwendig-
keit aus ihr folgt, sondern auch jede in α) über die übrigen Symbole
a, b, p, q, r … enthaltene Information, jede aus α) zu schöpfende
das x unerwähnt lassende Belehrung unter sich begreift, in sich zum
Ausdruck bringt. Kurz: es ist die volle Resultante der Elimination
des x zu finden.

Herr Mitchell betrachtet die Form α) nicht. Er gibt aber einen
Teil der nachher an sie von uns zu knüpfenden Folgerungen wenigstens
implicite, nämlich eingekleidet in eine ihm eigentümliche Symbolik, deren
Verewigung, wenn sie auch mitunter eine kleine Raumersparniss ermöglicht,
mir nicht wünschenswert erscheint. Zur eigentlichen Lösung des allge-
meinen Problems hat seine Symbolik Herrn Mitchell doch nicht geführt,
und selbst wenn sie zu einer auch dazu geeigneten sich ummodeln, modi-
fiziren liesse (was mir nicht der Fall zu sein scheint), müsste ich doch
auf die hier zu verwirklichen gesuchte Befolgung einheitlicher Grundsätze
im ganzen Bezeichnungssystem unsrer Disziplin nach wie vor das grösste Ge-
wicht legen. Ich werde auf das Verhältniss der Mitchell’schen Resultate
zu den hier vorzutragenden erst bei der allgemeinen Lösung zurückkommen.

Wir lösen die Aufgabe zunächst für ein paar Spezialfälle.

Aus einer Gleichung a x + b x1 = 0 können wir schon längst das
Symbol x eliminiren, indem wir nach Th. 50+) haben:
β) (a x + b x1 = 0) ⊆ (a b = 0);
und zwar ist die Aussage rechterhand als die volle Resultante der
Elimination des x aus der Gleichung linkerhand nachgewiesen.

Wie nun gestaltet sich die Resultante der Elimination des x für
eine Ungleichung p x + q x1 ≠ 0?

Die Antwort auf diese Frage wird durch die Behauptung ge-
geben, dass

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[200/0224] Neunzehnte Vorlesung. identischen Kalkul überhaupt in Betracht kommen kann — wofern in ihr A, B, C, D, … als Gebietsymbole und zwar als „Funktionen“ von irgendwelchen andern Gebietsymbolen a, b, c …, x, y, … ge- geben gedacht werden. Diese Funktionen lassen aber nach § 19 — einerlei ob sie x alle wirklich enthalten oder nicht — sich sämtlich nach x linear und homogen „entwickeln“, sodass unsre Gesamtaussage der Daten die Form haben muss: α) Σ (a x + b x1 = 0) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) … = i ≠ 0' wo die Koeffizienten a, b, p, q, r, s, … unabhängig sind von x. Die uns noch zur Lösung verbleibende Hauptaufgabe besteht nun darin, aus dieser Aussage α) das Symbol x zu eliminiren, d. h. aus ihr eine andere Aussage abzuleiten, welche nicht nur mit Notwendig- keit aus ihr folgt, sondern auch jede in α) über die übrigen Symbole a, b, p, q, r … enthaltene Information, jede aus α) zu schöpfende das x unerwähnt lassende Belehrung unter sich begreift, in sich zum Ausdruck bringt. Kurz: es ist die volle Resultante der Elimination des x zu finden. Herr Mitchell betrachtet die Form α) nicht. Er gibt aber einen Teil der nachher an sie von uns zu knüpfenden Folgerungen wenigstens implicite, nämlich eingekleidet in eine ihm eigentümliche Symbolik, deren Verewigung, wenn sie auch mitunter eine kleine Raumersparniss ermöglicht, mir nicht wünschenswert erscheint. Zur eigentlichen Lösung des allge- meinen Problems hat seine Symbolik Herrn Mitchell doch nicht geführt, und selbst wenn sie zu einer auch dazu geeigneten sich ummodeln, modi- fiziren liesse (was mir nicht der Fall zu sein scheint), müsste ich doch auf die hier zu verwirklichen gesuchte Befolgung einheitlicher Grundsätze im ganzen Bezeichnungssystem unsrer Disziplin nach wie vor das grösste Ge- wicht legen. Ich werde auf das Verhältniss der Mitchell’schen Resultate zu den hier vorzutragenden erst bei der allgemeinen Lösung zurückkommen. Wir lösen die Aufgabe zunächst für ein paar Spezialfälle. Aus einer Gleichung a x + b x1 = 0 können wir schon längst das Symbol x eliminiren, indem wir nach Th. 50+) haben: β) (a x + b x1 = 0)  (a b = 0); und zwar ist die Aussage rechterhand als die volle Resultante der Elimination des x aus der Gleichung linkerhand nachgewiesen. Wie nun gestaltet sich die Resultante der Elimination des x für eine Ungleichung p x + q x1 ≠ 0? Die Antwort auf diese Frage wird durch die Behauptung ge- geben, dass

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 200. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/224>, abgerufen am 26.11.2024.